1.2.2 充分条件和必要条件-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“充分条件和必要条件”核心知识点，通过《论语》名言等生活实例及数学问题导入，结合定义法、集合法建立与集合知识的联系，形成从概念辨析到实际应用的学习支架。 其亮点在于跨情境例题设计与分层题型（判断、探求、应用）结合，通过逻辑推理（如方程根的判别分析）和数学语言（集合符号表达），帮助学生深化逻辑思维，教师可借助易错点警示提升教学针对性，高效落实核心素养。

数学 必修第一册 XJ 1 1.2 1.2 常用逻辑用语 2 1.2 1.2.2 充分条件和必要条件 刷基础 3 1.下列说法正确的是( ) D A.“”是“ ”的充分条件 B.“”是“ ”的必要条件 C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 D.“”是“ ”的充分不必要条件 题型1 充分条件与必要条件的判断 4 解析 对于A,当时,满足,但此时存在 的情况,故A错误； 对于B,等价于或,故“”是“ ”的充分不必要条件,故B错误； 对于C,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故C错误； 对于D,“”是“ ” 的充分不必要条件,故D正确. 故选D. 题型1 充分条件与必要条件的判断 5 2.［重庆一中2025开学考试］子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自《论语·卫灵 公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 充分条件与必要条件的判断 6 解析 由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立. 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选B. 题型1 充分条件与必要条件的判断 7 3.“”是“一元二次方程 有实数解”的____________条件.（填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 充分不必要 题型1 充分条件与必要条件的判断 8 解析 一元二次方程有实数解,即.因为 ,反 之不成立,所以“”是“一元二次方程 有实数解”的充分不必要条件. 题型1 充分条件与必要条件的判断 9 规律方法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 （1）定义法：根据,进行判断.①若,,则是 的充分不必要条件；②若 ,,则是的必要不充分条件；③若且,则是 的充要条件. （2）集合法：根据使,成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.满足, 的元素构成的 集合分别记作集合,,①若,则是的充分不必要条件；②若,则是 的必要不充分条 件；③若,则是 的充要条件. 题型1 充分条件与必要条件的判断 10 4.已知为全集，集合，为的两个子集，则“ ”的充要条件是( ) A A. B. C. D. 题型2 充分条件与必要条件的探求 11 解析 因为,则, 间的关系如图, 或 . 由图可知B,C,D错误,A正确.故选A. 题型2 充分条件与必要条件的探求 12 5.［江西上饶一中2025高一月考］若，，则“ ”的一个充分不必要条件可以是( ) D A. B. C. D. 题型2 充分条件与必要条件的探求 13 解析 对于A，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，因为，所以，即，当时，取, ，则 ， 所以“”是“ ”的一个充分不必要条件，D正确. 故选D. 题型2 充分条件与必要条件的探求 14 6.（多选）［安徽马鞍山二中2025高一月考］“关于的方程 至多有一个实数根” 的必要条件可以是( ) ABC A. B. C. D. 题型2 充分条件与必要条件的探求 15 解析 因为方程 至多有一个实数根， 所以方程的判别式，即，解得 . 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项A,B,C，故选 . 题型2 充分条件与必要条件的探求 16 7.（多选）设计如图所示的四个电路图，若开关闭合,灯泡亮，则满足是 的充要条件 的电路图是( ) BD A. B. C. D. 题型2 充分条件与必要条件的探求 17 解析 由题知,电路图A中,开关闭合,灯泡亮,而灯泡亮开关不一定闭合,故A中是 的充分不必 要条件； 电路图B中,开关闭合,灯泡亮,且灯泡亮,则开关一定闭合,故B中是 的充要条件； 电路图C中,开关闭合,灯泡不一定亮,灯泡亮,则开关一定闭合,故C中是 的必要不充分条件； 电路图D中,开关闭合,灯泡亮,灯泡亮,则一定有开关闭合,故D中是的充要条件.故选 . 题型2 充分条件与必要条件的探求 18 8.［北京五中2025高一段考］若集合,,，试写出 的一个 必要不充分条件. 【解】由，得，所以的一个必要不充分条件可以是 （答案不唯一）. 题型2 充分条件与必要条件的探求 19 链接教材 本题是由教材第19页练习第2题改编得到的,探求“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要 条件”的策略： （1）寻找充要条件：只需要找一个等价条件或者求一个与已知条件对应集合相等的集合即可； （2）寻找充分不必要条件：就是找一个已知条件对应集合的真子集; （3）寻找必要不充分条件：就是找一个比已知条件对应集合“更大”的集合. 题型2 充分条件与必要条件的探求 20 9.［甘肃平凉2025高一期末］设；，若是 的充分不必要条件，则实 数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 充分条件与必要条件的应用 21 解析 若是的充分不必要条件,则且等号不同时成立,解得 .故选A. 题型3 充分条件与必要条件的应用 22 10.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 充分条件与必要条件的应用 23 解析 由解得,所以 成立的一个充分不必要条件是 ,故是的真子集,所以或 解得 ,故实数的取值范围是 .