专题1.8空间向量与立体几何专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.8空间向量与立体几何40道压轴题型专训（8大题型） 题型一 空间向量的线性运算 题型二 利用空间向量的数量积求模 题型三 由空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量数量积运算 题型五 根据空间向量的坐标运算求参数 题型六 空间向量的正交分解 题型七 利用空间向量证明平行、垂直 题型八 向量法求角 【经典例题一 空间向量的线性运算】 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 5．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 【经典例题二 利用空间向量的数量积求模】 1．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 5．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【经典例题三 由空间向量基本定理求参数】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 . 5．（2024高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【经典例题四 空间向量数量积运算】 1．（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期中）设O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足，若，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）定义行列式运算，设向量，，．已知，，则 ． 5．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的动点，求证:A1E⊥BD． 【经典例题五 根据空间向量的坐标运算求参数】 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 3．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知，，且，则x的值为 . 4．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知向量则实数的值为 ． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【经典例题六 空间向量的正交分解】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，，，则（    ） A．15 B．21 C．45 D．36 3．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为．向量在基底下的坐标是 ；模为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则 ． 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量是空间的一组单位正交基底向量，且，，求： (1)向量与的夹角； (2)向量与所在直线的夹角. 【经典例题七 利用空间向量证明平行、垂直】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， 平面 C．，，有 D．，，有 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 4．（23-24高二上·河南濮阳·期末）在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【经典例题八 向量法求角】 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 5．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8空间向量与立体几何40道压轴题型专训（8大题型） 题型一 空间向量的线性运算 题型二 利用空间向量的数量积求模 题型三 由空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量数量积运算 题型五 根据空间向量的坐标运算求参数 题型六 空间向量的正交分解 题型七 利用空间向量证明平行、垂直 题型八 向量法求角 【经典例题一 空间向量的线性运算】 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【详解】 由题意，. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 4．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 5．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直. （2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围. 【详解】（1）如图：取中点，中点，连接， 则，. 因为，， 所以三点共线. 又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值. 又，所以. （2）易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 【经典例题二 利用空间向量的数量积求模】 1．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C    2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解． 【详解】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 【经典例题三 由空间向量基本定理求参数】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 . 【答案】3 【分析】以为基底，将均用基底表示出来，利用表示的唯一性即可求出k的值． 【详解】如图，连接， 则， 故， 而，故． 故答案为：3． 5．（2024高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 【经典例题四 空间向量数量积运算】 1．（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 3．（23-24高二上·福建福州·期中）设O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设P(x，y，z).利用坐标表示出，由建立不等式，求出的范围. 【详解】∵O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1).设P(x，y，z). ∴ ∵，∴ ∴ ∴ ∵，∴， 整理可得：，解得：. 又点P是线段AB上的一个动点，且满足， ∴. ∴. 故答案为： 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）定义行列式运算，设向量，，．已知，，则 ． 【答案】 【分析】由新定义即可直接求解. 【详解】由 可得： 所以， 故答案为： 5．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的动点，求证:A1E⊥BD． 【答案】证明见详解 【分析】以D为坐标原点构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标注各点空间坐标，用坐标表示向量=(- a，a，b - a)，=(- a，- a，0)，结合它们的数量积= 0得到夹角为90°，即A1E⊥BD 【详解】证明:以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a). 设E(0，a，b)(0 ≤ b ≤ a)，有=(- a，a，b - a)，=(- a，- a，0) =a2 - a2 + (b - a)·0 = 0 ∴，即A1E⊥BD 【点睛】本题考查了应用空间向量数量积坐标运算求夹角，证明垂直；应用了转化与化归思想 【经典例题五 根据空间向量的坐标运算求参数】 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共面向量的基本定理可知，存在、，使得，由空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】因为向量，，，且、、共面， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，故. 故选：D. 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 3．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知，，且，则x的值为 . 【答案】2 【分析】利用向量垂直关系的坐标表示求解 【详解】解：由题意可知，， 解得， 故答案为： 4．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知向量则实数的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意，利用空间向量垂直坐标表示，列式求解作答. 【详解】由题， ， ， 解得. 故答案为：7. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 【经典例题六 空间向量的正交分解】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示，列式求出即可得解. 【详解】依题意，，， ， 则，解得，所以. 故选：A 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，，，则（    ） A．15 B．21 C．45 D．36 【答案】C 【分析】根据是空间的一个单位正交基底，得到，，，，之后利用向量数量积运算公式和法则求得结果 【详解】是空间的一个单位正交基底， 所以，，，． 又，， 所以， 故选：C． 3．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为．向量在基底下的坐标是 ；模为 ． 【答案】 【分析】根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底的坐标，然后计算模即可． 【详解】解：向量在基底下的坐标为， 则 ， （1）所以向量在基底下的坐标为， （2）的模为． 故答案为：；． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的加减法求出，再由单位正交基底表示即可得解. 【详解】由题意可得，又，， 所以其单位正交基底， 所以． 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量是空间的一组单位正交基底向量，且，，求： (1)向量与的夹角； (2)向量与所在直线的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量坐标表示得向量，的坐标，再根据坐标运算的向量与的夹角； （2）根据空间中直线夹角与向量夹角的关系求解即可. 【详解】（1）因为，，则记向量在基底向量下的坐标为，向量在基底向量下的坐标为， 所以 又，所以，即向量与的夹角为. （2）由（1）可得，向量与所在直线的夹角的余弦值为， 又，所以，所以向量与所在直线的夹角为. 【经典例题七 利用空间向量证明平行、垂直】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， 平面 C．，，有 D．，，有 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求，判断A，求平面的法向量，直线的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由求，，判断C，令，确定，关系，由此判断D. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则正方体各顶点坐标为，，，，，，，， 因为，，所以点Q坐标为， 又因为，，， 所以点坐标为， 对于A，当时，点，点， 则，故A错误； 对于B，当时，点， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得，， 所以为平面的法向量， ，，所以， 又平面，所以平面，故B正确; 对于C，，，， 当时，恒成立，当时，令，得， 所以，，有，故C正确； 对于D，，，， 令，即，， 因为，所以， 所以，，有，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 【答案】-1 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·河南濮阳·期末）在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解. 【详解】根据题意可得：， 设， ∵与平面ABC垂直，则，可得， 又∵，则 解得或， 当时，则； 当时，则； ∴的坐标为或． 故答案为：或. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 【经典例题八 向量法求角】 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 3．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 4．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$