2.3.1 一元二次不等式及其解法+2.3.2 一元二次不等式的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“一元二次不等式”核心内容，从二次函数与方程的联系切入，通过不含参数解法、含参数分类讨论、实际应用等7大题型分层设计，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于题型系统全面，结合归纳总结与易错点提示，以数学思维引导逻辑推理，用实际问题（如药液稀释、租金计算）培养建模能力。学生能循序渐进掌握方法，教师可直接利用题型与方法总结提升教学效率。

数学 必修第一册 XJ 1 2.3 2.3 一元二次不等式 2 2.3 2.3.1 一元二次不等式及其解法+ 2.3.2 一元二次不等式的应用 刷基础 3 1.［福建泉州五中2025高一期中］设，使得不等式 成立的一个充分不必要条 件是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4 解析 由即，解得.对比选项，只有 是 的真子集，可知不等式成立的一个充分不必要条件是 . 故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 2.下面四个不等式中解集为 的是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 解析 利用“ ”判断.在不等式 中,对应一元二次方程的判别式 , 该不等式的解集为 ,其他可类似判断.故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式变形,使二次项系数大于零； （2）计算对应一元二次方程的判别式； （3）求出相应的方程的根,或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 8 3.不等式 的解集为____________________________. 或 解析 由得或 ； 由得 . 或 . 原不等式的解集为或 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 9 链接教材 本题由教材第53页练习衍变而来，注意解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集 合的形式. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 10 4.［山东泰安一中2025高一月考］关于的不等式 恰有一个整数解， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D.或 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 11 解析 ，即 ， 令，解得或 ， 且 ， 若，则不等式的解集为，由题意可得 ； 若，则不等式的解集为 ，不合题意； 若，则不等式的解集为 ，由题意可得，解得 . 综上所述，实数的取值范围是或 .故选B. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 12 5.关于的不等式的解集是的子集，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B.或 C.或 D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 13 解析 当,即时,的解集为 , ,符合条件. 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 综上, .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 14 6.（多选）已知关于的不等式 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的 是( ) BD A.不等式的解集可以是 B.不等式的解集可以是 C.不等式的解集可以是 D.不等式的解集可以是 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 15 解析 选项A,假设结论成立,则 无实数解,故选项A错误； 选项B,当,时,不等式恒成立,则解集是 ,故选项B正确； 选项C,当时,,则解集不可能为 ,故选项C错误； 选项D,假设结论成立,则 解得符合题意,故选项D正确.故选 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 16 7.求关于的不等式 的解集. 【解】原不等式即为 . ①当时,,解得,故不等式的解集为 ； ②当时,,解原不等式可得,此时原不等式的解集为 ； ③当时,,解原不等式可得或,此时原不等式的解集为 或 ； ④当时,原不等式即为,解得,此时原不等式的解集为 ； 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 17 ⑤当时,,解原不等式可得或,此时原不等式的解集为 . 综上所述,当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为或 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 18 规律方法 对含参数的二次型不等式的讨论顺序：第一步讨论二次项系数是否为0；第二步讨论二次函数图 象的开口方向；第三步讨论一元二次方程根的个数；第四步讨论根的大小. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 19 8.［辽宁辽南协作校2025高一联考］若关于的一元二次不等式 的解集为 或，则关于的不等式 的解集是( ) B A. B. C.或 D.或 题型3 三个“二次”之间的关系 20 解析 因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以,为关于 的一元二次方程的两根且 ， 所以 所以,，则不等式,即.因为 ，所以 ，即，解得，所以不等式 的解集是 .故选B. 题型3 三个“二次”之间的关系 21 9.（多选）［甘肃定西2025高一期末］已知关于的一元二次不等式 的解集为 或 ，则( ) AC A.且 B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 题型3 三个“二次”之间的关系 22 解析 依题意可得方程的根为或，且 , 所以即, . 对于A，由可得, ，故A正确； 对于B，易知 ，故B错误； 对于C，不等式，即，可得，所以不等式 的解集为 ，故C正确； 对于D，不等式，即，即 ，所以 ，解得或，即不等式 的解集为 ，故D错误.故选 . 题型3 三个“二次”之间的关系 23 10.［北京海淀区2025高一期中］若关于的不等式的解集为，则关于 的不 等式 的解集为( ) C A.或 B. C.或 D. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 24 解析 因为关于的不等式的解集为，所以，所以不等式 等 价于，即，解得或.所以关于的不等式 的解集为 或 .故选C. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 25 11.［云南师大附中2024高一月考］若关于的不等式的解集是 ， 则关于的不等式 的解集是( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 26 解析 由题意可得,,即, , 则有,即,解得 或,即解集为或 .故选B. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 27 12.