第2章 机械振动 第1节 简谐运动及其图像(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册（教科版）

本讲义聚焦“简谐运动及其图像”核心知识点，从机械振动定义切入，通过弹簧振子模型建构，系统梳理简谐运动的位移-时间图像特征，详解振幅、周期、频率等物理量，推导表达式x=Asin(ωt+φ₀)，并结合周期性多解问题形成完整知识链，搭建从概念到应用的学习支架。 该资料以核心素养为统领，科学思维上通过模型建构（弹簧振子理想化）和科学推理（图像与表达式数形结合）培养分析能力，科学探究中设计任务驱动（如“振子运动特征”探究）和典例变式（不同情境周期计算）。跨教材素材分享（粤教版、人教版对比）及生活实例（心电图仪）增强联系，课中辅助教师突破难点，课后跟踪检测助力学生查漏补缺，提升应用能力。

　 第二章　机械振动 第1节　简谐运动及其图像 核心素养导学 物理观念 认识弹簧振子,理解简谐运动的特征,掌握振幅、周期和频率的概念,了解相位、初相位。 科学思维 (1)通过观察和分析,理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线。 (2)掌握简谐运动的表达式,能在熟悉的问题情境中运用简谐运动、弹簧振子等物理模型解决机械振动的问题。 科学探究 经历对简谐运动特征的探究过程,加深领悟用图像描绘运动的方法。 一、机械振动　简谐运动 1.机械振动:物体或物体的某一部分在某一位置两侧所做的往复运动,简称振动。这个位置称为平衡位置。 2.简谐运动 (1)弹簧振子:小球与弹簧组成的系统,它是一个理想化模型。 [微点拨] 　　(1)弹簧振子经过平衡位置时,速度最大。 (2)弹簧振子经过平衡位置时,合力为0,但弹簧弹力不一定为0。 (2)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x⁃t图像)是一条正弦曲线,这样的运动叫作简谐运动。 (3)简谐运动的图像 建立坐标系 以小球的平衡位置为坐标原点,用横坐标表示小球运动的时间,纵坐标表示小球离开平衡位置的位移,建立坐标系,描绘出位移随时间变化的图像,即x⁃t图像 位移x的含义 振子的位移x是从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段。在x⁃t图像中,振子位置在t轴上方,表示位移为正,在t轴下方,表示位移为负 [微点拨] 　　x⁃t图像不是振子的运动轨迹,而是描述振子的位移随时间的变化规律。 二、描述简谐运动的物理量 1.振幅 (1)定义:振子离开平衡位置的最大距离。 (2)符号和单位:符号为A,单位为米。 (3)振动物体的运动范围:振幅的两倍。 2.周期和频率 周期(T) 频率(f) 定义 振子完成一次全振动所需要的时间 振子完成全振动的次数与所用时间之比 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 物理含义 表示振动快慢的物理量 关系式 T=,二者互为倒数关系 [微点拨] 　　振幅是标量,没有负值,也无方向,它等于振子最大位移的大小,表示振动的强弱。 三、简谐运动的表达式 1.简谐运动的数学表达式:x=Asin(ωt+φ0)。 2.表达式中各量的意义 (1)A表示简谐运动的振幅。 (2)ω表示简谐运动的圆频率。 (3)ωt+φ0叫作相位。 (4)φ0 叫作初相位或初相。  (5)相位差:两个简谐运动的相位之差。 1.如图所示,把一个有孔的小木球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小木球穿在光滑杆上,能够自由振动,这个系统可称为弹簧振子吗?为什么?如果把小木球换成小钢球呢? 提示:不能。因为弹簧的质量与小木球相比不能忽略。如果把小木球换成小钢球,由于小钢球的质量远大于弹簧的质量,那么弹簧的质量可以忽略,该系统可称为弹簧振子。 2.弹簧振子处于平衡位置的合力与弹力 图例 合力(F合) 弹力(F弹) F合=0 F弹=0 F合=0 F弹=mg F合=0 F弹=mgsin θ 3.直线运动的位移与简谐运动的位移 图例 位移 初位置指向末位置的有向线段,大小为 由平衡位置指向振子位置的有向线段,振子在C点位移大小为 4.如图所示为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。则: (1)振幅:A甲=2 m,A乙=2×10-2 m; (2)周期:T甲=4 s,T乙=4×10-1 s; (3)频率:f甲=0.25 Hz,f乙=2.5 Hz; (4)两个简谐运动中,振动较快的为乙(选填“甲”或“乙”); (5)在甲振动中,t=3 s时,位移为-2 m,3 s 内振动的路程为6 m。 5.某物体做简谐运动的振动位移x=3cosm。则: (1)其振幅为A=3 m,T=0.02 s,初相为。 (2)当t= s时,物体的位移x= m。 新知学习(一)|对简谐运动的理解 [任务驱动] 　　小球和弹簧所组成的系统称作弹簧振子,有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振子,如图所示为两种不同的弹簧振子。 　　