第3.1节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数核心内容，涵盖集合与函数关系、实际应用案例及分段函数等知识点。通过“垂鳞纹圆壶注水”等现实情境导入，衔接集合运算与函数图像分析，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以核心素养为导向，通过文物注水问题培养数学眼光，引导学生从现实情境抽象函数关系，借助高斯函数、分段函数题目训练数学思维，强化逻辑推理与符号运算能力。采用“例题+解析”模式，学生能提升问题解决能力，教师可直接用于同步教学，提高课堂效率。

数学 必修第一册 XJ 1 3.1 3.1 函数 2 3.1 第3.1节综合训练 刷能力 3 1.［广东梅州2025高一月考］已知集合， ，则( ) B A. B. C. D. 4 解析 由有意义，可得，即 ， 由，可得 ， 故 ，故A错误，B正确； ，故C错误； 显然不是集合 的子集，故D错误.故选B. 5 2.［福建三明一中2024高一月考］如图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县 出土的先秦时期的青铜器皿，科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水， 恰好用时注满，设注水过程中，壶中水面高度为单位：，注水时间为 单位：，则下列选项中最符合关于 的函数图象的是( ) A A. B. C. D. 6 解析 圆壶的结构是底端与上端细、中间粗,所以在注水水流速度恒定的情况下,开始时水的高度增 加的快,中间增加的慢,最后水的高度增加的速度又变快,由图可知选项A符合题意,故选A. 7 3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， .已知函数，则函数 的值域是( ) C A. B. C.,0, D.,0,1, 8 解析 显然, . 当时, . 令,当时,,当且仅当时等号成立,则 , ； 当时,,当且仅当时等号成立,则 , . 综上所述,的值域为,所以,根据高斯函数的定义,函数的值域是,0, ,故选C. 9 4.（多选）［河南九校2025高一联考］若函数满足关系式 ，则 ( ) ABD A. B. C. D. 10 解析 用替换代入计算，得到，结合 ，两式联 立解得 . 对于A，令，则 ，故A正确； 对于B，令，则 ，故B正确； 对于C，令，则，令，则， ， 故C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即 ，故D正确. 故选 . 11 5.（多选）［甘肃定西2025月考］已知函数 则( ) CD A. B.不等式的解集为 C.方程 有两个解 D.若，且，则 12 解析 对于A,, ,故A 错误； 对于B,C,D,作出 的图象如图所示, 由图知,不等式的解集为 ,故B错误； ,由图知,直线与 的图象有且仅有2个交点, 方程 有两个解,故C正确； 令,直线与 的图象相交于如图所示的三点, 令,解得 , , 由图象易知 , ,故D正确. 故选 . 13 6.［山东淄博五中2025高一期中］已知函数， ， 若函数的值域为，则实数 的取值范围是_ _________. 14 解析 ，则有， ， 由， ， 所以解得 ， 所以实数的取值范围是 . 15 7.［江苏南通部分学校2025高一期中联考］已知函数 ， ，其中 . （1）当，时，请在指定直角坐标系中，画出函数 的图象； 16 【解】当时,, , 得， 和1为定义域的分界点 当时, ； 当时, ； 当时, , 的图象如图所示. 17 （2）用表示，中的较大者，记为,，则当 时，求函数 的解析式； [答案] , 当时, , 当时, , 当时, , 18 当时, 的图象开口向下,对称轴为直线 , , . 当时,令,结合图象知,即 , 即,解得 . 令,结合图象知,解得 , 19 （3）用表示，中的较小者，记为,,若, 恒 成立，求实数 的取值范围. 20 [答案] 由（2）知 当时，, ， 令, , 则的图象开口向上,对称轴方程为 , 在上随着的增大而增大，故 , 记的图象在轴左侧与线段交于点,在轴右侧与射线交于点 , , 在同一平面直角坐标系上的图象如图所示， 记点的横坐标为,由（2）知点的横坐标为 , 的图象如图所示， 由图可知,当时, , ,解得,又,，即实数的取值范围为 . 22 8.［中国科学技术大学2024强基计划］函数满足，， ， 且，则 ________. 4 047 23 解析 令可得 ， 根据①且令，从而 ； 根据题设及①有 ， 联立①②，有，即 . 令可得，因此 . 24 $$