第14节 二次函数的综合应用-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 14 节 二次函数的综合应用 考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 1．(2025·合肥模拟)灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口 H 离地面的竖直高度 OH 为 1.5 m．如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐 标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE＝3 m，竖 直高度 EF＝0.5 m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 m，高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 OD 为 d(单位：m). (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC； (2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d 的取值范围． 37/93 数学中考总复习 第 1 轮 考点二 应用二次函数解决最优化问题 2．(2025·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价 不低于进价时，日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值． 销售单价 x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求 y 与 x 的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确 保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值． 38/93 数学中考总复习 第 1 轮 3．(2025·安徽模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝a(x＋1)(x－4)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－2). (1)求 a 的值． (2)点 D 为第四象限抛物线上一点． ①连接 BD，CD，求△BCD 面积的最大值； ②连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记△BDE 的面积为 S1，△ABE 的面积为 S2，求 S1 S2 的最 大值． 备用图 39/93 数学中考总复习 第 1 轮 考点三 新定义型二次函数 4．(2025·合肥模拟)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，定义函数 y＝   ax 2＋bx＋c（x≥0）， －ax2－bx－c（x＜0） 是它 的相关函数．若一次函数 y＝x＋1 与二次函数 y＝x2－4x＋c 的相关函数的图象恰好有两个公共 点，则 c 的值可能是( ) A．－1 B．0 C． 1 2 D．2 5．(2025·合肥一模)我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 6 倍的点，则把该函 数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”y＝x＋20，其“行知点”为(4，24). (1)直接写出函数 y＝ 24 x 图象上的“行知点”是____________； (2)若二次函数 y＝(a－3)x2＋(a＋3)x＋ 1 2 a 的图象上只有一个“行知点”，则 a 的值为________． 6．(2025·安徽冲刺卷)定义：平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)，点 Q(c，d)，若 c＝ka，d＝ －kb，其中 k 为常数，且 k≠0，则称点 Q 是点 P 的“k 级变换点”．例如，点(－4，6)是点(2，3) 的“－2 级变换点”． (1)函数 y＝－ 4 x 的图象上是否存在点(1，2)的“k 级变换点”？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由； (2)动点 A       t， 1 2 t－2 与其“k 级变换点”B 分别在直线 l1，l2上， 在 l1，l2 上分别取点(m2，y1)，(m2，y2).若 k≤－2，求证：y1－y2≥2； (3)关于 x 的二次函数 y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1 级变换点”都 在直线 y＝－x＋5 上，求 n 的取值范围． 40/93 数学中考总复习 第 1 轮 第 14 节 二次函数的综合应用 考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 1．(2025·合肥模拟)灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口 H 离地面的竖直高度 OH 为 1.5 m．如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐 标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE＝3 m，竖 直高度 EF＝0.5 m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 m，高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 OD 为 d(单位：m). (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC； (2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d 的取值范围． 