15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 课时1 线段的垂直平分线的性质和判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 线段的垂直平分线的性质 7. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 互逆命题和互逆定理 2. 知识回顾 1. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及点在线段垂直平分线上的判定，并会运用这些定理证明线段相等或垂直等，发展推理能力. 2. 了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 学习目标 知识回顾 什么是线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 新课导入 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 如图，线段AB的垂直平分线上的点到线段两端的距离又怎样的关系？ A B P1 P2 P3 P4 新课讲解 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P3 P2 P1 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等. 如何证明？ 由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 新课讲解 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为C，AC = BC，点P在 l 上．求证：PA = PB． A B P C l 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵ l ⊥ AB，∴ ∠PCA = ∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）． ∴ PA = PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 新课讲解 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. A B P C 符号语言： ∵ PC ⊥ AB，AC=BC， ∴ PA=PB. 线段垂直平分线的性质： 条件：点在线段的垂直平分线上. 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法. 注意 新课讲解 例 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE. 若AE＝4 cm，EC＝2 cm，则BC的长是（　B　） A. 8 cm B. 6 cm C. 4 cm D. 2 cm B 【变式1】 在例1中，若BC＝6 cm，△AEC的周长是11 cm，则AC的长为 ⁠. 【变式2】 在例1中，若△ABC的周长是19 cm，AD＝3 cm，则△AEC的周长为 ⁠. 5 cm　 13 cm　 新课讲解 例 2. 如图，在中， ， 为内一点，过点的直线 分别交，于点，，若在 的垂直平分线上，在 的垂直平分线上，则 的度数为( ) A. B. C. D. B 解： ， . 在的垂直平分线上，在 的垂直平分线上， ，， ， ， ， ， ， . 新课讲解 练一练 1. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______. 13 新课讲解 练一练 2. 如图，AB＝AE，BC＝ED，AF是CD的垂直平分线，连接AC，AD. 求证：∠B＝∠E. 证明：∵AF是CD的垂直平分线， ∴AC＝AD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED（SSS）， ∴∠B＝∠E. 新课讲解 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 思考 如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． P A B C 证明：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C， 则∠PCA=∠PCB=90°． 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴AC=BC． 又PC⊥AB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 新课讲解 符号语言： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C l 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 点在线段垂直平分线上的判定： 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：这个点在线段的垂直平分线上. 1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直. 2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上. 注意 新课讲解 从上面两个结论可以看出： 1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 2. 所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 归纳 新课讲解 例 3. 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证：PA=PB=PC. (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能 得出什么结论？ 解：(1)证明：∵ 边AB，BC的垂直平分线相交于点P， ∴ PA=PB，PB=PC， ∴ PA=PB=PC. (2)解：∵ PA=PC， ∴ 点P在边AC的垂直平分线上. 由此可得出结论： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点； ②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等. *三角形外接圆的圆心 新课讲解 例 4. 如图，P 为∠ MON 平分线上一点，PA ⊥OM于A，PB ⊥ ON 于B，求证：OP 垂直平分AB． 证明：∵ P 为∠ MON 平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON， ∴ ∠PAO= ∠PBO=90 °，PA=PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上. 在Rt△PAO和Rt△PBO 中， ∴△ AOP ≌△ BOP (HL)， ∴ OA=OB. ∴点O 在AB 的垂直平分线上. ∴ OP 垂直平分AB. 新课讲解 练一练 1. 三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（　D　） A. 是边AB的中点 B. 在边AB的中线上 C. 在边AB的高上 D. 在边AB的垂直平分线上 D 新课讲解 练一练 2. 如图，AD为△ ABC的角平分线，AE=AF.连接DE，DF，EF，求证：线段AD 所在直线是线段EF 的垂直平分线. 新课讲解 知识点3 互逆命题和互逆定理 探究 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 新课讲解 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 互逆命题： 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 新课讲解 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 互逆定理： 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 新课讲解 例 5. 