第二单元 圆（解决问题讲义）数学西师大版六年级上册

本小学数学讲义以“圆”为单元核心，通过知识框架图系统梳理周长计算、面积计算、最大圆问题及圆环面积四大模块，清晰呈现公式推导（如化曲为直思想）、计算技巧（知半径乘2π等）等重难点，构建“概念-公式-应用”的递进知识脉络。 练习设计分层递进，基础题巩固公式应用（如已知半径求自行车轮周长），拔高题结合生活情境（如用绳子测树直径），拓展题培养几何直观（如正方形内最大圆面积），答案解析含思路分析与技巧总结，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学，提升运算能力与空间观念。

第二单元 圆 1．圆的周长计算： 公式的意义：圆的周长总是直径的 3 倍多一些。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，用希腊字母π表示。π是一个无限不循环小数，计算时，通常保留两位小数，取3.14。如果用C表示圆的周长，那么＝π，得C=πd 或 C=2πr。 计算技巧：知半径乘2π，知直径乘π；知周长求半径÷2π，求直径÷π若遇实物测一圈，“单位统一”是关键。 2．圆的面积计算： 意义：利用化曲为直、极限思想，推导出圆的面积计算公式：S＝πr2。 计算技巧：已知半径r，S＝πr2；已知直径d，S＝π（）2；已知周长C，S＝π（）2 3．最大圆问题： 最大圆的直径等于矩形的宽度（即较短的边），以确保圆完全内切于矩形而不会超出边界。（计算技巧：最大圆的直径等于长方形的宽或者正方形的边长。） 4．圆环面积计算方法： 类似圆环这一类型的组合图形面积时，可以先将组合图形分割成几个简单的图形，计算出简单图形的面积后，再相加或相减。 计算方法：圆环面积＝外圆面积－内圆面积；公式表示：S环＝πR2-πr2 S环＝π×(R2-r2) 类型1：已知半径、直径求周长 典型例题1： 小林的自行车轮子的半径大约是30cm。这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远？（结果保留整数。） 思路分析： 根据题目已知条件，实际求圆的周长，已知r＝30cm，通过公式C＝2πr可求得结果。 答题区： 变式训练： 在一个圆形的凉亭里，天天沿着直径从一端走10步到达另一端，每步长大约是60cm。这个圆的周长大约是多少米？ 类型2：已知周长求直径、半径 典型例题2-1 某个便民体育馆中有个圆形的儿童泳池，泳池的周长是78.5米，它的直径应是多少米？ 思路分析： 已知圆的周长公式为：C＝πd，通过公式变形：d＝C÷π，将C＝78.5代入可得到结果。 答题区： 典型例题2-2 一棵10年树龄的红杉树，围绕树干一圈是56.52cm，半径平均每年增加的长度是多少呢？ 思路分析： 已知圆的周长公式为：C＝πd，通过公式变形：d＝C÷2π，将C＝78.5代入可得到半径，求得半径后再除以10便能得到结果。 答题区： 变式训练： 1．一座古代建筑共有72条支撑柱，其中一条支撑柱的横截面是一个圆，这个圆的周长是3.14米，这个圆的半径是多少米？ 2．一个由铁丝围成的长方形，长是10.84分米，宽8分米，若用这根铁丝围成一个圆形，这个圆形的直径是多少分米？半径是多少分米？ 3．小西用一根30米长的绳子测一棵树的直径，在树干上绕了10圈多了1.74米。这棵树的直径大约多少米？ 类型3：已知半径、直径求面积 典型例题3： 小程今天跟家人去披萨店吃午餐，点了一个12寸的披萨，小程好奇这个披萨的面积，量了量直径约30cm，那么面积是多少呢？ 思路分析： 根据题目可知圆的直径为30cm，但不能直接用直径平方来求面积，先用d÷2求半径，求得半径后再通过公式计算面积。 答题区： 变式训练： 一个圆规张开3cm在纸上旋转一圈得出一个图形，这个图形的面积是多少？ 类型4：已知圆的周长求圆的面积 典型例题4： 小锦周末去植物园参观，看到一棵大树的标签上写着：树干横截面的周长为251.2cm。树干的横截面近似于圆，它的面积大约是多少？ 思路分析： 由题干得出圆的周长为251.2cm，可以先利用r＝C÷2π得出半径，再通过公式计算面积。 答题区： 变式训练： 1．达达学习完《圆》这个单元后，好奇学校的圆形花坛的占地面积，他跟同学们去量取了花坛的一周为18.84米，那么花坛的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 2．