解：(1)由题意得 A(2，2)是上边缘抛物线的顶点， 设上边缘抛物线的函数解析式为 y＝a(x－2)2＋2， 又因为抛物线过点(0，1.5)，所以 1.5＝4a＋2，所以 a＝－ 1 8 ， 所以上边缘抛物线的函数解析式为 y＝－ 1 8 (x－2)2＋2. 令 y＝0，则－ 1 8 (x－2)2＋2＝0，解得 x1＝6，x2＝－2，所以 OC＝6 m， 即喷出水的最大射程 OC 为 6 m. (2)如图，过点 H 作 HM∥x 轴，交上边缘抛物线于点 M. 43/125 数学中考总复习 第 1 轮 对于上边缘抛物线 y＝－ 1 8 (x－2)2＋2，当 y＝1.5 时，则－ 1 8 (x－2)2＋2＝1.5， 解得 x1＝4，x2＝0，则 M(4，1.5). 因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 所以下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 m 得到的， 所以点 B 可由点 C 向左平移 4 m 得到． 由(1)知 OC＝6 m，所以 OB＝6－4＝2(m)，所以点 B 的坐标为(2，0). (3)因为 EF＝0.5 m，所以点 F 的纵坐标为 0.5，令 0.5＝－ 1 8 (x－2)2＋2，解得 x＝2±2 3 . 因为 x＞0，所以 x＝2＋2 3 ， 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，所以当 2＜x≤6 时，要使 y≥0.5，则 x≤2＋2 3 . 因为当 0≤x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，且 x＝0 时，y＝1.5＞0.5， 所以当 0≤x≤6 时，要使 y≥0.5，则 0≤x≤2＋2 3 . 因为 DE＝3 m，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 所以 d 的最大值为 2＋2 3 －3＝2 3 －1， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 d≥OB，所以 d 的最小值为 2. 综上所述，d 的取值范围是 2≤d≤2 3 －1. 44/125 数学中考总复习 第 1 轮 考点二 应用二次函数解决最优化问题 2．(2025·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价 不低于进价时，日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值． 销售单价 x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求 y 与 x 的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确 保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值． 解：(1)设 y 与 x 的函数表达式为 y＝kx＋b， 把 x＝12，y＝56；x＝20，y＝40 分别代入，得   12k＋b＝56， 20k＋b＝40， 解得   k＝－2， b＝80， 所以 y 与 x 的函数表达式为 y＝－2x＋80. (2)设日销售利润为 w(元)，根据题意，得 w＝(x－10)·y ＝(x－10)(－2x＋80) ＝－2x2＋100x－800 ＝－2(x－25)2＋450， 所以当 x＝25 时，w 有最大值为 450， 所以糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元． (3)设日销售利润为 w(元)，根据题意，得 w＝(x－10－m)·y ＝(x－10－m)(－2x＋80) ＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m， 45/125 数学中考总复习 第 1 轮 所以当 x＝－ 100＋2m 2×（－2） ＝ 50＋m 2 时， w 有最大值为－2      50＋m 2 2 ＋(100＋2m)      50＋m 2 －800－80m. 为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元， 所以－2      50＋m 2 2 ＋(100＋2m)·      50＋m 2 －800－80m＝392， 化简得 m2－60m＋116＝0，解得 m1＝2，m2＝58(舍去)，所以 m 的值为 2. 3．(2025·安徽模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝a(x＋1)(x－4)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－2). 备用图 (1)求 a 的值． (2)点 D 为第四象限抛物线上一点． ①连接 BD，CD，求△BCD 面积的最大值； ②连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记△BDE 的面积为 S1，△ABE 的面积为 S2，求 S1 S2 的最 大值． 解：(1)把 C(0，－2)代入 y＝a(x＋1)(x－4)中，得－4a＝－2，所以 a＝ 1 2 . (2)①由(1)得抛物线解析式为 y＝ 1 2 (x＋1)(x－4)＝ 1 2 x2－ 3 2 x－2， 所以点 A 和点 B 的坐标分别为(－1，0)，(4，0). 