核心微练23-24-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数与函数的极值、最值及构造问题，依据高考评价体系明确极值判断、最值求解、函数构造等核心考点，通过近五年真题分析确定“极值点应用”占35%、“构造函数比较大小”占30%的高频考点分布，归纳出单选、多选、解答题等常考题型，形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+思维建模”，如以2023新课标Ⅱ卷导数综合题为母题，提炼“导数符号分析三步法”和“构造函数模型”，培养学生的逻辑思维与模型意识。通过易错点剖析（如极值点验证）和变式训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导复习，提升冲刺效率。

微练(二十三)　导数与函数的极值、最值 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(A) A.函数f(x)在区间(1,4)内单调递增 B.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极大值 解析　在区间(1,4)内f'(x)>0,故函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,故A正确;在区间(1,3)内f'(x)>0,故函数f(x)在区间(1,3)内单调递增,故B错误;当x∈(0,4)时,f'(x)>0,可知函数f(x)在(0,4)内单调递增,故x=1不是函数f(x)的极值点,故C错误;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,4)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故函数f(x)在x=0处取得极小值,故D错误,故选A. 2.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=-xex,那么f(x)的极大值是(A) A. B.- C.-e D.e 解析　因为函数f(x)=-xex,所以f'(x)=-(x+1)ex.令f'(x)=0,得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0;当x>-1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)极大值=f(-1)=,故选A. 3.函数f(x)=在[0,2]上的最小值是(C) A. B. C.0 D. 解析　因为f(x)=,所以f'(x)==,当x∈[0,1]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x∈(1,2]时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,又因为当x=0时,f(0)=0,当x=2时,f(2)=,所以函数f(x)的最小值为0.故选C. 4.若x=1是函数f(x)=x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的极值点,则a的值为(B) A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 解析　f(x)=x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x,则f'(x)=x2+2(a+1)x-(a2+a-3),由题意可知f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a2+a-3)=0,解得a=3或a=-2.当a=3时,f'(x)=x2+8x-9=(x+9)(x-1),当x>1或x<-9时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-9<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,显然x=1是函数f(x)的极值点;当a=-2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,没有极值点,故选B. 5.(2025·乌鲁木齐质量检测)设x1,x2是函数f(x)=x3+ax2+x+1的两个极值点,若x1+3x2=-2,则a=(C) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　令f'(x)=3x2+2ax+1=0,则有Δ=4a2-12>0,x1+x2=-,x1x2=①,又x1+3x2=-2②,结合①②可得x2=-,x1=-1,所以-=-,即a=2,故选C. 6.已知函数f(x)=ex+x2+(a-2)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围是(A) A.(-e,1) B.(1-e,1) C.(-e,+∞) D.(0,e) 解析　由f(x)=ex+x2+(a-2)x+1得f'(x)=ex+2x+a-2,易知f'(x)在(0,1)上单调递增,因为f(x)在(0,1)上有最小值,故即解得-e<a<1.故选A. 二、多项选择题 7.对于函数f(x)=x3-3x,下列结论中正确的是 (ABC) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增 C.f(x)在x=-1处取得极大值2 D.f(x)的值域是[-2,2] 解析　对于A,因为对∀x∈R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),故A正确;对于B,f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)>0可得x<-1或x>1,令f'(x)<0 可得-1<x<1,所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,故B正确;对于C,由f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,结合选项B可知,x=-1是函数f(x)的极大值点,此时函数f(x)的极大值为f(-1)=-1+3=2,故C正确;对于D,由B选项可知,函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,作出f(x)的大致图象如图所示,所以f(x)无最大值,无最小值,故D错误.故选ABC. 8.(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (BCD) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 解析　由题意得f'(x)=++=(a≠0),x∈(0,+∞),因为y=f(x)既有极大值也有极小值,所以y=ax2-bx-2c在(0,+∞)上有两个变号零点.设方程ax2-bx-2c=0的两根分别为x1,x2(x1>0,x2>0,x1≠x2),所以所以ab>0,ac<0,b2+8ac>0,bc<0.故选BCD. 三、填空题 9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)的值为 18 .  解析　f'(x)=3x2+2ax+b,由题意,得即解得或当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,f(x)无极值.当a=4,b=-11时,令f'(x)=3x2+8x-11=0,得x1=1,x2=-.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 单调 递减 10 单调 递增 所以f(x)=x3+4x2-11x+16,f(2)=18. 10.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-x,则当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1 .  