专题1.7 直线与方程　专项训练-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.7 直线与方程36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型三 直线过定点问题 题型四 两条直线的平行与垂直 题型五 由直线的交点坐标求参数 题型六 用两点间的距离公式求函数最值 题型七 求点到直线的距离 题型八 求平行线间的距离 题型九 求直线关于点的对称直线 【经典例题一 斜率与倾斜角的变化关系】 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（） A．点在直线l上 B．直线l的一个方向向量为 C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的倾斜角为 3．（23-24高二上·吉林·阶段练习）直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角的范围是 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）设直线与轴的交点为，求将此直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线的方程． 【经典例题二 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 8．（22-23高二·江苏·假期作业）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围． 【经典例题三 直线过定点问题】 9．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线恒过定点点在直线上，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 11．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 12．（23-24高二上·湖南湘西·阶段练习）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【经典例题四 两条直线的平行与垂直】 13．（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．(多选题)（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 16．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【经典例题五 由直线的交点坐标求参数】 17．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 20．（23-24高二·全国·课后作业）已知集合，集合，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 用两点间的距离公式求函数最值】 21．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 22．（多选题）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数没有最大值 D．函数有最大值 23．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 24．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【经典例题七 求点到直线的距离】 25．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 26．（多选题）（24-25高一上·四川·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则在轴上不存在点，使得 B．若点，点在直线上，则的最小值是2 C．若点在函数图象上，点在直线上，则的值可能是4 D．直线交于点，，，M，N与都不重合，且，若，则的最小值为 27．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 28．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）求点到直线的距离． （2）已知△的三个顶点分别是，求△的面积． 【经典例题八 求平行线间的距离】 29．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 30．（多选题）（2024高二上·江苏·专题练习）已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（    ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 31．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 32．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【经典例题九 求直线关于点的对称直线】 33．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 35．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 36．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 直线与方程36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型三 直线过定点问题 题型四 两条直线的平行与垂直 题型五 由直线的交点坐标求参数 题型六 用两点间的距离公式求函数最值 题型七 求点到直线的距离 题型八 求平行线间的距离 题型九 求直线关于点的对称直线 【经典例题一 斜率与倾斜角的变化关系】 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为α，则．因为，且， 所以． 故选：D 2．（多选题）（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（） A．点在直线l上 B．直线l的一个方向向量为 C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的倾斜角为 【答案】BD 【分析】由直线解析式，可判断点是否在直线上，直线在y轴上的截距，以及直线的倾斜角，根据直线得方向向量与法向量的概念可以判断B选项. 【详解】对于A选项，把代入到得，所以点不在直线l上，A错误； 对于B选项，因为直线l：，即为：，直线的斜率为1， 所以为直线的一个方向向量，B正确； 对于C选项，当时，，所以直线l在y轴上的截距为，C错误； 对于D选项，因为直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，D正确. 故选：BD 3．（23-24高二上·吉林·阶段练习）直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角的范围是 ． 【答案】 【分析】利用，再根据条件和的图像即可求出结果. 【详解】因为，又斜率k的取值范围是， 所以，又，时，，时，， 由图可得，      故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）设直线与轴的交点为，求将此直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线的方程． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意可得点的坐标及直线的倾斜角为，从而可得所求直线与轴正方向的夹角为，再分和讨论即可求解． 【详解】由直线与轴的交点为，且其斜率为1， 所以直线的倾斜角为，即其与轴正方向的夹角为， 所以将直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线与轴正方向的夹角为， 当时，所以所求直线的方程为； 当时，所以所求直线的方程为． 【经典例题二 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 6．（多选题）（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，求出直线、的倾斜角即得解. 【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 7．（24-25高二上·福建福州·期中）矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】设与轴夹角为，根据入射光线与反射光线的关系，逐步用表示出，再根据的范围可求. 【详解】设与轴夹角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 8．（22-23高二·江苏·假期作业）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】 【分析】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，当直线绕着点旋转时，观察直线的斜率的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 解：设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：    当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大， 此时，； 当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 【经典例题三 直线过定点问题】 9．