冯爷爷家进行改造，其中一扇门的形状如右图（下方是一个正方形） 所示，这个半圆的弧长为78.5cm，这扇门的总面积是多少平方分米？ 3．如图所示，学校计划在教学楼后靠墙用栅栏围一个半圆形花坛种山茶花，栅栏长，如果每平方米种棵郁金香，请你帮忙算一算，需要买多少棵山茶花？ ‍ 类型5：最大圆问题 典型例题5： 边长10厘米的正方形内剪一个最大圆，剩余部分面积是多少？ 思路分析： 正方形中剪最大圆，这个圆的直径为正方形的边长，也就是d＝（ ）cm，那么r＝d÷2＝（ ）cm；再利用公式可求得最大圆的面积。但要留意题目所求是剩余部分的面积，那么需要求得正方形的面积，再减去圆的面积才是最终的结果。 答题区： 变式训练： 1．美术课上，陈老师让大家在一张长为10cm，宽为8cm的纸上剪出一个最大的圆来做手工，这个圆的面积为多少平方厘米？ 2．一块长方形钢板的长1.8米，宽是长的，用它截出一个最大的圆，剩余面积是多少？ 类型6：圆环的面积计算 典型例题6： 光盘实际上是一个圆环，内圆半径是0.6cm，外圆的半径是6cm。圆环的面积是多少？ 思路分析： 由题干可得“外圆”的半径为6cm，“内圆”的半径为0.6cm；可用“外圆”面积减去“内圆”面积得出阴影部分的面积。 答题区： 变式训练： 1．晓华暑期去桂林旅游，在景区里面买了一把纸折扇，他量了一下纸扇的纸面是16cm，扇柄是25cm，那么这把折扇完全打开后的扇面的面积是多少？ 2．一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？ A夯实基础 一、填空题 1．一个车轮的直径是55厘米，车轮转动一周，大约前进（ ）米。 2．一张圆形餐桌的半径是0.9米，如果一个人需要0.5米的位置就餐，这张餐桌大约能坐（ ）人。 3．一个圆形花坛的半径是5m，沿花坛边缘每3.14m放1盆花，一共需要放（ ）盆花。 二、选择题 1．小丽用圆规画一个周长是15.7cm的圆，圆规两脚间应量取的距离是（　　）cm。 A.15.7         B.5         C.2.5 D. 10 2．下图是一个“禁止驶入”的交通标志，图中有一个70cm×12cm的白色长方形，其余部分为阴影（实际为红色）。这个图形中阴影部分的面积是（　　）cm2。 A．5024 B．20096 C．4184 D．19256 3．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆纸片。应该选择下面的（   ）纸片。 A．长是8cm，宽是6cm的长方形 B．边长是4cm的正方形 C．长是9cm，宽是8cm的长方形 D．周长是28cm的正方形 B培优拔高 1．下图池塘的周长是251.2米，池塘周围(阴影部分)是一条5米宽的水泥路，在水泥路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？ 2．一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的，要做500个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板？ 3．有一个圆形蓄水池，它的周长约是37.68m，后来蓄水池进行了扩建，半径增加了3m，面积增加了多少? C思维拓展 1．有一个面积为700平方米的圆形草坪，要为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？安装在什么位置？ 2．光明小学在半径为100m的圆形跑道上举行自行车赛。六（1）班的刘明6分钟骑完两圈，他的自行车的车轮直径是0.5m，刘明每分钟的车速是多少米？ 3．装卸工人把4根圆柱形钢管用铁丝捆扎在一起（下图）。每根钢管的直径为10厘米，如果铁丝接头处的长度忽略不计，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 答题区：C＝2πr ＝2×3.14×30 ＝188.4≈188（cm） 答：大约可以走188cm。 变式训练答案： d：10×60＝600（cm）＝6（m） C＝πd＝3.14×6＝18.84（m） 答：这个圆的周长大约是18.84米。 解析：找出圆的直径，并且要留意单位并不统一，可以先化单位再计算，也可先计算再化单位。 