(1)它们的运动有什么共同特征? (2)弹簧振子在现实生活中真实存在吗?需要满足什么条件呢? 提示:(1)两弹簧振子振动时均有一中心位置,两弹簧振子在各自的中心位置两侧做往复运动。 (2)不存在。弹簧振子是一种理想化模型,需要满足:不计阻力、弹簧的质量与小球相比可以忽略。 [重点释解] 1.物体看成弹簧振子的条件 (1)弹簧的质量比振子(小球)的质量小得多,可以认为质量集中于振子(小球)。 (2)构成弹簧振子的小球体积足够小,可以认为小球是一个质点。 (3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 (4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 2.弹簧振子的运动特点 (1)弹簧振子在运动过程中,振子所受到的弹力随位移的变化而变化,因而弹簧振子的运动是非匀变速运动。 (2)振子受到的弹力是变力,弹簧振子的运动是变加速运动。 3.简谐运动的位移 位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。 4.简谐运动的速度 (1)物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。 (2)特点:如图所示为一简谐运动的模型,振子在O点速度最大,在A、B两点速度为0。 5.简谐运动的加速度 (1)产生:振子的加速度是由弹簧弹力产生的。 (2)方向特点:总是指向平衡位置。 (3)大小变化规律:远离平衡位置运动,振子的加速度增大;向平衡位置运动,振子的加速度减小;平衡位置振子的加速度为0;最大位移处振子的加速度最大。 [典例体验] 　　[典例]　如图所示,水平方向上有一弹簧振子,O点是其平衡位置,振子在a和b之间做简谐运动,关于振子下列说法正确的是 (　 ) A.在a点时加速度最大,速度最大 B.在O点时速度最大,位移最大 C.在b点时位移最大,速度最小 D.在b点时加速度最大,速度最大 [解析]　O为弹簧振子振动的平衡位置,其加速度为0,位移为0,速度最大,B错误;振子在a、b两位置,振动的位移最大,加速度最大,速度为0,故A、D错误,C正确。 [答案]　C /方法技巧/ 判断简谐运动中位移、速度、加速度的技巧 (1)判断正、负:要看其方向与规定正方向的关系。 (2)判断大小变化:要看是处于远离平衡位置的过程中还是处于靠近平衡位置的过程中。 (3)注意简谐运动中位移与速度的矢量性。 ①位移相同时,物体的速度大小相等,但方向可能相反,也可能相同。 ②速度大小相同时,物体的位移大小相等,位移的方向可能相同,也可能相反。 [针对训练] 1.一水平弹簧振子做简谐运动,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值 B.振子通过平衡位置时,速度为0,加速度最大 C.振子每次通过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同 D.振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同 解析:选D　在简谐运动中,加速度的方向一定与位移方向相反,并总是指向平衡位置,但速度方向可能与位移方向相同,也可能相反,A错误;振子通过同一位置,位移相同,则加速度一定相同,速度可能相同也可能相反,C错误,D正确;振子通过平衡位置时速度最大,加速度最小,B错误。 2.如图所示的一弹簧振子,设向右为正方向,O为平衡位置,则下列过程中对于各量的描述正确的是 (　 ) A.A→O时,位移为负,速度为正,加速度增大 B.O→B时,位移为正,加速度为负,加速度增大 C.B→O时,位移为负,速度为正,速度增大 D.O→A时,位移为负,加速度为正,速度增大 解析:选C　位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段;加速度方向总是指向平衡位置;而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定。规定向右为正方向,A→O或O→B速度为负,O→A或B→O速度为正;在A→O、B→O的过程中速度是增大的,加速度是减小的;在O→A、O→B的过程中速度是减小的,加速度是增大的。故选C。 新知学习(二)|简谐运动的图像 [重点释解] 1.物理意义:表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移随时间的变化规律。 2.图像形状:正(余)弦曲线。 3.图像应用 (1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 (2)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向正方向振动。图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b此刻向正方向振动。 (3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断:先判断质点在这段时间内的振动方向,从而确定各物理量的变化。如图甲所示,质点在t1时刻到t0时刻这段时间内,离平衡位置的位移变小,故质点正向平衡位置运动,速度增大,位移和加速度都变小;t2时刻,质点从负位移处远离平衡位置运动,则速度为负值且减小,位移、加速度增大。 [典例体验] 　　[典例]　如图甲所示,一弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O点为振子的平衡位置,其振动图像如图乙所示,规定向右的方向为正方向,试根据图像分析以下问题: (1)在t=0时刻,振子所处的位置为　　　　,正在向　　　　(选填“左”或“右”)运动。  (2)A、B两点间的距离为　　　　cm。  (3)在乙图中,振子在t=1 s、t=2 s和t=3 s时所处的位置依次是　　　　、　　　　和　　　　。  (4)在t=2 s时,振子的速度的方向与t=0时速度的方向　　　　。  (5)质点在前4 s内的位移等于　　　　cm,其路程为　　　　cm。  [解题指导]　振动位移x>0时,表示振子处于平衡位置正方向一侧,x<0时表示振子位于平衡位置负方向一侧,振动位移的大小表示振子到平衡位置的距离。 [解析]　(1)由振动图像知,t=0时,x=0,表示振子位于平衡位置,在0~1 s内,振动位移x>0,且逐渐增大,表示t=0时,振子沿正方向运动,即向右运动。 (2)由题图乙知,振子离开平衡位置的最大距离为3 cm,则AB=6 cm。 (3)t=1 s时,x=3 cm,振子位于B点位置;在t=2 s 时,x=0,振子位于平衡位置;在t=3 s时,x=-3 cm,振子位于A点位置。 (4)在t=2 s时,x ⁃t图像的斜率为负,表示向负方向运动,即向左运动,与t=0时速度的方向相反。 (5)在t=4 s时,振子又回到了平衡位置,故位移Δx=0,其路程为s=3×4 cm=12 cm。 [答案]　(1)O点　右　(2)6　(3)B点　O点　A点　(4)相反　(5)0　12 　　[变式拓展]　对应[典例]中的情境,下列说法正确的是 (　 ) A.0~1 s内,速度增大,加速度增大,位移增大 B.1~2 s内,速度增大,加速度减小,位移减小 C.2~3 s内,速度减小,加速度减小,位移减小 D.3~4 s内,速度增大,加速度减小,位移增大 [解析]　根据图像可知,0~1 s内、2~3 s内振子正由平衡位置向最大位移方向运动,其加速度增大,速度减小,位移增大,故A、C均错误;1~2 s内、3~4 s内,振子正由最大位移处向平衡位置方向运动,其速度增大,加速度减小,位移减小,故B正确,D错误。 [答案]　B /方法技巧/ 简谐运动图像的应用 (1)分析图像问题时,要把图像与物体的振动过程联系起来,图像上的一个点表示振动中的一个状态,图像上的一段图线对应振动的一个过程。 (2)从图像中可直接读出质点的最大位移、某时刻质点的位移大小和方向;可判断某时刻质点的速度方向及一段时间内速度大小的变化情况。 [针对训练] 1.如图所示,一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O点是平衡位置,以某时刻作为计时零点(t=0),经过周期,振子具有正方向的最大速度。那么下列四幅图像中能够正确反映振子的振动情况的是 (　 ) 解析:选D　由时刻振子具有最大速度可知,时刻振子的位移为0,故A、C均错误;由时刻振子具有正向的最大速度可知,B错误,D正确。 2.一质点做简谐运动的图像如图所示,则该质点 (　 ) A.在t=0.015 s时刻,速度和加速度都沿x轴负方向 B.在0.01~0.03 s时间内,速度与加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后增大,加速度是先增大后减小 C.在第八个0.01 s时间内,速度与位移方向相同,且都在不断增大 D.在每1 s时间内,质点有100次经过平衡位置 解析:选B　t=0.015 s时刻速度方向沿x轴负方向,加速度方向沿x轴正方向,A错误;在0.01~0.03 s时间内,速度方向先沿x轴负方向再沿x轴正方向,且先减小后增大,加速度方向一直沿x轴正方向,且先增大后减小,B正确;第八个0.01 s时间内速度和位移的方向均沿x轴正方向,且速度不断减小,C错误;由图像可以看出每经过0.04 s,质点2次经过平衡位置,则每1 s内,质点有50次经过平衡位置,D错误。 新知学习(三)|描述简谐运动的物理量 [任务驱动] 　　如图所示为理想弹簧振子,O为它的平衡位置,将振子拉到A点由静止释放,观察振子的振动;然后将振子拉到B点释放,再观察振子的振动。 (1)两次振动有什么差别?用什么物理量来描述这种差别? (2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间,两种情况下是否相同?每完成一次往复运动所用时间是否相同?这个时间有什么物理意义? 提示:(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大,用振幅来描述振动幅度的大小。 (2)两种情况下所用的时间是相等的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。 [重点释解] 1.对全振动的理解 正确理解全振动的概念,应注意把握全振动的五种特征。 (1)振动特征:一个完整的振动过程。 (2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (3)时间特征:历时一个周期。 (4)路程特征:振幅的4倍。 (5)相位特征:增加2π。 2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系 (1)振幅和振动系统能量的关系:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。 (2)振幅与位移的关系 ①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移时刻变化。 ②振幅是标量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。 ③振幅在数值上等于位移的最大值。 (3)振幅与路程的关系:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。 (4)振幅与周期的关系:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。 [典例体验] [典例]　弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5 s,振子首次到达B点,取向右为正方向,求: (1)振动的频率f和振幅A; (2)振子在5.5 s内通过的路程及位移。 [解析]　(1)由题意可知BC=2A=20 cm,所以A=10 cm 振子从O到B所用时间t=0.5 s,为周期T的, 所以T=2.0 s,f==0.5 Hz。 (2)振子从平衡位置开始运动,在1个周期内通过的路程为4A,故在t'=5.5 s=T内通过的路程 s=×4A=110 cm 5.5 s内振子振动了个周期,所以5.5 s末振子到达C点,位移为-10 cm。 [答案]　(1)0.5 Hz　10 cm　(2)110 cm　-10 cm /方法技巧/ 振动物体路程的计算方法 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。 (2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。 (3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,内通过的路程才等于振幅。 [针对训练] 1.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是 (　 ) A.振幅等于四分之一个周期内的路程 B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间 C.一个全振动过程中,振子的位移大小等于振幅的四倍 D.频率是50 Hz时,1 s内振动物体速度方向改变100次 解析:选D　由于平衡位置附近速度较大,因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅,A错误;周期指发生一次全振动所用的时间,B错误;一个全振动过程中,振子位移为0,C错误;一个周期内速度方向改变2次,频率为50 Hz时,1 s内速度方向改变100次,D正确。 2.(多选)如图所示,小球在B、C之间做简谐运动,O为BC的中点,B、C间的距离为10 cm,则下列说法正确的是 (　 ) A.小球的最大位移是10 cm B.只有在B、C两点时,小球的振幅是5 cm,在O点时,小球的振幅是0 C.无论小球在哪个位置,它的振幅都是5 cm D.从任意时刻起,一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm 解析:选CD　小球位移的起点是O点,小球经过B点或C点时位移最大,最大位移的大小为5 cm,故A错误;小球做简谐运动,振幅不变,由题意知,振幅A=5 cm,故B错误,C正确;根据对称性和周期性可知,从任意时刻起,一个完整的振动过程内小球经过的路程都是4倍振幅,即4A=4×5 cm=20 cm,故D正确。 新知学习(四)|对简谐运动表达式的理解及应用 [重点释解] 1.简谐运动的表达式:x=Asin(ωt+φ) 式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间;A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅。 2.简谐运动的两种描述方法 (1)图像描述法:简谐运动图像即x⁃t图像是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。 (2)表达式描述法:x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。 两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们要能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。 [典例体验] 　　[典例]　(2025·雅安期末检测)如图甲所示,一个轻质弹簧下端挂一小球,小球静止。现将小球向下拉动距离A由静止释放并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T,振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　 ) A.该弹簧振子的振幅为2A B.经时间,小球向上运动的距离等于 C.时刻,小球的动能最大 D.如果A少量增大,周期T也将增大 　　[解析]　由题图乙可知,该弹簧振子的振幅为A,故A错误;0~时间内小球的平均速度小于~时间内的平均速度,故经时间小球向上运动的距离小于,故B错误;时刻,小球位于平衡位置,速度最大,动能最大,故C正确;弹簧振子的周期与振幅无关,所以如果A少量增大,周期T不变,故D错误。 　　[答案]　C 　　[变式拓展]　(多选)对应[典例]的情境,下列说法正确的是 (　 ) A.振动方程为y=Asin B.振动方程为y=Asin C.初相为π D.初相为 [解析]　t=0时,振子的位移为-A,则由Asin φ=-A,得φ=,振动方程为y=Asin。故B、D正确。 [答案]　BD [针对训练] 1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10sincm,则下列关于质点运动的说法中正确的是 (　 ) A.质点做简谐运动的振幅为5 cm B.质点做简谐运动的周期为4 s C.在t=4 s时质点的速度最大 D.在t=4 s时质点的位移最大 解析:选C　由x=10sincm可知,A=10 cm,ω== rad/s,得T=8 s;t=4 s时,x=0,说明质点在平衡位置,此时质点的速度最大,位移为0,所以只有选项C正确。 2.有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。 (1)求振子的振幅和周期。 (2)画出该振子的位移—时间图像。 (3)写出振子的振动方程。 解析:(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动,BC=20 cm,故振幅A=10 cm;振子在2 s内完成了10次全振动,振子的周期T=0.2 s,ω==10π rad/s。 (2)振子经过平衡位置时开始计时,故t=0时刻,位移是0,经周期,振子的位移为负向最大,故振子的位移—时间图像如图所示。 (3)t=0时刻振子的位移为0,则有sin φ=0,且经过振子达到负向最大位移,可得初相位φ=π,故振子的振动方程为x=10sin(10πt+π)cm。 答案:(1)10 cm　0.2 s　(2)见解析图　(3)x=10sin(10πt+π)cm 新知学习(五)|简谐运动的周期性及多解性问题 [典例体验] 　　[典例]　如图所示,一弹簧振子做简谐运动,O点为平衡位置,当振子经过O点时开始计时,(M为O点右侧一个位置)则: (1)振子先向右运动经0.3 s第一次过M点,再经0.2 s 第二次过M点。振子振动周期为多大? (2)振子先向左运动经0.3 s第一次过M点,再经0.2 s 第二次过M点,振子振动周期为多大? [解析]　(1)如图甲所示,O为平衡位置,设()代表振幅,振子从O到C所需时间为,因为简谐运动具有对称性,所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等,故=0.3 s+=0.4 s,解得T=1.6 s。 (2)如图乙所示,若振子一开始从平衡位置背离M向B运动,设M'与M关于O点对称,则振子从M'经B回到M'所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等,即0.2 s。振子从O到M'和从M'到O及从O到M所需时间相等,为= s。故T= s×4+0.2 s×2= s;或=0.3 s+,得T= s。 [答案]　(1)1.6 s　(2) s [系统归纳] 1.周期性造成的多解问题 简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。 2.对称性造成的多解问题 由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题。 [针对训练] 1.(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则 (　 ) A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s 解析:选AD　若振幅为0.1 m,则T=1 s,其中n=0、1、2、…,当n=0时,T=2 s,n=1时,T= s,n=2时,T= s,故A正确,B错误。