第2章 一元二次函数、方程和不等式 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了不等式的性质与应用、基本不等式的应用、一元二次不等式及其应用等核心内容，通过分考点整合高考真题与原创题，结合解析和多种解法构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“真题强化-原创拓展”模式，如结合维纳斯黄金分割问题培养数学眼光，通过基本不等式“一正二定三相等”的特别注意点训练数学思维，分层设计让学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

数学 必修第一册 XJ 1 2 第2章高考强化 刷真题 2 1.［课标全国Ⅰ理2019·4,5分］古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例 ，著名的“断臂维纳斯” 便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人 满足上述两个黄金分割比例，且腿长为,头顶至脖子下端的长度为 ，则其身 高可能是( ) B A. B. C. D. 考点1 不等式的性质与应用 3 解析 如图,设“某人”头顶至肚脐的长度为,肚脐至足底的长度为 , 头顶至咽喉的长度为,咽喉至肚脐的长度为 , 则 , ,, . 设“某人”的身高为,即 . 由解得 , 由解得 , 所以,即 . 解得 . 整理可得,即 ,结 合选项可知其身高可能是 .故选B. 考点1 不等式的性质与应用 4 多种解法 若以 为头顶到咽喉的长度,则身高为 . 若以为肚脐到足底的长度,则身高为 .结合选项可 知其身高可能是 .故选B. 考点1 不等式的性质与应用 5 2.［天津2021·13,5分］若,，则 的最小值为_____. 解析 由题意可知,当且仅当时,第一个“ ”成 立,当且仅当时,第二个“”成立,即时,等号同时成立, 取得最小值,为 . 考点2 基本不等式的应用 6 特别注意 利用基本不等式求最值时,一定要注意适用条件是否满足：一正、二定、三相等,这既是适用前提, 也是解题的基本过程.当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每个“等号”成立的条件,只有所 有的等号同时成立,才能保证求得最值的准确性. 考点2 基本不等式的应用 7 3.［江苏2020·12，5分］已知，则 的最小值是_ _. 解析 由,可得,由,可得 , 则,当且仅当, 时,等 号成立, 故的最小值为 . 考点2 基本不等式的应用 8 多种解法 ,当且仅当,即 , 时取等号,故,即的最小值为 . 考点2 基本不等式的应用 9 4.［全国甲理2024·23，节选］已知实数,满足.证明： . 【证明】因为 ，所以 . 考点2 基本不等式的应用 10 5.［全国新课标Ⅰ2023·1，5分］已知集合,,0,1,, ，则 ( ) C A.,,0, B. C. D. 考点3 一元二次不等式及其应用 11 解析 由,得或,则或,,0,1, , ,故选C. 考点3 一元二次不等式及其应用 12 6.［课标全国Ⅰ文2020·1，5分］已知集合,,1,3,,则 ( ) D A., B. C. D. 考点3 一元二次不等式及其应用 13 解析 由不等式,解得,则.又,1,3, ,所以 ,故选D. 考点3 一元二次不等式及其应用 14 2 第2章高考强化 刷原创 15 1.已知二次函数的图象过点,，且, ， 则( ) D A. B. C. D. 16 解析 由题意,,令,则由根与系数的关系知,, ,故 ,又,则 . 因为,所以 , 当时,,即存在使 , 记,,则,,又 与 在上均随的增大而减小，故 , ,故 . 当时, ,同理可 得,,故 . 综上所述, .故选D. 17 2.若对满足的任意实数, 恒成立，则( ) B A. B. C. D. 18 解析 分离参变量得恒成立,则 ,故右式取最大 值时,必须同号（且都不为零），此时,因为若,则, 与其同 号,则,与已知矛盾.由,设 ,则 ,若要求取最大值，则需 ,即 ,此时 ,当且仅当 即时等号成立,所以 .故选B. 19 3.已知，关于的不等式的解集为 . （1）若，求 ； 【解】由,得 . 当时,, （当且仅当 时等号成立）,不等式成立. 当时,,则,即,则 . 当时,,则,即,解得 . 综上可知,不等式的解集或 . 20 （2）若，求实数 的取值范围. [答案] 由题意知,不等式对任意 恒成立, 若,则恒成立,即 . 若,则 恒成立, 又,当且仅当 时等号成立, 故 . 若,则 恒成立, 因为,当且仅当 时等 号成立,故，即 . 综上,实数的取值范围为 . 21 $$