解析　因为x∈(-2,0),所以-x∈(0,2),所以f(-x)=ln(-x)+x,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-ln(-x)-x,所以当x∈(-2,0)时,f(x)=-ln(-x)-x,f'(x)=--1=-,令f'(x)=0,得x=-1,则f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-ln 1+1=1.所以当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1. 11.(2025·南宁模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2的最小值为-1,则实数a的取值范围为 [0,+∞) .  解析　因为f(x)=(x-1)ex+ax2,所以f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),①若a≥0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-1.②若a<0,则当x→-∞时,f(x)→-∞,不符合题意.故实数a的取值范围为[0,+∞). 四、解答题 12.(2025·安徽黄山质检)已知函数f(x)=x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值. (1)求a的值; (2)求f(x)在区间上的最大值. 解　(1)f'(x)=3x-4a+.由f(x)在x=1处取得极大值得f'(1)=3-4a+a2=0,解得a=1或a=3,经检验,a=1时不符合题意,应舍去,故a=3. (2)由(1)得f(x)=x2-12x+9ln x,f'(x)=,x∈,令f'(x)>0,得<x<1,f(x)单调递增,令f'(x)<0,得1<x<e,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(1)=-12=-. 13.(2025·济南模拟)已知函数f(x)=e2x+ex-ax. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)极值点的个数. 解　(1)当a=3时,f(x)=e2x+ex-3x,则f'(x)=2e2x+ex-3=(2ex+3)(ex-1),由f'(x)>0,得x>0,此时f(x)单调递增;由f'(x)<0,得x<0,此时f(x)单调递减,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0). (2)由题意知,f'(x)=2e2x+ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增,即f(x)极值点的个数为0.当a>0时,易知1+8a>1,令ex=t(t>0),则y=2t2+t-a(t>0),故解关于t的方程2t2+t-a=0得,t1=(舍),t2=,所以t∈(0,t2)时,y<0;t∈(t2,+∞)时,y>0,所以x>ln t2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;x<ln t2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,即f(x)极值点的个数为1.综上,当a≤0时,f(x)极值点的个数为0;当a>0时,f(x)极值点的个数为1. 素养提升 14.(多选题)已知函数f(x)=x3-(3a2-6a)x+2有两个极值点,则(AC) A.f(x)的图象关于点(0,2)对称 B.f(x)的极值之和为-4 C.∃a∈R,使得f(x)有三个零点 D.若g(x)=f(x)+ax2在x=0处取得极小值,则a=0或a=2 解析　因为函数f(x)=x3-(3a2-6a)x+2,函数f(x)的图象可由函数h(x)=x3-(3a2-6a)x的图象向上平移2个单位长度得到,又因为h(-x)=(-x)3-(3a2-6a)(-x)=-x3+(3a2-6a)x=-h(x),可得函数h(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,2)对称,所以A正确;不妨设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),因为f(x)的图象关于点(0,2)对称,可得x1+x2=0,所以f(x1)+f(x2)=2×2=4,所以B错误;例如:当a=3时,函数f(x)=x3-9x+2,可得f'(x)=3x2-9=3(x2-3),令f'(x)=0,可得x1=-和x2=,当x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增.又由f(-)=6+2>0,f()=-6+2<0,所以∃a∈R,使得函数f(x)有三个零点,所以C正确;由函数g(x)=f(x)+ax2=x3+ax2-(3a2-6a)x+2,可得g'(x)=3x2+ax-(3a2-6a),因为函数g(x)在x=0处取得极小值,可得g'(0)=3a2-6a=0,解得a=0或a=2,当a=0时,g'(x)=3x2≥0,函数g(x)单调递增,没有极值点,所以D错误.故选AC. 15.已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d,其导函数为f'(x),存在t∈(1,4),满足f(2-t)=f(t)=f'(t)=0.记f(x)的极大值为M,则M的取值范围是 (0,32) .  解析　因为f(2-t)=f(t)=f'(t)=0,所以t是f(x)的零点也是极值点,2-t也是f(x)的零点.不妨设f(x)=(x+t-2)(x-t)2,故f'(x)=(x-t)2+2(x+t-2)(x-t)=(x-t)(x-t+2x+2t-4)=(x-t)(3x+t-4).因为t∈(1,4),所以<t,故当x>t或x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当<x<t时,f'(x)<0,f(x)单调递减,可得f(x)的极大值M=f=(t-1)3.因为t∈(1,4),所以M=(t-1)3∈(0,32). 16.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x. (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程; (2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. 解　(1)f(x)=ln x--x,f'(x)=+-1=2⇒(3x+2)(x-1)=0,因为x>0,所以x=1,故切点为(1,-3),k=2,所以切线方程为y+3=2(x-1),即y=2x-5. (2)f'(x)=--1,因为x=1为f(x)的极小值点,所以f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,所以f'(x)=-=-,x>0.①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0⇒x=1,此时当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1取得极大值,舍去.②当b=1时,f'(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)不存在极值,舍去.③当0<b<1时,当0<x<b时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当b<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时,f(x)在x=1取得极大值,舍去.④当b>1时,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当1<x<b时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1取得极小值,符合.综上,b的取值范围为(1,+∞). 微练(二十四)　导数中的函数构造问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.(2025·福建福州质检)已知a=,b=ln,c=ln,则(A) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b 解析　a==,b=ln==,c=ln=.