第3章 函数的概念与性质 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 3 第3章素养检测 刷速度 2 1.［甘肃张掖2025高一月考］下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) D A. B. C. D. 3 解析 对于A，的定义域为 ，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A不符合 题意； 对于B，记，定义域为,且,则 是偶函数，不是 奇函数，故B不符合题意； 对于C，记，定义域为，且,则 是偶函数，不 是奇函数，故C不符合题意； 对于D,记定义域为,当时， ，则 ，当时，，则 ， 当时，，则是奇函数，当时，单调递增，又在 上的图象连续， 所以在 上为增函数，故D符合题意.故选D. 4 2.［四川绵阳中学2025高一月考］已知函数若的值域为 ， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 5 解析 对于函数，当时，，当时， ，而 ，即有，依题意得，又，解得 ，则 . 当时，函数在上的值域为 ，不符合题意； 当时，函数在 上单调递增， 则，所以解得 . 所以实数的取值范围是 .故选A. 6 3.［山东临沂2024高一期中］若函数的定义域是一切实数，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 7 解析 因为函数的定义域为 , 所以对任意的, 恒成立. ①当时,则有 ,符合题意； ②当时,由题意可得,解得 . 综上,实数的取值范围是 .故选C. 8 4.已知函数，则 ( ) B A. B. C. D. 9 解析 , 所以 .故 选B. 10 5.［福建泉州五中2025高一期中］已知函数在上单调递增，且 ，记 ,, ，则( ) D A. B. C. D. 11 解析 因为函数满足 ， 所以函数的图象关于直线 对称. 因为函数在 上单调递增， 所以函数在 上单调递减. 又因为， , 所以，即 .故选D. 12 6.［河南南阳六校2025高一期中联考］已知定义在上的偶函数在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 13 解析 由函数为偶函数且在上单调递减， ， 所以，且在 上单调递增， 所以当时，，当时，，当时,，则当 时，，则，所以 ； 当时，，则，所以 ； 当时，，则，所以 ； 当时，，则，所以 ； 当时，，则，所以 . 综上所述，不等式的解集为 .故选B. 14 7.设函数和函数，若对任意的,，当 时，都有 ，则实数 的最大值为( ) B A. B.1 C.2 D.4 15 解析 依题意,不妨设,且,,则 , 则由得,即 ,则 . 令,则在 上单调递增. 当时,,函数的图象开口向上,对称轴为直线,所以 在 上单调递增.由此的大致图象如图,所以由图可知,故 的最大值为1.故选B. 又所以当时, ,则函数 的图象开口向下,对称轴为直线,所以在上单调递增,在 上单 调递减； 8.［辽宁沈阳市郊联体2025高一联考］定义在上的函数若满足：①对任意, ， 都有；②对任意，都有，则称函数 是 以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以 为中心的“中心捺函数”，若 ，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 17 解析 对任意,，都有 ， 不妨设，由 ， 所以函数是 上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位长度得到函数 的图象， 因为函数是以 为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”，所以 , 因此函数是奇函数且在 上单调递减. 由 ， 当时，则有，此时 没有意义， 当时，由 ， 又，所以由 ，故选C. 18 9.函数为常数 的图象可能是( ) ABC A. B. C. D. 19 解析 若,则,定义域为 ,选项C中的图象符合； 若,不妨取,则,则函数定义域为,且是奇函数,当时,,当 时, 函数可化为,则在,上单调递减,在, 上单调递增,选项 B中的图象符合； 若,不妨取,则,定义域为,且是奇函数,当时, ,当 时,,则在,,, 上单调递减,选项A中的图象符合. 故不可能是选项D.故选 . 20 10.［河北保定2024高一期中］对于定义在上的函数，若是奇函数， 是偶 函数，且在 上单调递减，则( ) ABC A. B. C. D.在 上单调递减 21 解析 令,因为 是奇函数, 所以 , 即,的图象关于点 对称. 令,因为 是偶函数, 所以 , 即,的图象关于直线 对称. A选项,由,令,可得 , 由,令,可得 ,故A正确. B选项,由,令,可得 ,故B正确. C选项,由,令,可得 ,故C正确. 22 D选项,由在上单调递减,结合的图象关于点 对称, 可知在上单调递减,由可知在 上单调递减, 又的图象关于直线 对称, 则在上单调递增,故D错误.故选 . 二级结论 为定义在上函数,若为奇函数,则,图象关于 对称； 若为偶函数,则 , 图象关于直线 对称. 24 11.［安徽亳州2025高一期末］已知函数的定义域是，, ，都有 ，且当时，，且 ，则下列说法正确的是( ) ABD A. B.函数在 上单调递增 C. D.满足不等式的的取值范围为 25 解析 对于A,因为 , 令,得,所以 ,故A正确； 对于B,令,得,所以 , 任取,,且,则 , 因为,所以,即,所以 , 所以在 上单调递增,故B正确； 对于C, ,故C错误； 对于D,因为, , 26 所以 , 又因为,所以 , 由得,即 , 因为在上单调递增,所以解得 , 所以不等式的解集为,故D正确.故选 . 12.