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线恒过定点点在直线上，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线恒过的定点再代入选项一一验证即可得出答案. 【详解】由题意知可化为， 则直线恒过定点，验证选项得直线l的方程可以为. 故选：B. 10．（多选题）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 【答案】AC 【分析】根据直线过定点的求法判断A，由特殊情况直线与两点连线平行判断B，分析直线不能写成的形式判断C，取特例判断D. 【详解】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 12．（23-24高二上·湖南湘西·阶段练习）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【分析】（1）由题设直线，代入点求出，即可得解； （2）设，，根据求出、，从而求出直角梯形的面积，设，，依题意可得，当时，求出直线的方程，即可求出直线过定点坐标，当时，也可得到直线过定点. 【详解】（1）由题设直线，将点代入得， 解得，故直线． （2）因为，设，，由，，， 即有， 可得，，，，， 梯形的面积为，由题意可得梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线的方程为， 将代入上式可得． 由，解得，则直线经过定点． 当时，的方程为，过点，综上所述直线过定点． 【经典例题四 两条直线的平行与垂直】 13．（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 14．(多选题)（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 16．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 【经典例题五 由直线的交点坐标求参数】 17．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 18．（多选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 19．（22-23高二上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 【答案】1或 【分析】由任意两条直线方程联立求出交点坐标，再将所求交点坐标代入第三个方程，计算作答. 【详解】由解得，，依题意，点在直线上， 则有，整理得，解得或， 所以k的值为1或. 故答案为：1或 20．（23-24高二·全国·课后作业）已知集合，集合，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在； 【分析】记集合A表示的直线为，集合表示为直线，然后分直线过点和两种情况求解可得. 【详解】存在满足条件的实数，. 由已知得集合A为去掉点的直线：．集合为直线：． 当直线过点时，，解得．易知此时，不重合，所以， 当点不在直线上时，若，则． 所以，即， 此方程无实数根，即此时不存在满足条件的实数． 综上所述，存在一个满足条件的实数， 【经典例题六 用两点间的距离公式求函数最值】 21．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】易知表示点到点与点的距离之和，画出图形，数形结合即可得解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接， 则， 即当点为与轴交点时，代数式取得最小值13. 故选：D. 22．（多选题）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数没有最大值 D．函数有最大值 【答案】BC 【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化求出最小值判断AB，分析无最大值判断CD． 【详解】设，可理解为动点到两个定点，的距离和． 如图： 由三角形三边关系可得,当点P和点B重合时，等号成立， 无最大值， 所以函数的最小值为，没有最大值. 故选：BC 23．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 24．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【分析】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解. 【详解】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 【经典例题七 求点到直线的距离】 25．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 26．（多选题）（24-25高一上·四川·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则在轴上不存在点，使得 B．若点，点在直线上，则的最小值是2 C．若点在函数图象上，点在直线上，则的值可能是4 D．直线交于点，，，M，N与都不重合，且，若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据绝对值不等式的性质可判断其正确；对于B，可根据“曼哈顿距离”的定义代入计算，去绝对值后求出最小值判断其错误；对于C，可取特殊点满足条件，判断其正确；对于D，可根据“曼哈顿距离”的定义和两点间距离的公式，得出的最小值，判断其正确. 【详解】对于A选项，可根据题目给出的定义，，，由绝对值的几何意义，可得：，A选项正确； 对于B选项，设点，点在直线上，可得，， 可将此距离写成分段函数的形式：， 不难得到当时，距离的最小值为，B选项错误； 对于C选项，可取特殊点，满足题意，C选项正确； 对于D选项，，， 由基本不等式：，当且仅当时等号成立，即， 两边开平方后，，即； 计算 ，当且仅当时等号成立，可判断D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解题干中的“曼哈顿距离”的定义，并结合不等式的相关性质解答. 27．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 故答案为： 28．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）求点到直线的距离． （2）已知△的三个顶点分别是，求△的面积． 【答案】（1）；（2）5. 【分析】（1）由点到直线的距离公式计算； （2）求出边的长，直线的方程，由点到直线距离公式求得边上的高，然后可得面积． 【详解】（1）直线的方程为，点到直线的距离为； （2）， ，直线方程为主，即， 到直线的距离为， 所以． 【经典例题八 求平行线间的距离】 29．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 30．（多选题）（2024高二上·江苏·专题练习）已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（    ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】AC 【分析】代入特殊值求出直线判断A，利用平行线间距离公式结合放缩法求解最值判断C，举反例判断B，D即可. 【详解】对于A，当时，，中直线的方程为， 即，故其斜率为，故A正确； 对于B，当时，直线方程为，该直线必过， 当时，直线方程为，化简得，不一定过，故B错误， 对于C，当时，中的两条平行直线间的距离为， 而，则， 故，即最小值为，故C正确； 对于D，点不满足方程，所以中的所有直线不可覆盖整个平面，故D错误， 故选：AC. 31．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可． 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 32．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 【经典例题九 求直线关于点的对称直线】 33．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 34．（多选题）（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确； 对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为， 此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误； 对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确； 对于D：因为点、在直线上，点关于点对称的点为， 点关于点对称的点为， 则过和的直线方程为，即， 所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 35．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 36．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解； （2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解. 【详解】（1） 易知直线与直线互相平行， 设的方程为​，点到两直线距离相等， 有​， 即​，或​(舍去)， 故​的方程为​. （2） 设点​的坐标为​， 直线，且的中点在直线上， 而直线的斜率为，， 故有​，解得 ， ​故​的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$