专题20圆中常见全等模型练习2024—2025学年北师大版数学九年级下册

专题20圆中常见全等模型 类型一　切线长模型 1.如图，AB为☉O的直径，过圆外一点E作☉O的两条切线EC，EB，切点分别为点D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD. （1）AD与OE有怎样的位置关系？请说明理由. （2）若EB＝6，CD＝4，求☉O的半径. 2.小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现MA，MB分别切☉O于点A，B，直径CD所在的直线经过点M，连接AB. （1）小倩发现OM垂直平分AB，请说明理由； （2）若☉O的半径为3 cm. ①当MD＝　　　　cm时，四边形ACBM为菱形； ②当MD＝　　　　cm时，四边形AOBM为正方形. 类型二　手拉手模型 3.如图，☉O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB. （1）求∠ACB的度数； （2）若DE＝3，求☉O的半径. 4.已知点A，B，C，D是圆O上的四个点， （1）如图，如果∠ADB＝∠BDC＝60°，判断△ABC的形状，并证明； （2）如果△ABC是等边三角形，点D在圆O上运动，连接DA，DB，DC，请直接写出这三条线段的数量关系. 类型三　“8”字模型 5.如图，已知☉O中，弦AB，CD相交于点M. （1）求证：AM·MB＝CM·MD； （2）若点M为CD的中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM·MB的值. 6.如图，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，OF⊥BC于点F，交☉O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC. （1）求证：BD是☉O的切线； （2）若☉O的半径为5，sin A＝，求BH的长. 类型四　直径所对两直角三角形模型 7.如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点E，F，连接EF，AF. （1）求证：∠BAF＝∠CDB； （2）若☉O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长. 8.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB. （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝，AD＝1，求CD的长. 答案： 1.解：（1）AD∥OE. 理由：如图，连接OD，∵CE，BE是☉O的切线， ∴∠ODE＝∠OBE＝90°. 在Rt△DOE和Rt△BOE中， ∴Rt△DOE≌Rt△BOE（HL）， ∴∠DOE＝∠BOE. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. ∵∠DOB＝∠DOE＋∠BOE＝∠ODA＋∠OAD， ∴∠DOE＝∠ODA，∴AD∥OE. （2）∵CE，BE是☉O的切线，∴DE＝BE＝6， ∴CE＝DE＋CE＝6＋4＝10， ∴BC＝＝8. 设OB＝OD＝r，则OC＝8－r. ∵CD2＋OD2＝OC2，∴42＋r2＝（8－r）2， 解得r＝3，即☉O半径的长为3. 2.解：（1）∵MA，MB分别切☉O于点A，B， ∴∠OAM＝∠OBM＝90°. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）.∴∠AOM＝∠BOM. ∵OA＝OB，∴OM垂直平分AB. （2）①当MD＝3 cm时，四边形ACBM为菱形，理由如下： 如图，连接AC，BC， ∵☉O的半径为3 cm，∴OA＝OD＝3 cm. ∵MA切☉O于点A，∴∠OAM＝90°. ∵MD＝3 cm，∴OM＝OD＋MD＝6 cm， ∴OA＝OM，∴∠AMO＝30°， ∴∠AOM＝90°－30°＝60°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠OAC＋∠OCA＝∠AOM＝60°，∴∠OCA＝30°， ∴∠AMC＝∠ACM，∴AC＝AM. ∵OM垂直平分AB，∴MA＝MB，AC＝BC，∴MA＝MB＝AC＝BC，∴四边形ACBM为菱形，故答案为3 cm. ②当MD＝（3－3）cm时，四边形AOBM为正方形，理由如下： ∵☉O的半径为3 cm，∴OA＝OD＝3 cm. ∵MA切☉O于点A，∴∠OAM＝90°. ∵MD＝（3－3）cm，∴OM＝OD＋MD＝3 cm， ∴AM＝＝3（cm）. ∵OM垂直平分AB，∴MA＝MB＝3 cm， ∴OA＝AM＝BM＝OB，∴四边形AOBM为菱形， ∵∠OAM＝90°，∴四边形AOBM为正方形. 3.解：（1）如图，连接OA， ∵AE与☉O相切于点A， ∴∠OAE＝90°. ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠E. ∵∠ABO＋∠BAE＋∠E＝180°， ∴∠ABO＋∠BAO＋∠OAE＋∠E＝180°， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠ACB的度数为60°. （2）设☉O的半径为r，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°， ∴OE＝2AO，∴r＋3＝2r，∴r＝3，∴☉O的半径为3. 4.解：（1）△ABC是等边三角形， 证明：∵∠ADB＝∠BDC＝60°，∴∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形. （2）当点D在劣弧上时，如图1，延长DA到点E，使AE＝CD， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠DAB＋∠EAB＝180°，∠DAB＋∠DCB＝180°， ∴∠EAB＝∠DCB，∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴∠ABE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD. ∵DE＝AD＋AE＝DA＋DC，∴DA＋DC＝DB； 同理：当点D在劣弧上时，DA＋DB＝DC； 当点D在劣弧上时，DC＋DB＝DA. 综上所述，当点D在劣弧上时，DA＋DC＝DB；当点D在劣弧上时，DA＋DB＝DC；当点D在劣弧上时，DC＋DB＝DA. 5.（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADM∽△CBM，∴＝， 即AM·MB＝CM·MD. （2）解：如图，连接OM，OC. ∵点M为CD的中点，∴OM⊥CD. 在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2， ∴DM＝CM＝＝＝， 由（1）知AM·MB＝CM·MD.∴AM·MB＝×＝5. 6.（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠ABC. ∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB＋∠DBF＝90°， ∴∠ABC＋∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是☉O的切线. （2）解：如图，连接BE， ∵AB是直径，∴∠AEB＝90°. ∵☉O的半径为5，sin A＝， ∴AB＝10，BE＝AB·sin A＝10×＝6， 在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝＝8， ∵OF⊥BC，∴＝，∴BE＝CE＝6，∠EBH＝∠EAB. ∵∠BEH＝∠AEB，∴△EBH∽△EAB， ∴BE2＝EH·EA，∴EH＝＝. 在Rt△BEH中，由勾股定理得BH＝＝＝. 7.（1）证明：∵直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径， ∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB＝90°. ∵∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠ABD＝90°， ∴∠BAF＝∠CDB. （2）解：在Rt△ABD中， ∵AB＝2r＝12，AD＝9， ∴BD＝＝15. 在Rt△ABC中，∵AB＝12，AC＝12， ∴BC＝＝12. ∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， ∴BF∶BA＝BA∶BD，即BF∶12＝12∶15， 解得BF＝. ∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB， ∴∠BEF＝∠CDB. ∵∠EBF＝∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴EF∶CD＝BF∶BC，即EF∶21＝∶12， 解得EF＝，即EF的长为. 8.解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∵∠ADB＝∠CDB，∴＝，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形. （2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2. 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， ∴CD＝.即CD的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$