令f(x)=,则f'(x)=,当x≥e时,f'(x)≤0,故f(x)在区间[e,+∞)上单调递减,所以a>b>c,故选A. 2.已知f(x)的定义域为R,f(1)=2 023,且f'(x)>6x恒成立,则不等式f(x)>3x2+2 020的解集为(B) A.(-1,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析　令函数g(x)=f(x)-3x2,因为g'(x)=f'(x)-6x>0,所以g(x)在R上单调递增.因为g(1)=f(1)-3=2 020,所以不等式f(x)>3x2+2 020等价于g(x)>g(1),所以x>1.故选B. 3.(2025·江苏模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(B) A.f(ln 3)>3f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 解析　由题意,构造函数g(x)=,则g'(x)=<0对任意的x∈R恒成立,所以g(x)在R上是减函数.对A,因为ln 3>0,所以g(ln 3)<g(0),即<=,得f(ln 3)<3f(0),故A错误,对C,因为ln 2>0,所以<=,即f(ln 2)<2f(0),故C错误.对B、D,因为g(2)<g(0),所以<,即f(2)<e2f(0),故D错误,B正确.故选B. 4.若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(A) A.ey-x>1 B.ey-x<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 解析　依题意,ln x-<ln y-,x>1,y>1,则ln x>0,ln y>0,令f(t)=t-(t>0),则f'(t)=1+>0,所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,则f(ln x)<f(ln y),即ln x<ln y,所以1<x<y,即y-x>0,所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确;又无法确定y-x-1与0的关系,故C、D不正确.故选A. 5.已知实数a,b分别满足ea=1.02,ln(b+1)=0.02,且c=,则(D) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　由ea=1.02,得a=ln 1.02,由ln(b+1)=0.02,得b=e0.02-1,令f(x)=ex-1-ln(1+x),x>0,则f'(x)=ex-,令h(x)=ex-,x>0,h'(x)=ex+>0恒成立,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,又f'(0)=e0-=0,故f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(0.02)=e0.02-1-ln(1+0.02)>f(0)=0,即e0.02-1>ln 1.02,即b>a.a=ln 1.02,c===1-=1-,令g(x)=ln x-,x>1,则g'(x)=-=,则当x>1时,g'(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(1.02)=ln 1.02->g(1)=0,即a>c,故c<a<b.故选D. 二、多项选择题 6.已知a,b∈(0,e),且a<b,则下列式子中可能成立的是 (ABD) A.aeb<bea B.aeb>bea C.aln b<bln a D.aln b>bln a 解析　设g(x)=(x∈(0,e)),则g'(x)=,所以g(x)=在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增.所以当a,b∈(0,e),a<b时,不能判断出g(a)与g(b)的大小.所以A、B都有可能正确.设f(x)=(x∈(0,e)),则f'(x)=,由0<x<e,得f'(x)>0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,因为a,b∈(0,e),且a<b,所以<,即aln b>bln a.所以C不正确,D正确.故选ABD. 三、填空题 7.设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)<sin x的解集为 (0,+∞) .  解析　令φ(x)=f(x)-sin x,所以当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数,所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,不等式f(x)<sin x 可化为f(x)-sin x<0,即φ(x)<0,即φ(x)<φ(0),故x>0,所以原不等式的解集为(0,+∞). 8.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),2f(x)+f'(x)<0,且f(x+1)=f(1-x),f(0)=e,则不等式f(x)>e5-2x的解集是 (-∞,2) .  解析　设g(x)=e2xf(x),则g'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)]<0,所以g(x)在R上单调递减.因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=e,所以g(2)=e4f(2)=e5.因为f(x)>e5-2x,所以e2xf(x)>e5,即g(x)>g(2),所以x<2,故不等式f(x)>e5-2x的解集是(-∞,2). 9.已知a>0,若在(1,+∞)上存在x使得不等式ex-x≤xa-aln x成立,则a的最小值为 e .  解析　因为xa==ealn x,所以不等式即为ex-x≤ealn x-aln x,因为a>0且x>1,所以aln x>0,设y=ex-x,x>0,则y'=ex-1>0,故y=ex-x在(0,+∞)上单调递增,所以1<x≤aln x,即a≥,所以a≥,设f(x)=(x>1),则f'(x)=,当x∈(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e,所以a≥e.故a的最小值为e. 四、解答题 10.(2025·漳州质检)已知函数f(x)=aex+x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x>1时,f(x)>ln +x,求实数a的取值范围. 解　(1)依题意,得f'(x)=aex+1.当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上是增函数.当a<0时,令f'(x)>0,可得x<-ln(-a);令f'(x)<0,可得x>-ln(-a),所以f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减,综上所述,当a≥0时,f(x)在R上是增函数;当a<0时,f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减. (2)因为当x>1时,f(x)>ln +x,所以aex+x+1>ln +x,即eln aex+x+1>ln(x-1)-ln a+x,即ex+ln a+ln a+x>ln(x-1)+x-1,即ex+ln a+x+ln a>eln(x-1)+ln(x-1).令h(x)=ex+x,则有h(x+ln a)>h(ln(x-1))对∀x∈(1,+∞)恒成立.因为h'(x)=ex+1>0,所以h(x)在R上是增函数,故只需x+ln a>ln(x-1),即ln a>ln(x-1)-x对∀x∈(1,+∞)恒成立,令F(x)=ln(x-1)-x,则F'(x)=-1=,令F'(x)=0,得x=2.当x∈(1,2)时,F'(x)>0,当x∈(2,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以F(x)≤F(2)=-2.因此ln a>-2,所以a>,即a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$