若振幅为0.2 m,振动分4种情况讨论: 第①种情况,设振动方程为x=Asin(ωt+φ),t=0时,-=Asin φ,解得φ=-,所以由P点到O点用时至少为,由简谐运动的对称性可知,由P点到Q点用时至少为,即T=1 s,其中n=0、1、2、…,当n=0时,T=6 s,n=1时,T= s;第②③种情况,由P点到Q点用时至少为,周期最大为2 s;第④种情况,周期一定小于2 s,故C错误,D正确。 2.(2023·山东高考)(多选)如图所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是 (　 ) A.,3t B.,4t C.,t D.,t 解析:选BC　根据题意质点有以下四种运动情况:①A、B位于平衡位置两侧,质点先从A点向右运动到右侧最大位移处,再向左运动到B点,运动示意图如图甲所示, +=L,得A=,A→O用时,O→右侧最大位移处用时,右侧最大位移处到B用时,故++=t,得T=t,故C正确;②A、B位于平衡位置两侧,质点先从A点向左运动到左侧最大位移处,再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点,运动示意图如图乙所示, +=L,得A=,用时++=t,得T=t,D错误;③A、B位于平衡位置同侧,质点先从A点向右运动到右侧最大位移处,再向左运动到B点,运动示意图如图丙所示, -=L,得A=,用时+=t,得T=4t,B正确;④A、B位于平衡位置同侧,质点先从A点向左运动到左侧最大位移处,再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点,运动示意图如图丁所示, -=L,得A=,用时+++=t,得T=t,A错误。 一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养 ◉科学思维——数形结合思想在机械振动中的应用 1.(选自粤教版教材)做简谐运动物体的振动位移随时间按正弦函数规律变化,这与在数学课上我们学习过正弦函数y=Asin(ωt+φ)相对应。表明简谐运动的规律既可以用图像表示,也可以用函数式表示,将两者对应起来,体现物理核心素养中的数形结合思想。只要已知A、T、φ0,就可以利用x=Asin求出任意时刻t的振动位移或画出x-t图像,展现任意时刻的位置。因此,应把学到的数学知识紧密地和物理现象联系起来,明确简谐运动表达式中这些物理量的物理意义。 ◉科学思维——对简谐运动的位移图像的理解 2.(选自人教版教材课后练习)如图为甲、乙两个简谐运动的振动图像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 解析:甲图:A=0.5 cm,T=0.4 s,初相φ0=π 则根据x=Asin(ωt+φ0)得 x=0.5sincm=0.5sin(5πt+π)cm。 乙图:A=0.2 cm,T=0.8 s,初相φ0= 则x=0.2sincm=0.2sincm。 答案:甲:x=0.5sin(5πt+π)cm 乙:x=0.2sincm 二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值 1.心电图仪通过一系列的传感手段,可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。医生通过心电图,测量相邻两波峰间隔的时间,便可计算出1 min内人心脏跳动的次数(即心率)。同一台心电图仪正常工作时测得被检者甲、乙的心电图分别如图(a)、(b)所示。若医生测量时记下被检者甲每分钟心跳60次,则可推知乙每分钟心跳的次数和这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小分别为 (　 ) A.48次,25 mm/s B.48次,36 mm/s C.75次,45 mm/s D.75次,25 mm/s 解析:选D　设甲、乙心跳的周期分别为T甲、T乙,由题图可知,s甲=v·T甲,s乙=v·T乙,又T甲= min=1 s,可求得坐标纸走纸的速度v= mm/s=25 mm/s,T乙==0.8 s,乙每分钟心跳的次数为=75次,故D正确。 2.(2024·福建高考)如图(a),装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图(b)所示,则试管 (　 ) A.振幅为2.0 cm B.振动频率为2.5 Hz C.在t=0.1 s时速度为零 D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下 解析:选B　根据题图(b)可知,振幅为1.0 cm,周期为T=0.4 s,则振动频率为f== Hz=2.5 Hz,故A错误,B正确;根据题图(b)可知,t=0.1 s时质点处于平衡位置,此时速度最大,故C错误;根据题图(b)可知,t=0.2 s时质点处于负向最大位置处,此时加速度方向竖直向上,故D错误。 3.