46/125 数学中考总复习 第 1 轮 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b1，所以   4k＋b1＝0， b1＝－2， 解得   k＝ 1 2 ， b1＝－2， 所以直线 BC 的解析式为 y＝ 1 2 x－2. 如图，过点 D 作 DE∥y 轴交 BC 于点 E. 设 D(m， 1 2 m2－ 3 2 m－2)，则 E       m， 1 2 m－2 ， 所以 DE＝ 1 2 m－2－ 1 2 m2＋ 3 2 m＋2 ＝－ 1 2 m2＋2m， 所以 S△BCD＝S△CDE＋S△BDE＝ 1 2 DE·(xD－xC)＋ 1 2 DE·(xB－xD) ＝ 1 2 DE·(xB－xC)＝2DE＝－m2＋4m ＝－(m－2)2＋4. 因为－1＜0，所以当 m＝2 时，S△BCD 有最大值，最大值为 4. ②如图，过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K， 所以 AK∥DG，所以△AKE∽△DFE，所以 DF AK ＝ DE AE ，所以 S1 S2 ＝ S△BDE S△ABE ＝ DE AE ＝ DF AK . 在 y＝ 1 2 x－2 中，当 x＝－1 时，y＝－ 1 2 －2＝－ 5 2 ， 所以 K      －1，－ 5 2 ，所以 AK＝ 5 2 . 47/125 数学中考总复习 第 1 轮 设 D       m， 1 2 m2－ 3 2 m－2 ，则 F       m， 1 2 m－2 ， 所以 DF＝ 1 2 m－2－ 1 2 m2＋ 3 2 m＋2＝－ 1 2 m2＋2m， 所以 S1 S2 ＝ － 1 2 m2＋2m 5 2 ＝－ 1 5 m2＋ 4 5 m＝－ 1 5 (m－2)2＋ 4 5 ， 所以当 m＝2 时， S1 S2 有最大值，最大值是 4 5 . 考点三 新定义型二次函数 4．(2025·合肥模拟)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，定义函数 y＝   ax 2＋bx＋c（x≥0）， －ax2－bx－c（x＜0） 是它 的相关函数．若一次函数 y＝x＋1 与二次函数 y＝x2－4x＋c 的相关函数的图象恰好有两个公共 点，则 c 的值可能是( ) A．－1 B．0 C． 1 2 D．2 答案：D 5．(2025·合肥一模)我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 6 倍的点，则把该函 数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”y＝x＋20，其“行知点”为(4，24). (1)直接写出函数 y＝ 24 x 图象上的“行知点”是____________； (2)若二次函数 y＝(a－3)x2＋(a＋3)x＋ 1 2 a 的图象上只有一个“行知点”，则 a 的值为________． 答案：(1)(2，12)或(－2，－12) (2)－3 6．(2025·安徽冲刺卷)定义：平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)，点 Q(c，d)，若 c＝ka，d＝ －kb，其中 k 为常数，且 k≠0，则称点 Q 是点 P 的“k 级变换点”．例如，点(－4，6)是点(2，3) 的“－2 级变换点”． (1)函数 y＝－ 4 x 的图象上是否存在点(1，2)的“k 级变换点”？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由； 48/125 数学中考总复习 第 1 轮 (2)动点 A       t， 1 2 t－2 与其“k 级变换点”B 分别在直线 l1，l2上， 在 l1，l2 上分别取点(m2，y1)，(m2，y2).若 k≤－2，求证：y1－y2≥2； (3)关于 x 的二次函数 y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1 级变换点”都 在直线 y＝－x＋5 上，求 n 的取值范围． 解：(1)存在． 由题意得，(1，2)的“k 级变换点”为(k，－2k)， 将(k，－2k)代入反比例函数解析式得－4＝k(－2k)， 解得 k＝± 2 . (2)证明：由题意得，点 B 的坐标为       kt，－ 1 2 kt＋2k . 由点 A 的坐标知，点 A 在直线 y＝ 1 2 x－2 上，同理可得，点 B 在直线 y＝－ 1 2 x＋2k 上， 则 y1＝ 1 2 m2－2，y2＝－ 1 2 m2＋2k， 则 y1－y2＝ 1 2 m2－2＋ 1 2 m2－2k＝m2－2k－2. 因为 k≤－2，则－2k－2＋m2≥2， 即 y1－y2≥2. (3)设在二次函数图象上的两个点为点 A，B， 设点 A(s，t)，则其“1 级变换点”的坐标为(s，－t). 将(s，－t)代入 y＝－x＋5 得－t＝－s＋5，则 t＝s－5，即点 A 在直线 y＝x－5 上． 同理可得，点 B 在直线 y＝x－5 上，即点 A，B 所在的直线为 y＝x－5. 由抛物线的解析式知，其和 x 轴的交点为(－1，0)，(5，0)，其对称轴为直线 x＝2. 当 n＞0 时，抛物线和直线 AB 的大致图象如下： 49/125 数学中考总复习 第 1 轮 直线和抛物线均过点(5，0)，则点 A，B 必然有一个点为(5，0)，设该点为点 B，另外一个点为 点 A，如上图，联立直线 AB 和抛物线的解析式得 y＝nx2－4nx－5n＝x－5. 设点 A 的横坐标为 x，则 x＋5＝ 4n＋1 n . 因为 x≥0，则 4n＋1 n －5≥0，解得 n≤1，此外，直线 AB 和抛物线在 x≥0 时有两个交点， 故 Δ＝(－4n－1)2－4n(5－5n)＝(6n－1)2＞0，故 n≠ 1 6 ，即 0＜n≤1 且 n≠ 1 6 ； 当 n＜0 时，直线 AB 不可能和抛物线在 x≥0 时有两个交点，故该情况不存在． 综上，0＜n≤1 且 n≠ 1 6 . 50/125