故选B. 题型3 充分条件与必要条件的应用 24 特别注意 “是的充分不必要条件”和“的充分不必要条件是”,前者指的是是条件,是结论,即 , ；后者指的是是的充分不必要条件,即是条件,是结论,即, . 务必重视语句是否倒装,倒装时先转化为正常的语句结构再理解. 题型3 充分条件与必要条件的应用 25 11.［江西新余一中2024高一开学考试］已知集合， ，若 是的必要不充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为_________. ,0, 题型3 充分条件与必要条件的应用 26 解析 依题意,, . 由是的必要不充分条件,得 . 若,则 ,满足 . 当时, , 所以或 , 解得或 . 综上所述,实数的所有可能取值构成的集合为,0, . 题型3 充分条件与必要条件的应用 27 名师点拨 本题解题思路是根据是的必要不充分条件，判断出集合,之间的包含关系，得到 的 取值集合. 题型3 充分条件与必要条件的应用 28 12.［辽宁丹东2025高一月考］已知“方程至少有一个负实根”，若 为真命 题的一个必要不充分条件为，则实数 的取值范围是___________. 解析 若“方程 至少有一个负实根”为真命题， 则当时，,则 ，符合要求； 当时，，设此时方程的两根分别为,，则, ， 因此方程 有一个正根和一个负根，符合要求； 题型3 充分条件与必要条件的应用 29 当时，由，解得 ， 此时方程为,解得 ，符合要求, 由解得，设此时方程的两根分别为,，则 , ，此时方程 有两个不相等的负根，符合要求. 综上所述，为真命题时，的取值范围为 . 若为真命题的一个必要不充分条件为，则,解得 ， 因此实数的取值范围为 . 题型3 充分条件与必要条件的应用 30 名师点拨 含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来 进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充 分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 题型3 充分条件与必要条件的应用 31 13.［甘肃金昌2025高一月考］已知集合或， . （1）若“”是“”成立的必要条件，求实数 的取值范围； 【解】若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得 . 所以实数的取值范围是 . （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围； [答案] 若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故 ，解得 . 所以实数的取值范围是 . 题型3 充分条件与必要条件的应用 32 （3）若“”是“”成立的充分条件，求实数 的取值范围； [答案] 若“”是“”成立的充分条件，则是 的子集. 易知，所以 . 所以实数的取值范围是 . （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围. [答案] 若“”是“”成立的充分不必要条件，则是 的真子集. 因为，所以 . 所以实数的取值范围是 . 题型3 充分条件与必要条件的应用 33 14.甲：“实数,,满足”，乙：“实数,,满足 ”，则甲是乙的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点1 条件判断不全面而致误 34 解析 当时,实数,,满足,但此时不成立；反过来由 得 . 综上所述,“实数,,满足”是“实数,,满足 ”的必要不充分条件,故选A. 易错点1 条件判断不全面而致误 35 易错警示 充分、必要条件的判断问题,若直接判断条件与结论之间的关系,则需要严格推理论证,若考虑问题 不全面,则会造成错解,如本题中若忽视了 则会造成错解. 易错点1 条件判断不全面而致误 36 15.（多选）已知， ，则下列说法正确的是( ) BD A.是的充分不必要条件 B.是 的充分不必要条件 C.的必要不充分条件是 D.的必要不充分条件是 易错点2 不能正确区分命题的条件与结论而致误 37 解析 由，得，所以是的充分条件，的必要条件是 ， 由，得，所以是的不必要条件，的不充分条件是 ， 所以是的充分不必要条件，的必要不充分条件是.故选 . 易错点2 不能正确区分命题的条件与结论而致误 38 16.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 . 【证明】充分性：, 一元二次方程的判别式, 方程 一定有两个不等实根,分别设为,,则, 方程的两根异号,即方程 有一正根和一负根. 必要性： 一元二次方程有一正根和一负根,分别设为, ,则由一元二次方程 根与系数的关系,得且,解得 . 综上可知,一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 . 易错点2 不能正确区分命题的条件与结论而致误 39 易错警示 一般地,证明“是 的充要条件”时,证明要分两个方面：一是证充分性；二是证必要性.在证充分 性时应以为“已知条件”,是该步中要证明的“结论”,即；证明必要性时则是以 为“已 知条件”,为该步中要证明的“结论”,即 . 证明“的充要条件是”时,要转换一下语序,即“是 的充要条件”,那么证充分性即证“ ”,证必要性即证“ ”. 易错点2 不能正确区分命题的条件与结论而致误 40 17.［湖北华中师大一附中2025高一期中］“关于的方程 的根为正实数”为真命 题的一个必要不充分条件是( ) B A. B. C. D. 易错点3 条件探求中忽视要求而致误 41 解析 关于的方程 的根为正实数， 则需满足或解得 . “关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 对应的 集合为 ， 则 ， 结合选项可知 满足，故选B. 易错点3 条件探求中忽视要求而致误 42 易错警示 本题中要注意条件属性的要求,不要错解为充要条件. 易错点3 条件探求中忽视要求而致误 43 $$