判断下列命题的真假，写出其逆命题并判断真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0. 解：(1)原命题是真命题. 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题. (2)原命题是假命题. 逆命题：如果a2>b2，那么a>b. 逆命题是假命题. (3)原命题是真命题. 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数. 逆命题是真命题. (4)原命题是假命题. 逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0. 逆命题是真命题. 新课讲解 例 6. 下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理. (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)三角形的两边之和大于第三边. 解：(1)逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补. (2)逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形. 新课讲解 练一练 1. 下列定理中，没有逆定理的是( ) A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C 新课讲解 练一练 2. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)同位角相等，两直线平行. (2)如果x=3，那么x2=9. (3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等. (4)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立. (2)逆命题：如果x2=9，那么x=3.不成立，如：(-3)2=9，-3≠3. (3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等. 成立. (4)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立. 新课讲解 1. 原命题的真假和逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题. 2. 判断一个命题是真命题需要证明，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可. 归纳 定义 关系 互逆 命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆 定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 课堂小结 线段的垂直平分线 性质定理的逆定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 性质定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理 当堂小练 1. 下列说法中错误的个数是 ( ) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题. B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的 ( ) 当堂小练 B A. 三边中线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边上高的交点处 当堂小练 3. 如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 为什么？ A M B C 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC的垂直平分线上. ∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 当堂小练 4. 如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC＝16 cm，则BM的长为 ⁠. 8 cm　 当堂小练 5. 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC， ∴AB =AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE， ∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE. 当堂小练 6. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假： (1)如果a＝0， 那么ab＝0； (2)如果x＝4， 那么x2＝16； 逆命题：如果ab＝0，那么a＝0.假命题． 逆命题：如果x2＝16，那么x＝4.假命题． (3)面积相等的三角形是全等三角形； (4)在一个三角形中，大角对大边. 逆命题：全等三角形的面积相等．真命题． 逆命题：在一个三角形中，大边对大角．真命题． 7. 如图，在 中，的垂直平分线交于点，若 的周长为5，，则边 的长的取值范围为____________. 当堂小练 解：的周长为5， ， ， ∴ 的垂直平分线交 于点， ， . 由三角形的三边关系得 ， ， 即边 的长的取值范围为 . 对接中考 1. 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB，BC 于点D，E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC 的长是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解：∵ DE 是AB 的垂直平分线，AE=4， ∴ EB=EA=4 . ∴ BC=EB＋EC=4＋2= 6 . C 对接中考 2. 如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD． 若AC＝8，CD＝5，则BD＝______. 3 拓展与延伸 1. 如图，OE，OF 所在直线分别是△ ABC 中AB，AC 边的垂直平分线，∠OBC，∠ OCB 的平分线相交于点I，试判断OI 与BC 的位置关系，并给予证明. 解：OI ⊥ BC. 证明如下： 延长OI 交BC 于点M. ∵ OE 垂直平分AB，OF 垂直平分AC， ∴点O 在BC 的垂直平分线上. ∴ OB=OC. 又∵ BI 平分∠ OBC，CI 平分∠ OCB， ∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI. 在△ BOM 和△ COM 中， ∴△ BOM ≌△ COM(SAS). ∴∠ BMO= ∠ CMO. 又∵∠ BMO＋∠ CMO= 180 °， ∴∠ BMO= ∠CMO= 90 °，即OI ⊥ BC . 2. 如图，在中，为 中点，， ， 交于，，，那么 ____. 拓展与延伸 10 解：如图所示，连接，过点 作交的延长线于点 为 中点，， 是线段 的垂直平分线， ∴ ∵ ， ， . ，， . 在 和 中， ， . ， ， ， 即 ， 解得， . 在和 中， ， ∴ 证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS)． ∴DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上． 证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS)． ∴DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上． 又∵AE＝AF， ∴点A在线段EF的垂直平分线上． ∴线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线． $$