专题1.7空间向量与立体几何易错必刷题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.7空间向量与立体几何易错必刷题型专训（48题16个考点） 【易错必刷一 空间向量的加减运算】 1．（22-23高二上·北京昌平·期末）已知正方体，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用空间向量的减法表示，然后再用空间向量的加法表示. 【详解】在正方体中， ， 则， 又点是的中点，则， 所以. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 【答案】/ 【分析】 根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可求解. 【详解】 四面体，是的中点，如图，    则，所以. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得. 【详解】（1） （2）由图知， 所以 （3）由图知， 所以由（2）可得 【易错必刷二 空间向量的数乘运算】 1．（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】根据条件可得，对应建立方程求解即可. 【详解】， 即， 所以，解得，，， 故选：B 2．（多选题）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用与共线的单位向量为，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或， 故选：AD. 3．（23-24高二·全国·课后作业）化简 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 【易错必刷三 求空间向量的数量积】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 2．（多选题）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （4）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （5）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （6）根据题意，由，再结合空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）   由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点， 则； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） . 【易错必刷四 空间向量数量积的应用】 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 2．（多选题）（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知向量，记，如的夹角为，则，若在正三棱台中，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正三棱台的性质，结合平面几何的知识与新定义即可得解. 【详解】对于A，在正三棱台中，， ，故A正确； 对于B，在正三棱台中，易知， 所以， 所以，故B正确； 对于C，同理可知， 所以，故错误； 对于D，易知是腰长为，底边长为1的等腰三角形， 则，故， 所以，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的运算来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据题意可得，再利用空间向量数量积的运算性质即可求解. （2）将两边平方，即可得到答案. 【详解】（1）∵，，且，∴，，， ∴. （2）由两边同时平方，可得 即，所以 【易错必刷五 用空间基底表示向量】 1．（24-25高二下·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 3．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【分析】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为： 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知四边形为正方形，是四边形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． （2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． 【详解】（1）由图可知， ， ． （2）， . ， ， . ，． 【易错必刷六 空间向量基本定理及其应用】 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，设，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，则， 设， 由空间向量的基本定理可得，解得， 因此，以为基底时的坐标为. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 【答案】 【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求，由此可求结论. 【详解】因为，，，不共面， 所以，，， 所以. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示平行六面体中，设，试用基底表示向量． 【答案】答案见解析 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解 【详解】因为多面体是平行六面体， 所以， ， ， . 【易错必刷七 空间向量的坐标运算】 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【详解】若，则. 故选：B. 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 3．（24-25高二上·广东清远·期末）已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算来进行求解． 【详解】设，则， 即， 故答案为：． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 【答案】 【分析】由图可得，设，然后根据求解即可. 【详解】由图可得，设 因为，所以，所以 所以，解得，即 【易错必刷八 空间向量模长的坐标表示】 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值. 【详解】∵，，∴. ∵， ∴.∴，解得或. 故选：BC. 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）若向量，，则 ． 【答案】6 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 故答案为：6 4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知点，若，求. 【答案】 【分析】先求得的坐标，然后求得. 【详解】设是空间坐标原点， 所以， 所以， 所以， 所以. 【易错必刷九 空间向量平行的坐标表示】 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项. 【详解】由已知可得，故它们的方向向量共线， 对于B选项，，满足题意； 对于C选项，，满足题意； 由于A、D选项不满足题意． 故选：BC. 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知，若共线，则 . 【答案】3 【分析】利用向量共线的条件，能求出x的值. 【详解】，向量与共线， ， 解得， 则 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【答案】±1 【分析】根据空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】根据题意可得：， ∴. ∵向量与互相平行，， ∴， 即. ∴， ∴或. ∴k的值为1或-1． 【易错必刷十 空间向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，解方程即可. 【详解】, 因为，所以，解得. 故选：B. 2．（多选题）（21-22高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由向量垂直的数量积为零计算即可； 【详解】由题意，平面与平面平行，所以平面的一个法向量也是平面的法向量， 又为内的一条直线，所以法向量与指向的方向向量垂直， 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 【点睛】 4．（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，设，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数、的值； （2）由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）解：因为，，且， 设，即， 即，解得，故，. （2）解：因为与垂直， 则，解得， 当时，；当时，. 因此，或. 【易错必刷十一 空间向量夹角余弦的坐标表示】 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意得，根据内积的坐标公式列方程即可求解. 【详解】由，可得， ∴， 化简得，解得或. 故选：AC. 3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：. 4．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， （2）由（1）得：，； 所以， 又，所以，即与的夹角为. 【易错必刷十二 求平面的法向量】 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·广东东莞·期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 3．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）已知，若平面的一个法向量为，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【详解】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【易错必刷十三 异面直线夹角的向量求法】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 2．（多选题）（25-26高二上·全国·随堂练习）已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量加法法则判断A，利用计算后判断B，由平方后计算出判断CD． 【详解】对于A：由空间向量的加法法则知A正确； 对于B：是中点，则 ，B正确； 对于CD：直三棱柱中，侧棱与底面垂直，因此侧棱与底面内所有直线都垂直， 由，，即得： ， ， 又， 则， 又直线AB与所成的角为，所以或， 因此或， 所以或． 因此CD均错． 故选：AB. 3．