2.1.2 基本不等式+2.1.3 基本不等式的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”，同步新教材必修第一册内容，覆盖概念理解、大小比较、最值求解、不等式证明、实际应用及恒成立问题等题型，构建从基础认知到综合应用的递进式学习支架，助力学生衔接前后知识。 其亮点在于通过分类题型（如“无条件求最值”“有条件求最值”）、多种解法（如特殊值法、构造法）及易错警示（如忽略“一正二定三相等”），结合数学思维与数学眼光，以“直角三角形铁支架制作”等实例培养学生应用能力。学生能夯实基础提升解题素养，教师可直接用于课堂教学，提高备课效率。

数学 必修第一册 XJ 1 2.1 2.1 相等关系与不等关系 2 2.1 2.1.2 基本不等式+2.1.3 基本不等式的应用 刷基础 3 1.已知实数，，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 基本不等式的理解 4 解析 因为等价于,所以,,所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 题型1 基本不等式的理解 5 2.［甘肃兰州2025高一期中］若,，且 ，则下列不等式中，恒成立的是( ) B A. B. C. D. 题型1 基本不等式的理解 6 解析 对于A，若,,则 ,故A错误； 对于B，由，可知，，则，当且仅当 时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，即 ，当且仅当 时取等号，故C错误； 对于D，由A分析，可知当，同为负数时， ，故D错误.故选B. 题型1 基本不等式的理解 7 二级结论 基本不等式的常用变形 （1）,当且仅当 时,等号成立. （2）当时,,,当且仅当 时,等号成立； 当时,,,当且仅当 时,等号成立. （3）,当且仅当 时,等号成立. （4）若,,,则,当且仅当 时,等号成立. 在利用基本不等式求最值时可以向以上的形式配凑,但要注意,, 的取值范围及取等号的条件. 题型1 基本不等式的理解 8 3.［四川遂宁2025高一期中］已知，，则，，， 中最大的是( ) A A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 9 解析 因为,，所以， ， ，当且仅当 时，等号成立， 则 .故选A. 题型2 利用基本不等式比较大小 10 多种解法 此题可以采用特殊值法求解,例如可取,,可得 最大.故选A. 题型2 利用基本不等式比较大小 11 4.［江苏淮安2024高一期中］已知实数，，满足， ，且 ，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 12 解析 因为,由基本不等式得,当且仅当 时等 号成立,又 , 所以.又, ,两式相减得, ,故 ,所以 ,故,所以 .故选B. 题型2 利用基本不等式比较大小 13 5.［北京四中2024高一期中］若，则 的最小值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.无最小值 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 14 解析 若,则 , 当且仅当,即时,等号成立,所以 的最小值为8.故选C. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 15 6.［河南漯河高级中学2025高一期中］已知，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 16 思路导引 观察和,联想到 为定值,构造“和定积最大”的使用条件,题目可转化为求 的最大值. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 17 解析 因为，所以 ， 所以，当且仅当，即 时取等号，所以 的最大值为1.故选C. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 18 规律方法 利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值,要求积的最大值,则必 须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个最值 就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 19 7.［河北邯郸武安一中2025高一月考］设，则 的最小值为( ) B A.81 B.27 C.9 D.3 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 20 解析 由于，故,，故 ， 当且仅当，即 时等号成立，故所求最小值为27，故选B. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 21 链接教材 这道题目是由教材第43页习题2.1的第7题改编得到,基本的解题思路是将 变形为 ,再利用基本不等式即可求得答案. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 22 8.已知，，且，则 的最大值为( ) D A.36 B.4 C.16 D.9 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 23 思路导引 （1）先观察条件等式和所求式子,由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式； （2）利用基本不等式求代数式的最值； （3）验证取等条件. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 24 解析 由题意,得,, ,所以 ,当且仅当即 时取等号.故选D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 25 9.［湖北鄂东南示范校2024高一期中联考］关于的方程 有两个相等的正根， 则 ( ) B A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 26 思路导引 多元问题一元化,依题意可得,,则 ,再利用基本不等式即可求得最 大值. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 27 解析 关于的方程 有两个相等的正根, , , ,当且仅当 时取等号, 有最大值 .故选B. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 28 10.（多选）若,，且 ，则( ) ABD A. B. C. D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 29 思路导引 由变形得,根据可判断选项A； ,利用“乘 1法”可判断选项B；根据可判断选项C； ,利用 基本不等式可判断选项D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 30 解析 ,,,, ,A正确； ,当且仅当 且 ,即, 时等号成立,B正确； ,解得,当且仅当且,即, 时取等号，C错误； 由A的分析知 ,则 ,当且仅当 且 ,即,时取等号,故D正确.故选 . 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 31 规律方法 （1）若,,且,,均为正数）,求, 均为正数）的最小值,常将 变形为 ,利用“1”的代换求最值. （2）若,,且,,均为正数）,求的最小值, 均为正数）,常将 变形为 ,利用“1”的代换求最值. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 32 11.［广西桂林部分学校2025高一联考］已知,, 均为正实数. （1）证明： ； 【证明】由基本不等式得, ， 两个不等式相加得 ， 当且仅当时“ ”成立，问题得证. 题型5 利用基本不等式证明不等式 33 （2）证明，并求 的最小值. 【解】 ， 题型5 利用基本不等式证明不等式 34 当且仅当 时等号成立， 所以不等式 成立, 所以 ， 所以，当且仅当 时取等号， 故不等式 成立. 因为,所以 , ， 当且仅当，即时，等号成立，所以 . 题型5 利用基本不等式证明不等式 35 12.［江西南昌2025高一月考］已知，，，证明： . 【证明】，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， . 题型5 利用基本不等式证明不等式 36 13.制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经 济（够用，又耗材最少）的是( ) C A. B. C. D. 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 37 解析 设两直角边的长度分别为,,,,则 ,铁支架框的周长 ,当且仅当 时取等号. 故选C. 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 38 14.［甘肃部分学校2025高一期末联考］某企业2024年年初花费64万元购进一台新的设备，并立 即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用 年后该设备的维 修保养费用为万元，盈利总额为 万元. （1）求关于 的函数关系式； 【解】根据题意， ， 故关于的函数关系式为 . 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 39 （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额盈利总额 使用年数）. [答案] 由（1）知盈利总额 ， 则年平均盈利额 ， 则，因为（当且仅当 时取等号），所以 万元， 故该设备使用8年后年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 40 15.［湖南衡阳2025高一月考］对于任意， 恒成立，则( ) D A. B. C. D. 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 41 解析 对于任意，恒成立，则,而 ，当且仅 当时取等号，所以 .故选D. 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 42 16.已知，，且，不等式恒成立，则正实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 43 解析 由题设得 恒成立,而 ,又,当且仅当 时等号成立,所以 ,当且仅当时等号成立,故 .故选B. 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 44 多种解法 不等式恒成立，即恒成立，即 恒成立，而 ，当且仅当，即时取等号，故.又 是正实数， 故 ，故选B. 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 45 规律方法 含参数的不等式恒成立问题,通过分离参数,把参数的取值范围问题化归为代数式的最值问题. 恒成立,恒成立 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 46 17.［浙江湖州多校2025高一联考］已知正实数，满足，若不等式 有解， 则实数 的取值范围是_________________. 解析 因为正实数，满足 ， 所以 ， 当且仅当，即， 时取等号， 所以的最小值为.因为不等式 有解， 所以，即实数的取值范围为 . 题型7 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 47 18. 的最大值为_________. 解析 , , . 又,,当且仅当 ,且 ,即 时,等号成立. 的最大值为 . 易错点1 忽略应用基本不等式的前提条件而致错 48 易错警示 应用基本不等式时,应先将各项化为正值. 易错点1 忽略应用基本不等式的前提条件而致错 49 19.（多选）以下结论正确的是( ) BD A.的最小值是2 B. 的最大值是1 C.的最小值是2 D.存在,使得不等式 成立 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 50 解析 对于A,当 时,结论显然不成立,故A错误； 对于B,由，得,，所以,当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确； 对于C,,当且仅当,即 时取等号,又方程无 实数解,故取不到等号,故C错误； 对于D,当时,,即存在,使得成立,故D正确.故选 . 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 51 易错警示 注意使用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”,不是正数时可以提出负号转化为正数,不 是定值的时候可以通过配凑转化为定值,不能取等时往往需要转化为对勾函数解决. 对勾函数 的图象如图所示,取不到等号时可结合函数图象求最值. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 52 20.已知，，且，则 的最小值为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 易错点3 多次应用基本不等式而致错 53 解析 ,当且仅当 时,等号成立. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 54 易错警示 此题很容易出错,认为,,,错选B,错误的原因是, 不能同时取到1. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 55 $$