4.2.1 指数爆炸和指数衰减-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 4.2 4.2 指数函数 2 4.2 4.2.1 指数爆炸和指数衰减 刷基础 3 1.［广东广州2025高一期中］下列是指数函数的是( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 4 解析 根据指数函数的特征：系数为1，底数满足且 ，自变量在指数位置可知，A，B， C不是指数函数，D是指数函数.故选D. 题型1 指数函数的概念 5 特别注意 （1）函数且叫作指数函数；（2）形如,且 , 且 的函数叫作指数型函数. 题型1 指数函数的概念 6 2.［湖南部分高中2025高一联考］“”是“ 为指数函数”的( ) C A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 指数函数的概念 7 解析 当时， 是指数函数； 若是底数为的指数函数，则，且，解得 ， 故“”是“ 为指数函数”的充分不必要条件.故选C. 题型1 指数函数的概念 8 3.［甘肃平凉2025高一月考］函数 是指数函数，则有( ) B A.或 B. C. D.且 题型1 指数函数的概念 9 解析 由指数函数的概念,得且,解得 .故选B. 题型1 指数函数的概念 10 4.［辽宁五校2025高一期末联考］已知函数则 ( ) B A.2 B.3 C.5 D.33 题型1 指数函数的概念 11 解析 函数则，所以 .故选B. 题型1 指数函数的概念 12 5.［河北邯郸八校2024高一期中联考］已知关于的不等式的解集为 ，函数 且为指数函数，则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 指数函数的概念 13 解析 不等式的解集为,,即 . 又为指数函数, , ,且 , .故选A. 题型1 指数函数的概念 14 6.［山东枣庄2024高一期末］已知指数函数的图象经过点，则 __. 题型1 指数函数的概念 15 解析 设,且,由于其图象经过点,所以 , 解得或 （舍去）, 因此,故 . 题型1 指数函数的概念 16 7.已知函数，，且， . （1）求和 的函数解析式； 【解】由于,所以,所以, . （2）设，判断 的奇偶性，并加以证明. [答案] , 是偶函数,证明如下： 的定义域为,,所以 是偶函数. 题型1 指数函数的概念 17 8.［安徽淮北一中2025高一期末］衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新 丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为 .已知新丸经过25 天后，体积变为 ，则新丸经过75天后，体积变为( ) C A. B. C. D. 题型2 生活中的指数函数模型 18 解析 设和时的体积分别为,，则，即 . 当时， .故选C. 题型2 生活中的指数函数模型 19 9.一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件所占内存都不同程 度地加大，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存 ，每3分钟后病毒所占内存是 原来的2倍.记分钟后病毒所占内存为 . （1）求关于 的函数解析式； 【解】因为这种病毒开机时占据内存,每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍,所以 分钟后病 毒所占内存为 . （2）如果病毒占据内存不超过 ，计算机能够正常使用，求 本次开机计算机能正常使用的时长. [答案] 因为病毒占据内存不超过时,计算机能够正常使用,所以有,解得 . 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. 题型2 生活中的指数函数模型 20 $$