在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中,要进行振动记录。如图甲所示是一个常用的记录方法,在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P,在下面放一条白纸带。当小球振动时,匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直),笔就在纸带上画出一条曲线,如图乙所示。 探究: (1)记录用笔P做什么运动? (2)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s,作出P的振动图像。 解析:(1)在忽略空气阻力和摩擦阻力的情况下可认为记录用笔P的运动为简谐运动。 (2)由题图乙可知,P运动的最大位移为2 cm,且其运动具有周期性,周期为T==0.2 s,可作出P的振动图像如图所示。 答案:(1)简谐运动　(2)见解析图 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列运动中不属于机械振动的是 (　 ) A.树枝在风的作用下运动 B.竖直向上抛出的物体的运动 C.说话时声带的运动 D.爆炸声引起窗扇的运动 解析:选B　物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动,树枝的运动、声带的运动以及窗扇的运动均是在其平衡位置附近的振动,只有竖直向上抛出的物体的运动不是在其平衡位置附近的振动,故选B。 2.装有砂粒的试管竖直静立于水面,如图所示,将管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向,则下列描述试管振动的图像中可能正确的是 (　 ) 解析:选D　试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是在重力与浮力相等的位置,开始时向上提起的距离,就是其偏离平衡位置的位移,为正向最大位移。故正确答案为D。 3.(多选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,则 (　 ) A.从B→O→C→O→B为一次全振动 B.从O→B→O→C→B为一次全振动 C.从C→O→B→O→C为一次全振动 D.OB不一定等于OC 解析:选AC　O点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B→O→C→O→B的路程为振幅的4倍,A正确;从O→B→O→C→B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,B错误;从C→O→B→O→C的路程为振幅的4倍,C正确;因弹簧振子的系统摩擦不考虑,所以它的振幅一定,OB一定等于OC,D错误。 4.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像,下列说法正确的是 (　 ) A.振动周期为2×10-2 s B.0~2×10-2 s内物体的位移为-10 cm C.物体振动的频率为25 Hz D.物体的振幅为10 cm 解析:选CD　从题图中可读取振动周期为4×10-2 s,A错误;频率为周期的倒数,为25 Hz,C正确;振幅为10 cm,D正确;0~2×10-2 s内物体从平衡位置向正方向运动再回到平衡位置,位移为零,B错误。 5.弹簧振子的振幅增大为原来的2倍时,下列说法正确的是 (　 ) A.周期增大为原来的2倍 B.周期减小为原来的 C.周期不变 D.以上说法都不正确 解析:选C　弹簧振子的周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关,与其他量无关,故C正确。 6.一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s。则 (　 ) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x=0.2sinm,则B的振幅和周期是A的振幅和周期的2倍 解析:选C　由振动方程为x=0.1sin 2.5πt,可读出振幅为0.1 m,圆频率ω=2.5π,故周期T==0.8 s,故A、B错误;在t=0.2 s时,x=0.1sin m=0.1 m,振子的位移最大,故速度为零,故C正确;由两表达式可知弹簧振子B的振幅是A的2倍,但周期相同,D错误。 7.如图所示,一质点做简谐运动(O点为平衡位置),以相同的速度先后通过M、N两点,历时1 s,再经过1 s第2次通过N点,在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为 (　 ) A.3 s,6 cm B.4 s,9 cm C.4 s,6 cm D.2 s,8 cm 解析:选C　做简谐运动的质点,以同样大小的速度先后通过M、N两点,则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称,所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等。