［四川成都2025高一期中］已知是定义在上的偶函数，且在 上单调递 增，则 的解集为_ _____________. 解析 由于函数是定义在 上的偶函数,则定义域关于原点对称,所以 ,得,所以函数的定义域为 . 由于函数在区间上单调递增,则该函数在区间 上单调递减. 由于函数为偶函数,则,由,可得 , 则 解得或,因此不等式的解集为, . 28 13.已知函数和，若在 上恒成立，则 ____， ___.（答对一空给3分） 0 解析 当时,, . 当时,, . 29 14.［甘肃天水一中2025高一期末（改编）］已知,是定义域为的函数，且 是奇函 数，是偶函数，满足，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是__________. 30 解析 由题意可得 ， 因为是奇函数， 是偶函数， 所以，联立 解得.又因为对于任意的，都有 成立， 所以，即 成立， 令 ， 则,则在 上单调递增. 若，则图象的对称轴为直线，解得 ； 若，则在 上单调递增，满足题意； 若，则图象的对称轴为直线 恒成立. 综上，实数的取值范围是, . 31 名师点拨 函数奇偶性应用的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，确保每一步推 导中符号的准确是非常重要的.分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况 都被考虑到，包括,, ，如果遗漏某一种情况，可能会导致结论不完整. 32 15.（本小题满分13分）［福建厦门2024高一月考］已知函数 ，图象经 过点，且 . （1）求, 的值； 【解】由题意得 解得 33 （2）判断并用定义证明函数在区间 上的单调性. [答案] 在区间 上单调递增,理由如下： 任取,,且 , 故 , 因为,所以 . 又,,所以 , 故 , 故,所以在区间 上单调递增. 34 16.（本小题满分15分）［陕西西安2024高一期中］已知函数 . （1）求证： . 【证明】由题意知 , 故 , 所以 . 35 （2）若函数满足，则函数的图象关于点 对称.设函数 ，求图象的对称中心 . 【解】 , 由题知图象的对称中心为,则 , 即 , 则 , 故即 故图象的对称中心为 . 36 17.（本小题满分15分）［重庆西南大学附中2025高一期中］“新能源汽车”是如今社会的热门 话题，截止到2024年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到了 .某汽车厂商计划引进新能 源汽车生产设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8 000万元，每生产 （百辆），需另投入 成本（万元），且 每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车可全部销售完. 37 （1）求出月利润（万元）关于月产量 （百辆）的关系. 【解】由题意得 月利润（万元）和月产量 （百辆）的关系为 （2）当月产量为多少百辆时，企业所获得的月利润最大？并求出最大月利润. [答案] 由（1）得 ①当时， , 当月产量为40百辆时，月利润最大，为8 000万元； ②当 时， ，当且仅当 时等号成立, 当月产量为102百辆时，月利润最大，为8 990万元. 又 , 当月产量为102百辆时，企业所获得的月利润最大，最大月利润为8 990万元. 39 18.（本小题满分17分）［河北邯郸2025高一期中］已知定义在上的函数 满足 ，，在 上单调递增. （1）求 的值； 【解】在 中， 令，得 ； 令，得 ； 令，，得，即 . 40 （2）证明： 是奇函数； 【证明】令，得，解得 ， 令，，得，所以 . . 又的定义域为,所以 是奇函数. 41 （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求实数 的取值范围. 【解】由，得 ， 即，即 . 又在上单调递增，所以 ， 所以，即 . 当时，不等式的解集为 ，解集中有无数个正整数，不满足题意. 当时，不等式等价于，则不等式的解集为或 ，解集中有无 数个整数，不满足题意. 当时，不等式等价于 ， 42 若，即，则不等式的解集为，要使解集中恰有2个整数解，则 ， 即 ; 若，则不等式的解集为 ，不满足题意； 若，即，则不等式的解集为 ，要使解集中恰有2个整数解，则 ，即 . 综上所述，实数的取值范围为或 . 19.（本小题满分17分）［山东青岛二中2024高一期中］已知函数为定义在 上的奇 函数. （1）求实数 的值； 【解】因为函数为定义在上的奇函数,所以 . 经检验,为奇函数,所以 . 44 （2）当时，用单调性定义判断函数在区间 上的单调性； [答案] 函数在区间上单调递减.理由如下：任取 ,则有 . 再根据,可得,,, , 又,所以,即 , 所以函数在区间 上单调递减. 45 （3）当时，设，若对任意的，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. [答案] 若对任意的,总存在,使得 成立, 则函数在上的取值范围为函数在 上的取值范围的子集. 因为函数在上单调递减,所以当时,, , 记函数在区间上的取值范围为 . 当时,在 上单调递减, 46 则当时,,,得在区间 上的取值范围为 . 因为,所以对任意的,总存在,使得 成立. 当时,的图象为开口向下的抛物线,且图象的对称轴为直线 , 所以在上单调递减,则此时, , 所以在区间上的取值范围为 , 满足,所以 时符合题意. 当 时, 47 当时,,在上单调递减,且 , 则, , 得在区间上的取值范围为 , 满足,所以 符合题意; 当时,,在上单调递减,在 上单调递增, 则, , 得在区间上的取值范围为,若 , 则解得,又 ,故此时 无解； 48 当时,,在上单调递减,在 上单调递增, 则, , 得在区间上的取值范围为 ,不符合题意. 综上,实数的取值范围为 . 49 $$