类型2 答案解析 典型例题2-1： 答题区：d＝78.5÷3.14＝25（米） 答：它的直径是25米。 典型例题2-2： 答题区：d＝56.52÷3.14÷2＝9（cm） 9÷10＝0.9（cm） 答：半径平均每年增加的长度是0.9cm。 变式训练答案： 1． 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（米） 答：这个圆的半径是0.5米。 解析：由周长÷3.14可得直径，再由直径÷2便可得到半径。 2． （10.84＋8）×2＝37.68（分米） 37.68÷3.14＝12（分米） 12÷2＝6（分米） 答：这个圆的直径是12分米，半径是6分米。 解析：由题意可得长方形的周长与圆形的周长保持不变，先利用（长＋宽）×2求得周长，再利用周长÷π得到直径，再除2就能得到半径。 3． （30－1.74）÷10＝2.826（米） 2.826÷3.14＝0.9（米） 答：这棵树的直径大约0.9米。 解析：先计算绕树干10圈实际使用的绳子长度，就能得出一圈的长度，也就是树干的周长；再用周长÷π就得到半径。 类型3 答案解析 典型例题3： 答题区： r＝30÷2＝15（cm） S＝πr2 ＝3.14×152 ＝706.5（cm2） 答：面积是706.5cm2。 变式训练答案： S＝πr2 ＝3.14×32 ＝28.26（cm2） 解析：圆规张开的距离代表的是画出圆的半径。 类型4 答案解析 典型例题4： 答题区： r＝251.2÷3.14÷2 ＝80÷2 ＝40（cm） S＝πr2 ＝3.14×402 ＝5024（cm2） 答：它的面积大约是5024cm2。 变式训练答案： 1． r＝18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（m） S＝πr2 ＝3.14×32 ＝28.26（m2） 答：花坛的占地面积是28.26m2。 解析：先利用r＝C÷2π得出半径，再通过公式计算面积。 2． r＝78.5÷3.14＝25（cm） 正方形边长：25×2＝50（cm） 正方形的面积：50×50＝2500（cm2） 半圆的面积：3.14×252÷2＝981.25（cm2） 总面积：2500＋981.25＝3481.25（cm2）＝34.8125（dm2） 答：这扇门的总面积是34.8125dm2。 解析：半圆的弧长等于整个周长的一半，即πr，那么用78.5÷3.14就能求出半圆的半径；根据题意，正方形的边长等于圆的直径；半圆的面积相当于圆的面积的一半，要记得÷2；将正方形面积加上半圆面积得到最终结果。 3． 12.56÷3.14＝4（m） 3.14×42÷2＝25.12（m2） 25.12×25＝628（棵） 答：需要买628棵山茶花。 解析：利用半圆周长÷π可求得半径，通过公式求得圆的面积，但要记得÷2求得半圆的面积，再×25即可。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：10；5 答题区： r＝10÷2＝5（cm） S圆＝πr2 ＝3.14×52 ＝78.5（cm2） S正＝10×10＝100（cm2） 100－78.5＝21.5（cm2） 答：剩余部分面积是21.5cm2。 变式训练答案： 1． r＝8÷2＝4（cm） S＝πr2 ＝3.14×42 ＝50.24（cm2） 答：这个圆的面积为50.24平方厘米。 解析：长方形中剪最大圆，圆的直径相当于长方形的宽，也就是8cm；利用8÷2能得到圆的半径，再套用公式解答即可。 2． 宽：1.8×＝1.2（米） 1.2÷2＝0.6（米） 3.14×0.62＝1.1304（平方米） 1.8×1.2－1.1304＝1.0296（平方米） 答：剩余面积时1.0296平方米。 解析：利用分数乘法求得宽，最大圆的直径相当于长方形的宽，利用1.2÷2能得到圆的半径，再套用公式得到圆的面积；需要注意的是，此次求的是剩余的面积，那么先求长方形面积再减圆的面积即可。 类型6答案解析 典型例题6： 答题区： S＝3.14×62－3.14×0.62 ＝113.04－1.1304 ＝111.9096cm2） 变式训练答案： 1． r＝25－16＝9（cm） S环＝πR2－πr2 ＝3.14×252－3.14×92 ＝1962.5－254.34 ＝1708.16（cm2） 1708.16÷2＝854.08（cm2） 答：这把折扇完全打开后的扇面面积为854.08cm2。 