［吉林长春2025高一段考］不等式 的解集为__________________________ ___________. 或或 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 28 解析 因为 ， 所以 即 令，解得, , ， ， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为或或 . 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 29 归纳总结 对于高次不等式可利用“穿针引线法”进行求解,求解的步骤如下: （1）对不等式进行移项并分解因式,使得不等式右侧为0且左侧每个因式中 的系数为正,例如本题 中 需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准,从最右根的右上方往左下画线,依据“奇穿偶不穿”的原则依次穿过各根； （4）根据不等号方向选取轴上方或轴下方的部分（注意在 轴上的点的选取）,即可得出不等 式的解集. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 30 13.若关于的不等式的解集是，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C.或 D.或 题型5 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 31 解析 当时,恒成立,则 符合题意； 当时,由题意可得解得 . 综上,实数的取值范围是 .故选B. 题型5 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 32 14.（多选）已知关于的不等式的解集为或 ，则下列说法正确 的是( ) AD A. B.的解集为 C. D.的解集为 题型5 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 33 解析 因为关于的不等式的解集为或,所以 且方程 的两个根为,3,即,,所以, .因此选项 A正确； 因为,,所以由,得,解得 ,因此选项B不正确； 由,可知 ,因此选项C不正确； 因为,,所以 ,解得 ,因此选项D正确.故选 . 题型5 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 34 15.［甘肃兰州一中2025高一月考］已知命题，为真命题，则实数 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型6 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 35 解析 因为命题，为真命题，所以不等式的解集为 . 若，则不等式可化为，解得，不等式的解集不是 ； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得 . 综上可知， ，故选D. 题型6 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 36 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型6 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 37 16.［浙江杭州学军中学2024高一月考］若关于的不等式 在集合 上有解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型6 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 38 解析 因为不等式在集合上有解,所以 在集合 上有解,所以 . 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型6 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 39 17.（多选）［江西南昌大学附中2025高一月考］为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积 为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用 水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的可能取值为( ) CD A.4 B.40 C.8 D.28 题型7 一元二次不等式的实际应用 40 解析 第一次稀释后，药液浓度为 ， 第二次稀释后，药液浓度为 ， 依题意有，即，解得 ， 又，即，所以.故选 . 题型7 一元二次不等式的实际应用 41 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意,搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 题型7 一元二次不等式的实际应用 42 18.［陕西部分学校2024高一联考］某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型7 一元二次不等式的实际应用 43 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元, 所以 , 即,解得.因为且,所以 , 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C. 题型7 一元二次不等式的实际应用 44 19.若集合 ，则实数 的取值范围是______. 解析 ①若,则 不成立,此时解集为空集； ②若,则解得 . 综上知 . 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 45 20.已知函数，且不等式无解，则实数 的取值范围是_ _____. 解析 不等式无解即是在定义域内恒成立,若 在 定义域内恒成立,则需满足解得.若 ,则 不能在定义域内恒成立.故实数的取值范围是 . 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 46 易错警示 对于与有关的问题,要注意对 系数的讨论.在处理二次函数的解相关问题时,常与判 别式相联系. 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 47 21.已知一元二次不等式的解集为，则实数 的取值范围是_______. 解析 为一元二次不等式, . 不等式的解集为 , 即解得 实数的取值范围为 . 易错点2 审题不仔细而致错 48 易错警示 本题中由于明确规定所给不等式是一元二次不等式,因此不需要考虑 ,若本题中没有“一 元二次不等式”这一前提条件,则需要考虑 . 易错点2 审题不仔细而致错 49 22.解不等式： . 【解】原不等式可化为,等价于或 ,解得 或或 . 所以原不等式的解集为 . 易错点3 随意消项致误 50 易错警示 错解为 , 因为,所以,所以或 . 故原不等式的解集为 . 错误是由于随意消项造成的,事实上,当 时,原不等式亦成立. 易错点3 随意消项致误 51 23.［广东茂名2025高一月考］解不等式： . 【解】原不等式可化为 解得 , 所以原不等式的解集为 . 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 52 易错警示 认为分式不等式与二次不等式等价致误,没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因. 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 53 $$