4.3.1等比数列的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列，通过古巴比伦泥版数列、《庄子》“一尺之棰”、细菌分裂及复利计算等现实情境导入，类比等差数列构建知识支架，引导学生从概念理解逐步深入到通项公式与性质探究。 其亮点在于以多领域现实案例培养数学眼光，通过累乘法推导通项公式、严密证明等比中项及单调性等性质发展数学思维，结合辨析题与多选题提升数学语言表达能力。学生能建立知识联系，教师可高效开展概念教学与能力训练。

第四章 数列 §4.1 数列的概念 §4.2 等差数列 §4.3 等比数列 §4.4* 数学归纳法 索引 选择性必修 第二册 1 4.3.1 等比数列的概念 请看下面几个问题中的数列，谈谈你发现了什么。 （1）两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列 9，92，93，…，910； 100，1002，1003，…，10010； 5，52，53，…，510 （2）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 索引 §4.3 等比数列 （3）测在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2，4，8，16，32，64，… （4）某人存人银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 a(1+r)，a(1+r)2，a(1+r)3，a(1+r)4，a(1+r)5 索引 §4.3 等比数列 3 对于（1）的第一个数列 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 项 9 92 93 94 95 96 97 98 99 910 如果用{ an }表示，那么有 这表明，数列（1）的第一个数列有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9。其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律。 索引 §4.3 等比数列 4 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q ≠ 0）。 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。此时，G2=ab。 推论： （2） （x为间隔数） 如何通过定义推导出等比数列的通项公式？ （1） 索引 §4.3 等比数列 5 累乘 首项为a1，公比为q的等比数列{ an }的通项公式为 等比数列{ an }的通项公式的推广 索引 §4.3 等比数列 6 反之，任给函数f(x)=kax（k，a为常数，k ≠ 0，a>0，且a ≠ 1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{ kan }，其首项为ka，公比为a。 可知，当q>0且q ≠ 1时，等比数列{ an }的第n项an，是函数 （x∈R）当x=n时的函数值，即an = f(n)。 索引 §4.3 等比数列 7 有关等比数列的性质及推论： （1）若数列{ an }是等比数列，则{ | an | }和{ (an)m }均为等比数列。 证明：设数列{ an }的公比为q 所以，数列{ (an)m }是以首项为(a1)m，公比为qm的等比数列。 所以，数列{ | an | }是以首项为| a1 |，公比为| q |的等比数列。 索引 §4.3 等比数列 8 证明：设数列{ an }的公比为q1，数列{ bn }的公比为q2 （2）若数列{ an }和{ bn }是等比数列，则数列{ anbn }和{ }也是等比数列。 所以，数列{ anbn }是以首项为a1b1，公比为q1q2的等比数列。 所以，数列{ }是以首项为 ，公比为 的等比数列。 索引 §4.3 等比数列 9 （3）已知数列{ an }是等比数列，m + n = p + q，m，n，p，q∈N，则 an am = ap aq 证明：设数列{ an }的公比为q 索引 §4.3 等比数列 10 （4）等比数列的单调性 ①当a1>0，q>1，或a1<0，0<q<1时 { an }是递增数列 ②当a1<0，q>1，或a1>0，0<q<1时 { an }是递减数列 （5）等比数列的其他性质 索引 §4.3 等比数列 【例1】“”是“,, 成等比数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若,,成等比数列,则,即 ,必要性成立； 若,令,满足,但此时,, 不构成等比数列,充分性不成立. 故“”是“,, 成等比数列”的必要不充分条件. 索引 §4.3 等比数列 12 【例2】（多选）下列数列为等比数列的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】选项C,D中的通项公式是关于 的“指数型函数”,是等比数列；选项A, B中的通项公式分别是关于 的“一次函数”“二次函数”,不是等比数列. A（×） 不为定值； B（×） 不为定值； C（√）为定值,且 ； D（√）为定值,且 . 索引 §4.3 等比数列 13 【例3】若互不相等的正数,,满足,, 成等比数列,则( ) D A.,,成等差数列 B.,, 成等比数列 C.,,成等比数列 D. 【解析】 D（√）由,,成等比数列知, ； A（×）若,,成等差数列,则 ,即 , ,与已知矛盾； C（×）由可知,, 成等差数列,不成等比数列； B（×）举反例：若,,,显然,, 不成等比数列. 索引 §4.3 等比数列 14 【例4】在等比数列中,,,则 ___. 3 【解析】 设公比为,则,, , 两式相除得,所以,（事实上,是整体乘 的结果）解得 ,所以,解得 . 索引 §4.3 等比数列 15 【例5】已知为等比数列,公比, ,,则 ( ) A A.81 B.27 C.32 D.16 【解析】 由下标和性质得,所以或 . 若,则,,不符合要求（易遗漏 的前提条件）； 若,则,,符合要求,故 . 索引 §4.3 等比数列 16 【例6】已知是等比数列,则“”是“ 是递增数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 是等比数列,可设,,则,,, ,虽 然满足,但是摆动数列,不是递增数列.即充分性不成立. 时等比数列是摆动数列） 若数列是递增等比数列,显然 ,即必要性成立. 故“”是“ 是递增数列”的必要不充分条件. 索引 §4.3 等比数列 17 $$