解析：扇柄相当于圆环的外圆半径，而纸面属于环宽，利用外圆半径减去环宽求得内圆的半径，再利用公式求得圆环面积；但要注意，扇面并非一整个圆环的面积，而是一半，所以需÷2。 2． R＝50÷2＝25（m） r＝10÷2＝5（m） πR2－πr2 ＝3.14×252－3.14×52 ＝1962.5－78.5 ＝1884（m2） 答：草坪的占地面积是1884m2。 解析：这是一个圆环面积计算问题，题目所给定的信息是外圆与内圆的直径，需要各自÷2得到半径。再利用公式计算即可。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：1.727 解析：车轮转动一周实际是计算圆的周长，利用公式计算即可，注意结果的单位换算。 2.答案：11 解析：先通过公式求得餐桌的周长为5.652米，再÷0.5能计算出大约能坐多少人，但要留意最终结果保留整数时要用去尾法。 3.答案：10 解析：先通过公式求得花坛的周长为31.4m，再÷3.14即可。 二、选择题 1.答案：C 解析：由题意可得圆的周长为15.7cm，圆规两脚间应量取的距离实际上表示圆的半径，通过周长÷2π解答即可。 2.答案：C 解析：阴影部分面积实际是圆的面积减去长方形的面积，要留意给定的是圆的直径，需要先÷2得到半径再代入公式计算。 3.答案：C 解析：圆的面积为50.24，那个r2＝50.24÷3.14＝16（cm），那么r为4（cm），d为4×2＝8（cm）；A选项中的宽为6cm＜8cm，不符合；B选项中正方形变成为4cm＜8cm，不符合；D选项正方形周长为28cm，则边长为7cm＜8cm，不符合。 B培优拔高 1.答案： r＝251.2×3.14÷2＝40（米） 面积：3.14×（40＋5）2－3.14×402 ＝6358.5－5024 ＝1334.5（平方米） 栏杆长：3.14×（40＋5）×2＝282.6（米） 答：水泥路的面积是1334.5平方米，栏杆长282.6米。 解析：先利用周长251.2÷2π求得池塘的半径，那么外圆的半径跟内圆的半径都有了就能计算圆环的面积。栏杆长实际上是计算外圆的周长。 2.答案： 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝706.5（平方厘米） 706.5×500＝353250（平方厘米）＝35.325（平方米） 答：至少需要35.325平方米的铝板。 解析：根据题意中的直径可得半径，由半径可求出一个圆形的面积，再×500，据此解答即可。但要注意单位统一，最后要进行单位互化。 3.答案： 37.68÷3.14÷2＝6（m） 6＋3＝9（m） 3.14×92－3.14×62＝254.34－113.04＝141.3（m） 答：面积增加了141.3m。 解析：通过分析，可知此题所求面积实际上是一个内圆半径为6m，环宽为3m的圆环，通过6＋3得到外圆的半径后，便能通过公式计算出圆环的面积，也就是题目中增加的面积。 C思维拓展 1.答案： 射程20米：3.14×202＝1256（平方米） 射程15米：3.14×152＝706.5（平方米） 射程10米：3.14×102＝314（平方米） 1256＞700（过于浪费）706.5＞700（能够完全覆盖，又避免浪费）314＜700（无法完全覆盖） 答：选择射程15米的比较合适，安装在圆心位置是最好的。 解析：喷灌装置的射程对应其覆盖半径，覆盖面积计算公式为πr²，计算出覆盖面积后与草坪面积进行比较后取最适合的。 2.答案： 跑道周长：3.14×100×2＝628（米） （628×2）÷6≈209.33（米） 答：刘明每分钟的车速是209.33米。 解析：由半径可求得圆形跑道一圈的周长，注意题干中是跑两圈，实际的距离需要用周长×2；利用公式“速度＝距离÷时间”即可解答。（题目中车轮半径在此问题中是干扰消息，不影响最终车速的计算。） 3.答案： 3.14×10＝31.4（cm） 10×4＝40（cm） （31.4＋40）×2＝142.8（cm） 答：捆扎2圈至少需要142.8cm长的铁丝。 解析：通过平移图形中的线段，可得出，此图形的周长实际上由一个完整的圆与一个边长为圆的直径的正方形组成的。需要注意题目所需计算的是2圈，需要×2。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$