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则， 所以．， ，． 所以． 因此与夹角的余弦值是． 【易错必刷十四 线面角的向量求法】 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面的夹角公式求解即可； 【详解】依题意轴的方向向量可以为，设轴与平面所成角为，则，因为，所以， 故选：A 2．（多选题）（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C．若，则在平面上的投影向量可以是 D．若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是 【答案】ABC 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断A，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断B，求出向量在向量方向上投影向量即可判断C,结合选项B的建系，计算出异面直线与所成角余弦值即可判断D. 【详解】分别取棱，的中点M，N，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且P是正方形内的动点， 所以点Р的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知，则 ，，. 设平面CEF的法向量为，则，得. 设直线AР与平面CEF所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故B正确. 由选项B知，，. 所以向量在向量方向上投影向量为：, 又因为，当，即时，取等号，所以在平面上的投影向量可以是，故C正确； 由选项B建系可知，若是棱的一点，则令，则， 所以， 所以，故D错误； 故选：ABC 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； 【详解】（1）连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【易错必刷十五 点到平面距离的向量求法】 1．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）下列说法正确的有（   ） A．若平面的法向量，，则点平面 B．若平面的法向量，，则点到平面的距离为 C．若平面，的法向量分别为，，则两平面的夹角的余弦值为 D．空间中三个点，，，则为钝角 【答案】ABC 【分析】结合空间向量的坐标运算以及空间的夹角以及距离公式，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由可得，又平面， 则平面，所以点平面，故A正确； 对于B，由点到面的距离公式可得点到平面的距离为，故B正确； 对于C，设平面，的夹角为，则，故C正确； 对于D，因为，即， 则，故D错误； 故选：ABC 3．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间点到面的距离公式求解. 【详解】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则故可取， 又，故点到平面的距离. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面平面得平面即可得证； (2)建立空间直角坐标系，由平面与平面的夹角为得点的坐标，利用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 【易错必刷十六 点到直线距离的向量求法】 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 2．（多选题）（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为，所以． 所以点到直线的距离为．正确， 对于B：因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为正确， 对于C：设平面的一个法向量为，． 由，令，则，即． 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误， 对于D：因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离． ，由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确， 故选：ABD 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 【答案】/. 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设平面的法向量为，，从而由点到平面的距离公式得到方程，求出的坐标，从而求出答案. 【详解】以长方体顶点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，， 设平面的单位法向量，， 所以，即，解得， 设点到平面的距离为， 故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中， 求点B到直线的距离. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法求解即得. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以点B到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7空间向量与立体几何易错必刷题型专训（48题16个考点） 【易错必刷一 空间向量的加减运算】 1．（22-23高二上·北京昌平·期末）已知正方体，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)； (3). 【易错必刷二 空间向量的数乘运算】 1．（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（多选题）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）化简 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【易错必刷三 求空间向量的数量积】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选题）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【易错必刷四 空间向量数量积的应用】 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知向量，记，如的夹角为，则，若在正三棱台中，．则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 【易错必刷五 用空间基底表示向量】 1．（24-25高二下·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 3．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知四边形为正方形，是四边形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值. (1)； (2). 【易错必刷六 空间向量基本定理及其应用】 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示平行六面体中，设，试用基底表示向量． 【易错必刷七 空间向量的坐标运算】 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 3．（24-25高二上·广东清远·期末）已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 【易错必刷八 空间向量模长的坐标表示】 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）若向量，，则 ． 4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知点，若，求. 【易错必刷九 空间向量平行的坐标表示】 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选题）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知，若共线，则 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【易错必刷十 空间向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（多选题）（21-22高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 4．（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 【易错必刷十一 空间向量夹角余弦的坐标表示】 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 . 4．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【易错必刷十二 求平面的法向量】 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·广东东莞·期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）已知，若平面的一个法向量为，则 ． 4．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【易错必刷十三 异面直线夹角的向量求法】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高二上·全国·随堂练习）已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    4．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 【易错必刷十四 线面角的向量求法】 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C．若，则在平面上的投影向量可以是 D．若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【易错必刷十五 点到平面距离的向量求法】 1．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）下列说法正确的有（   ） A．若平面的法向量，，则点平面 B．若平面的法向量，，则点到平面的距离为 C．若平面，的法向量分别为，，则两平面的夹角的余弦值为 D．空间中三个点，，，则为钝角 3．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 4．（24-25高二上·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【易错必刷十六 点到直线距离的向量求法】 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中， 求点B到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$