18.1 平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ） A. B. C. D. 2.如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 6.如图，在中，为对角线上两点． (1)若，连接，求证：． (2)连接，若分别平分，，求的度数； 7.在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF． 二、利用平行四边形的对角相等求解 1.在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 2.在▱ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则▱ABCD中较大内角的是（　　） A.150° B.120° C.60° D.30° 3.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（　　） A.105° B.90° C.75° D.30° 4.如图，点A，B，F在同一直线上，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，BE平分∠CBF，则∠EBF＝　    　． 5.如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接CE．若BE＝BC，求∠ECD的度数． 三、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 2.在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在▱中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（    ） ①≌；②；③是等边三角形；④． A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④ 4.如图，是平行四边形边上的点，，的延长线交于点，添加一个条件      ，使得（填一个即可）． 5.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 6.如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7. 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF. 四、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，在▱ABCD中，它的周长是36 cm．AB＝8 cm，则BC等于（　　） A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 2. 如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A. 40 cm2 B. 32 cm2 C. 36 cm2 D. 50 cm2 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，连接AC，BD，若∠ACB＝90°，则BD的长为_______________. 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 7.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 五、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　） A.是中心对称图形 B.且 C. D.与的面积相等 2.如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3.在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 5.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE＝DB；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD＝EF；⑤ S四边形BCDE＝BD·CE；⑥BC2＋DE2＝BE2＋CD2；其中一定正确的是        .（把所有正确结论的序号填在横线上） 6.如图， 的对角线相交于点O，直线经过点O与、相交于点E、F，于点M，于点N，则与是否相等？请说明理由． 7.如图，□的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接．求证：． 六、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，平行四边形的对角线交于点，若，的周长为29，则的值为（    ） A.18 B.36 C.38 D.39 2.如图，形如的纸片的对角线与相交于点，将这张纸片对折后点与点重合，点落在点处，已知，那么的度数为（   ） A. B. C. D. 3.如图，的周长为，对角线与相交于点，交于，连接，则的周长为（   ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，，则的面积      ． 5.如图，已知的对角线交于点，过点的线段与分别交于点，如果，四边形的周长为12．则      ． 6.如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，的周长是10，求四边形的周长． 7.如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 七、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，把剪成三部分，边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 2.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.体育课上甲、乙、丙三位同学依次进行跳远测试，他们都从点起跳，落脚点分别为、、，且它们三点在同一直线上，且平行于起跳板，如图，则三位同学的成绩（    ） A.甲最好 B.乙最好 C.丙最好 D.一样好 4.如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为5，则的面积为          ． 5.如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于          ． 6.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 7.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点，，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可）． (2)在图2中，直接写出的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高（提示：利用格点构造全等三角形，保留作图痕迹，不写求作过程．） 八、求平行线间的距离 1.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（    ） A.的长 B.的长 C.的长 D.的长 3.如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段的长 4.如图，在▱ABCD中，AC＝21 cm，BE⊥AC于点E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm，则两平行线AD与BC间的距离是    cm． 5.如图，已知直线，，，则的边上的高是      ． 6.如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？ 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 2.如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵当时，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等角的补角相等）， 在和中， ， ∴， ∴条件①能够使； ∵当时， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴条件②能够使； ∵当时，无法根据全等三角形的判定定理证明， ∴条件③不能够使； ∵当平分，平分时， ∴ 在和中， ， ∴， ∴条件④能够使． ∴有①②④，3种添法． 故选：C． 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 【答案】B 【解析】设AD与CE交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠ODC，，BC=AD， ∴∠CAD=∠ACB， 由折叠的性质可得：AE=AB，∠B=∠AEO，BC=CE， ∴AE=CD，∠AEO=∠CDO，AD=CE， 又∵∠AOE=∠COD， ∴△AOE≌△COD（AAS）， ∴OD=OE， ∴OA=OC， ∴∠CAD=∠ACO，∠OED=∠ODE， ∵∠AOC=∠EOD， ∴∠OED+∠ODE=∠OAC+∠OCA， ∴∠CAD=∠ACO=∠OED=∠ODE， ∴与∠CAD度数一定相等的角的个数为4个， 故选B． 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一）. 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 【答案】②③ 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 6.如图，在中，为对角线上两点． (1)若，连接，求证：． (2)连接，若分别平分，，求的度数； 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴. （2）∵若分别平分，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则. 7.在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C． ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEA＝∠BFC， 在△DEA和△BFC中， ， ∴△DEA≌△BFC， ∴AE＝CF. 二、利用平行四边形的对角相等求解 1.在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A＝180°，∠B﹣∠A＝20°， ∴2∠B＝200°， ∴∠B＝100°． 又∵∠D＝∠B， ∴∠D＝100°． 故选：C． 2.在▱ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则▱ABCD中较大内角的是（　　） A.150° B.120° C.60° D.30° 【答案】A 【解析】不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴6∠B＝180°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝150°， ∴▱ABCD中较大内角为150°， 故选：A． 3.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（　　） A.105° B.90° C.75° D.30° 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，则∠B＝∠D＝60°． 在△ABC中，∠B＝60°，∠1+∠2+∠B＝180°，∠1＝45°，则∠2＝75°． 故选：C． 4.如图，点A，B，F在同一直线上，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，BE平分∠CBF，则∠EBF＝　    　． 【答案】65 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝50°， ∵点A、B、F在同一直线上， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°， ∵BE平分∠CBF， ∴∠EBF∠CBF130°＝65°， 故答案为：65． 5.如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 【答案】23° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝67°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝67°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝90°－67°＝23°. 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F＝62°， ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝180°－2×62°＝56°， ∴∠D＝56°. 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接CE．若BE＝BC，求∠ECD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，∠BCD＝∠A＝100°． ∴∠ABC+∠A＝180°． ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°． ∵∠ABC的平分线BE交AD于点E， ∴． ∵BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC． 在△BCE中，∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°， ∴． ∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝100°﹣70°＝30°． 三、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， 即． 故选：B． 2.在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠E=∠CDF，（故A成立）； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥BE， ∴∠C=∠CBE， ∵BE=AB， ∴CD=EB， 在△CDF和△BEF中， ， ∴△DCF≌△EBF（AAS）， ∴EF=DF，（故B成立）； ∵△DCF≌△EBF， ∴CF=BF=BC， ∵AD=BC， ∴AD=2BF，（故C成立）； ∵AD≠BE， ∴2CF≠BE，（故D不成立）； 故选：D． 3.如图，在▱中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（    ） ①≌；②；③是等边三角形；④． A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】、是等边三角形， ，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ≌，故正确； ， ， ，故正确； 同理可得：， ， ≌， ， ， ， ， 是等边三角形，故正确； 在等边三角形中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段， 如果，则是的中点，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误． 故选：B． 4.如图，是平行四边形边上的点，，的延长线交于点，添加一个条件      ，使得（填一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴AF∥CD， ∴∠F=∠ECD，∠FAE=∠D， 要使，只要再添加一对边对应相等即可， 故答案为：或或（答案不唯一）． 5.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∴BH是∠ABC的角平分线 ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA， ∴AH＝AB， 同理可证BG＝AB， ∴AH＝BG， ∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故③正确， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴BO＝OH，故①正确， ∵DF∥AB， ∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH， ∴DF＝DH， 同理可证EC＝CG， ∵DH＝CG， ∴DF＝CE，故②正确， 无法证明AB＝AE， 故答案为：①②③． 6.如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 7. 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△DCF中，BA=DC, ∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， ∴△ABE≌△DCF(SAS)， ∴∠BAE＝∠DCF. 四、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.如图，在▱ABCD中，它的周长是36 cm．AB＝8 cm，则BC等于（　　） A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为36 cm，AB＝8 cm， ∴AB+BC＝18 cm， ∴BC＝10 cm． 故选：B． 2. 如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A. 40 cm2 B. 32 cm2 C. 36 cm2 D. 50 cm2 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝18 cm， ∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ∴4AB＝5BC， ②由①②，得AB＝10 cm，BC＝8 cm， ∴▱ABCD的面积为AB·DE＝40( cm2)． 故选A. 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴DE＝AD－AE＝2. 故选D. 4.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【答案】8 【解析】连接EF，AE与BF交于点O， 如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB，而BO⊥AE， ∴AO＝OE， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8. 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，连接AC，BD，若∠ACB＝90°，则BD的长为_______________. 【答案】 【解析】过D作DE⊥BC交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝DE， ∴BD， 故答案为：． 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 【答案】解：如图，过点C作交的延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 7.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 【答案】解：平分， ， 四边形是平行四边形，且，， ，， ， ， ， ， 的长是． 五、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　） A.是中心对称图形 B.且 C. D.与的面积相等 【答案】C 【解析】∵是中心对称图形，故正确； ∵四边形是平行四边形， ∴且，故正确； 在和中，，，， ∴和不全等，故错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴和的底边，高相同， ∴与的面积相等，故正确， 故选：． 2.如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 但无法得到，，， 故A、C、D错误，不符合题意； 故选：B． 3.在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ，，，，，， ①∵， ∴根据等底同高可得，正确； ②∵，，， ∴根据可得正确； ③∵平行四边形的对角线不一定平分对角， ∴无法得到，错误； ④∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴无法得到，错误． 故选：C． 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 5.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE＝DB；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD＝EF；⑤ S四边形BCDE＝BD·CE；⑥BC2＋DE2＝BE2＋CD2；其中一定正确的是        .（把所有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③⑤⑥ 【解析】①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即：∠BAD＝∠CAE， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD， ∴故①正确； ②∵四边形ACDE是平行四边形， ∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD， ∴AD＝CD， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴故②正确； ③∵△ADC是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， ∴∠BAD＝90°＋45°＝135°， ∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°， ∴∠BAE＝360°−90°−90°−45°＝135°， 又AB＝AB，AD＝AE， ∴△BAE≌△BAD（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEB； 故③正确； ④∵四边形ACDE是平行四边形， ∴EF＝CF，AF＝DF， 又由②得：△ADC是等腰直角三角形， ∴△CFD为直角三角形且∠CDF＝90°， ∴CD≠CF，即CD≠EF， 故④CD＝EF错误； ⑤∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD， ∴△CAE≌△BAE， ∴∠BEA＝∠CEA＝∠BDA， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠AFE＋∠BEA＝90°， ∵∠GFD＝∠AFE，∠ADB＝∠AEB， ∴∠ADB＋∠GFD＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE＝BD·CE， 故⑤正确； ⑥∵∠CGD＝90°， ∴BC2＝CG2＋BG2，DE2＝GD2＋GE2，CD2＝CG2＋DG2，BE2＝BG2＋GE2， ∴BC2＋DE2＝BE2＋CD2． 故⑥正确； 故答案为：①②③⑤⑥． 6.如图， 的对角线相交于点O，直线经过点O与、相交于点E、F，于点M，于点N，则与是否相等？请说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7.如图，□的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接．求证：． 【答案】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴． 六、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，平行四边形的对角线交于点，若，的周长为29，则的值为（    ） A.18 B.36 C.38 D.39 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 2.如图，形如的纸片的对角线与相交于点，将这张纸片对折后点与点重合，点落在点处，已知，那么的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示： 由折叠的性质可得：，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3.如图，的周长为，对角线与相交于点，交于，连接，则的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴的周长， ∴的周长为， 故选：B． 4.如图，在中，，，，则的面积      ． 【答案】12 【解析】∵在中， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：12． 5.如图，已知的对角线交于点，过点的线段与分别交于点，如果，四边形的周长为12．则      ． 【答案】 【解析】四边形平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的周长 ， ， ． 故答案为：． 6.如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，的周长是10，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∵的周长是10， ， ∴的周长． 7.如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴设． ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴. （2）∵四边形是平行四边形， ∴. 七、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，把剪成三部分，边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点O分别作于D，B于E，于F，如图， ∵直线， ∴， ∴点O是的三个内角平分线的交点， ∴， ∴． 故选：C． 2.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，故①②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴，故④正确， ∴① ② ③ ④正确． 故选：D． 3.体育课上甲、乙、丙三位同学依次进行跳远测试，他们都从点起跳，落脚点分别为、、，且它们三点在同一直线上，且平行于起跳板，如图，则三位同学的成绩（    ） A.甲最好 B.乙最好 C.丙最好 D.一样好 【答案】D 【解析】依题意，、、，且它们三点在同一直线上，且平行于起跳板， ∴三位同学的成绩一样， 故选：D． 4.如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为5，则的面积为          ． 【答案】10 【解析】根据题意和的高相同，可设为h， 则， 又因为， 则． 故答案为：10． 5.如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于          ． 【答案】 【解析】如图，将逆时针旋转到，连接、， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 【答案】解：[教材呈现] 过点作于点，过点作于点，如图所示， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ； [方法探究] 由教材呈现可知： ， 与两底，上的高相等， ， ； [方法应用] 过点作于点， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，． 综上所述，的长为5或． 7.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点，，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可）． (2)在图2中，直接写出的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高（提示：利用格点构造全等三角形，保留作图痕迹，不写求作过程．） 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由题意得，， 如图所示，点和点即为所求； （3）如图所示，即为所求； 取格点E、F、G，D， 易证，则， 由，推出，即， 即可得到， 又有，则，则直线于的交点即为H点．   八、求平行线间的距离 1.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】过点作交于，延长交于，如图： ，， ， 分别平分和，，， ， ， 之间的距离为6， 故选C． 2.如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（    ） A.的长 B.的长 C.的长 D.的长 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴的长为平行线与之间的距离． 故选：B． 3.如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段的长 【答案】B 【解析】由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 4.如图，在▱ABCD中，AC＝21 cm，BE⊥AC于点E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm，则两平行线AD与BC间的距离是    cm． 【答案】15 【解析】设两平行线AD与BC间的距离为h， ∵ABCD是平行四边形， ∴S△ABC =S△ADC，∴， ∴AD•h=2××AC×BE， ∴7h=21×5，解得：h=15， 故答案为：15. 5.如图，已知直线，，，则的边上的高是      ． 【答案】3 【解析】如图1，过A作AM⊥BC于M，过A1N⊥BC于N， ∵BC＝4 cm，S△ABC＝6 cm2， ∴AM＝6， 解得：AM＝3， ∵直线l1直线l2，AM⊥BC，A1N⊥BC， ∴A1N＝AM， ∴A1N＝3 cm， 即的边BC上的高是3 cm． 故答案为：3． 6.如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？ 【答案】解：是． 理由：因为AB∥EF， 所以∠A＝∠FED＝110°. 因为CD∥EG，所以∠D＝∠AEG＝110°， 所以∠AEF＝∠DEG. 因为EH平分∠FEG， 所以∠FEH＝∠GEH， 所以∠FEH＋∠AEF＝∠GEH＋∠DEG， 即∠AEH＝∠DEH. 而∠AEH＋∠DEH＝180°， 所以∠AEH＝∠DEH＝90°， 所以EH⊥AD， 所以EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 【答案】解：（1）如图所示，为的平分线； （2）如图所示，，； （3）直线与直线之间的距离是线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$