第23章 旋转 小结与复习学案2025—2026学年人教版数学九年级上册

第23章旋转小结与复习学案人教版2025—2026学年度九年级数学上学期 学习目标 1.复习图形旋转、中心对称的基本性质及应用和两个点关于原点对称时坐标之间的关系. 2.通过总结、归纳等过程，总结平移、轴对称、旋转的联系和区别、旋转和中心对称的联系和区别； 3.运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题. 重点：图形旋转、中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时它们坐标之间的关系. 难点：运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些生活问题. 一、知识梳理 （一）旋转的特征 1.旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度. 2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等. 3.旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状不变. （二）中心对称 1.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2.中心对称的特征 在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 二、基础知识检测 1．如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时： (1)点B的对应点是点 ； (2)旋转中心是点O，旋转角为 ′；第1题图 (3)∠A的对应角是 ，线段OB的对应线段是线段 ． 2．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD.若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是 第4题图 第5题图 第3题图 第2题图 3.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D ＝ cm. 4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是( ) A.15° B.60° C.45° D.75° 5.如图，△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针方向旋转60°得到的，若A′B′＝12，OA＝5，点A′在AB上，则A′B的大小是( ) A.13 B.12 C.5 D.7 6.下列图形中是中心对称图形的是( ) A.平行四边形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.正五边形 7.点A(3，5)关于原点的对称点的坐标为( ) A.(－3，5) B.(－3，－5) C.(3，－5) D.(5，3) 8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3，2)、B(1，3). (1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，画出旋转后的图形； (2)画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2，B2的坐标. 例1图 三、能力提升训练 例1 如图，在坐标网格中，线段AB和点P绕着同一个点_________(填坐标)做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′的坐标是_________. 例2 如图，已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点，点Q是点B关于点N的对称点. 求证：P、C、Q三点在同一条直线上. 例3 .(1)如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕点A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是_____________.(无须证明) (2)如图2，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 例4如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点. (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值. 四、达标检测 1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是( ) 2．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A．72° B．108° C．144° D．216° 第7题图 第2题图 第6题图 第4题图 第3题图 3．如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为( ) A．(－4，2) B．(－2，4) C．(4，－2) D．(2，－4) 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠B′BC′的度数是( ) A．35° B．40° C．50° D．55° 5.已知点P(a－1，2a＋1)关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是( ) A. a＞－ B. a＜－ C. a＜1 D. a＞－1 6.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为______. 7.如图，在△OAB中，∠A＝25°，∠B＝75°，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转x度得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，则x＝_____. 8． 如图，点P为等边△ABC内一点，将△ABP 绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果 AP＝2，那么PP′＝ ．第9题图 第8题图 9． 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA 绕坐标原点O旋转90°到OA′，则点A′的坐标是 ． 10．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC三内角角平分线的交点，∠FOG＝120°.绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE ；③四边形ODBE的面积始终等于.上述结论中正确的是 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D. (1)求证：BE＝CF； (2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′.连接B′C，求△AB′C的面积． 13．如图所示，AD是△ABC的边BC的中线． (1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形； (2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围． 14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： (1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为a2；(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE) (2)探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由； (3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程． 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$