专题11反比例函数与一次函数的综合练习2025—2026学年北师大版数学九年级下册

专题11反比例函数与一次函数的综合 类型一　根据k和b值判断反比例函数和一次函数的图象 1.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（　　） 第1题图　 A　　B　　C　　D 　　　　 2.正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点（m，k）所在的象限是（　　） A.第四象限　　B.第三象限　　C.第二象限　　D.第一象限 　第2题图 3.一次函数y＝mx＋m与反比例函数y＝－（m≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） ABCD 4.若ab＞0，则函数y＝ax＋b与函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A　　BC　D 类型二　反比例函数与一次函数的图象综合比较函数值大小 5.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（m，－1）. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 6.如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（3，n）. （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax＋b＜的解集. 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（－m，3m），B（4，－3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请根据图象写出不等式＜ax＋b的解集. 类型三　反比例函数与一次函数图象综合求三角形面积 8.如图，一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M，连接BM. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△ABM的面积； （3）在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小. 9.直线l：y＝mx＋n与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P，Q两点，分别交x轴、y轴于点A，B，连接OP，OQ，AQ＝AO＝5，且△AOQ的面积为10. （1）求两个函数表达式； （2）求△POQ的面积. 10.如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝2x＋m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AB，若OD＝1，求△ABC的面积. 答案： 1.C　2.A　3.C　4.C 5.解：（1）将点A（1，3）的坐标代入y＝得k＝3，则反比例函数的表达式为y＝， 将点B（m，－1）的坐标代入y＝，得m＝－3，∴B（－3，－1）， 将A与B的坐标分别代入y＝ax＋b中，得解得 则一次函数的表达式为y＝x＋2. （2）观察图象，当－3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值. 6.解：（1）∵一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（3，n）， ∴k＝－2×3＝3×n，∴k＝－6，n＝－2， ∴反比例函数的表达式为y＝－. 由A（－2，3），B（3，－2）在一次函数y＝ax＋b的图象上， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋1. （2）由图象可知，关于x的不等式ax＋b＜的解集为－2＜x＜0或x＞3. 7.解：（1）∵点B（4，－3）在反比例函数y＝的图象上， ∴－3＝. ∴k＝－12.∴反比例函数的表达式为 y＝－. ∵点A（－m，3m）在反比例函数 y＝－的图象上， ∴3m＝－. ∴m1＝2，m2＝－2 （舍去）. ∴点A的坐标为（－2，6）. ∵点A，B在一次函数y＝ax＋b的图象上，把点 A（－2，6），B（4，－3）分别代入，得∴ ∴一次函数的表达式为y＝－x＋3. （2）由题意得，x＜－2或0＜x＜4. 8.解：（1）将点B（4，1）的坐标代入y＝得＝1，∴k＝4. ∴y＝. 将点B（4，1）的坐标代入y＝mx＋5得1＝4m＋5，∴m＝－1. ∴y＝－x＋5. （2）∵A（1，n）在函数y＝的图象上， ∴n＝4，∴A（1，4），∴AM＝1， ∴S△ABM＝×1×（4－1）＝. （3）作点A关于y轴的对称点N，则N（－1，4）.连接BN交y轴于点P，点P即为所求. 设直线BN的表达式为y＝ax＋b， 由得 ∴y＝－x＋，∴点P的坐标为. 9.解：（1）设点Q的坐标为（x，y），而点A（5，0）， 则△AOQ的面积＝OA×｜yQ｜＝×5｜y｜＝10， 解得y＝－4（正值舍去）. 由点A，Q的坐标得，（x－5）2＋（－4－0）2＝52， 解得x＝8或x＝2（舍去）， 即点Q（8，－4），将点Q的坐标代入反比例函数表达式得k＝－32， 则反比例函数的表达式为y＝－， 将点A，Q的坐标代入y＝mx＋n，得 解得则一次函数的表达式为y＝－x＋. （2）由（1）知，点B，则OB＝， 联立得解得或 ∴点P的坐标为（－3，）， 则△POQ的面积为×OB×（xQ－xP）＝××（8＋3）＝. 10.解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数图象上， ∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y＝. ∵y＝2x＋m的图象过点A（1，4）， ∴4＝2×1＋m，解得m＝2， ∴一次函数的表达式为y＝2x＋2. （2）将y＝1代入y＝得x＝4，∴B（4，1）， 将y＝1代入y＝2x＋2得x＝－， ∴C（－，1），∴BC＝4－（－）＝， ∴S△ABC＝××（4－1）＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$