那么由平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s,因过N点后再经过t=1 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过N点,则有从N点到最大距离处的时间t2=0.5 s。因此,质点振动的周期是T=4×(t1+t2)=4 s,这2 s内质点总路程的一半,即为振幅,所以振幅A= cm=6 cm,选项C正确。 8.(多选)弹簧振子在AOB之间做简谐运动,O为平衡位置,测得A、B之间的距离为8 cm,完成30次全振动所用时间为60 s,则 (　 ) A.振子的振动周期是2 s,振幅是4 cm B.振子的振动频率是2 Hz C.振子完成一次全振动通过的路程是16 cm D.从振子通过O点时开始计时,3 s内通过的路程为36 cm 解析:选AC　由题意知,振子做简谐运动的振幅A==4 cm,周期T= s=2 s,A正确;振动的频率f== Hz=0.5 Hz,B错误;完成一次全振动通过的路程s=4A=4×4 cm=16 cm,C正确;3 s内通过的路程s'=6A=6×4 cm=24 cm,D错误。 9.弹簧振子做简谐运动,振子运动范围为0.8 cm,周期为0.5 s,计时开始时具有正向最大加速度,则它的振动方程是 (　 ) A.x=8×10-3sin(m) B.x=4×10-3sin(m) C.x=8×10-3sin(m) D.x=4×10-3sin(m) 解析:选B　振子振动范围为0.8 cm,所以2A=0.8 cm,振幅A=0.4 cm,周期为0.5 s,所以ω==4π,而初始时刻具有正向最大加速度,即在负向最大位移处,综上可得x=4×10-3sin(m),B正确,A、C、D错误。 10.(4分)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为10 m/s。在传播方向上有P、Q两质点,坐标分别为xP=1 m,xQ=6 m。波传播到P点开始计时,该点的振动图像如图所示,则简谐波的波长为　　　　m,经过　　　　s,Q点第一次到达正向最大位移处。  解析:由P点的振动图像可得出该波的周期T=0.2 s,由于该波的波速为10 m/s,则该波的波长λ=vT=2 m;由题意知P、Q两质点相距xPQ=5 m,则波从P点传播到Q点需经过tPQ== s=0.5 s,由P点振动图像可得出该波的起振方向向上,则Q点从起振到第一次到达正向最大位移处还需经过T,则经过t=0.55 s,Q点第一次到达正向最大位移处。 答案:2　0.55 11.(6分)某做简谐运动的物体,其位移与时间的变化关系为x=10sin(5πt)cm,则: (1)物体的振幅为多少?(2分) (2)物体振动的频率为多少?(2分) (3)在时间t=0.1 s时,物体的位移是多少?(2分) 解析:简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+φ0),A为振幅,ω为圆频率。 (1)对照题干数据可知,物体的振幅A=10 cm。 (2)根据频率与圆频率的关系式可知,物体振动的频率f==2.5 Hz。 (3)在时间t=0.1 s时,物体的位移x=10sin(5π×0.1)cm=10 cm。 答案:(1)10 cm　(2)2.5 Hz　(3)10 cm 12.(10分)根据如图所示的某振子的振动图像,回答下列问题: (1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移: ①t1=0.5 s;②t2=1.5 s。(6分) (2)将位移随时间的变化规律写成x=Asin(ωt+φ)的形式并指出振动的初相位的大小。(4分) 解析:(1)由题图知,x=Acos ωt=10coscm=10 coscm。则t1=0.5 s时,x1=5 cm;t2=1.5 s时,x2=-5 cm。 (2)由正余弦函数的关系可知 x=10sincm,初相位φ=。 答案:(1)①5 cm　②-5 cm (2)x=10sincm　 13.(10分)如图所示,一轻质弹簧上端系于天花板上,一端挂一质量为m的小球,弹簧的劲度系数为k,将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手后,小球做简谐运动,则: (1)小球从放手至运动到最低点,下降的高度为多少?(5分) (2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少?(5分) 解析:(1)放手后小球到达平衡位置O点,弹簧伸长了x,则mg=kx,x=,x也是振动过程中球离平衡位置的最大距离,所以小球从放手运动到最低点,下降高度为2x,即。 (2)小球在最高点时只受重力,其加速度为g,最低点和最高点对平衡位置的位移大小相等,故加速度大小相等为g。 答案:(1)　(2)g 2 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $$