5.7 三角函数的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，从简谐运动的基本概念出发，通过题型分类逐步过渡到模型参数求解和实际应用问题，结合物理场景和生活实例搭建学习支架，帮助学生衔接三角函数性质与实际问题的解决。 其亮点在于融入阻尼器、主动降噪耳机等科技实例和筒车、摩天轮等生活场景，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过分类题型和逻辑解析培养数学思维，归纳解题步骤强化模型意识。学生能提升知识应用能力，教师可直接用于分层教学。

数学 必修第一册 RJA 1 5.7 5.7 三角函数的应用 刷基础 2 1.已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期 和初相 分别为( ) A A.， B.， C. ， D. ， 题型1 函数描述简谐运动时的基本概念 3 解析 . 的图象经过点, . 又, . 题型1 函数描述简谐运动时的基本概念 2.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下放纸板， 板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时 匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对平衡位 置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况.如图所示，已知一根长为 的线一端固定， 另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位： ）的函数 关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到 ） ( ) 题型1 函数描述简谐运动时的基本概念 5 A. B. C. D. √ 题型1 函数描述简谐运动时的基本概念 6 解析 由,得 . 由函数的图象可知函数的周期为,所以,即 .故选C. 题型1 函数描述简谐运动时的基本概念 3.［江苏扬州中学2024高一月考］阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第 一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图①.由物理学知识可知，某阻 尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位： ）的 函数关系为 ，如图②，若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为 的时间分别为，，，且， ，则在一 个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于 的总时间为( ) C 图① 图② A. B. C. D. 题型2 知模型求参数 8 解析 因为,,所以,所以最小正周期 , 又,所以,则.由可得 , 所以 ,,可得, . 因为 , 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于的总时间为 .故选C. 题型2 知模型求参数 9 4.（多选）［甘肃白银部分学校2025高一期末联考］已知一正弦电流（单位：A）随时间 （单位：）变化的函数,, 的部分图象如图所示，则( ) AB A. B. C. D.在一个周期内，电流不超过的时长为 题型2 知模型求参数 10 解析 对于A，由题图可知 ，故A正确. 对于B，由，得，则 ，故B正确. 对于C，由题图可知函数的图象过点，故 ， 则，得 . 因为，所以 ，故C错误. 对于D，由，得 ， 则或 ， 或 ， 所以在一个周期内，电流不超过的时长为，故D错误.故选 . 题型2 知模型求参数 11 5.［广东深圳部分学校2025高一期末联考］已知某地区某天的温度（单位：）随时间 （单位：）的变化近似满足函数关系， ，且这天的 最大温差为，则___；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为___ . 4 6 题型2 知模型求参数 12 解析 ，其最小正周期 ， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又 ，故 ，解得 . 令，即，，又 ，则 ， 则或 ，解得 ， 则一天中需要降温的时长为 . 题型2 知模型求参数 13 6.（多选）［江苏淮安2025高一期末］筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环 保，至今还在农业生产中使用（图①），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车 的工作原理（图②）.若一半径为2米的筒车水轮的圆心 距离水面1米（图③），已知水轮按逆时 针转动，每分钟匀速转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图③中点的位置）开始计时，点 距水面的高度（在水面上时为正值，在水面下时为负值）（单位：米）与时间 （单位：秒）的 关系可以用,,, 表示.下列结论正确的有( ) 题型3 三角函数模型的应用 14 图① 图② 图③ A. B.点 第一次到达最高点需用时5秒 C.点再次接触水面需用时10秒 D.当点 运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 √ √ 题型3 三角函数模型的应用 15 解析 由题意可得解得又，所以 ， 当时，，解得，因为，所以 ， 所以 ，A错误； 令，得，则 ,，解得,，又 , 所以的最小值为5，即点 第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点再次接触水面需用时 （秒），C正确； 当时，，故点距水面的高度为2米，D错误.故选 . 题型3 三角函数模型的应用 16 7.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且每12分钟旋转一周，它的最低点 离地面2米.设风车开始旋转时其翼片的一个端点 在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米）与时间 （分）之间的函数关系式. 题型3 三角函数模型的应用 17 【解】不妨设,,,由题意得解得, ,又 ,则 . 当时,,即,取 . 因此, . 题型3 三角函数模型的应用 18 （2）在第一圈的什么时间段，点 离地面的高度超过14米？ [答案] 由题意令,即,则 . 又因为,所以 . 所以在第一圈的4分钟到8分钟内,点 离地面的高度超过14米. 题型3 三角函数模型的应用 19 归纳总结 解三角函数应用问题的一般步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什 么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步,搜集整理数据,建立数学模型. 根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关 系式,在此基础上将实际问题转化为三角函数问题,从而将实际问题数学化,即建立三角函数模型. 第三步,利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果. 第四步,将所得结论转译成实际问题的答案. 题型3 三角函数模型的应用 20 8.［陕西西安长安区一中2025高一期末］近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银 山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，摸索出 以虹鳟、鲟鱼等养殖为主的方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边 上，且 ，米，设 . （1）求扇形 的面积； 题型3 三角函数模型的应用 21 【解】依题意，，扇形半径 米， 则扇形的面积为 平方米. 题型3 三角函数模型的应用 22 （2）求矩形的面积，当 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值. 题型3 三角函数模型的应用 23 [答案] 在中， ， ， 在中， ，则 ， 于是 ， 则矩形的面积 ， 所以 . 由，得，则当，即时， ， 所以当时，取得最大值，最大值为 平方米. 题型3 三角函数模型的应用 24 5.7 5.7 三角函数的应用 刷能力 25 建议用时：45分钟 1.如图所示，一个单摆以为始边，为终边的角与时间（单位： ）满 足函数关系式，,则当时，角 的大小及单摆频率是 ( ) B A.2， B.， C.， D.2， 26 解析 当时,,由函数解析式易知单摆周期为 ,故单摆频率为 .故选B. 2.如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，质点 运动的角 速度大小为，起点为射线与的交点.则当 时，下列选项中， 是动点的纵坐标关于时间（单位： ）的函数的单调递增区间的是( ) B A. B. C. D. 28 解析 由题意,设,因为质点在单位圆上运动的角速度大小为,起点 为 射线与 的交点, 所以,,,所以动点的纵坐标关于时间（单位： ）的函数解析式为 . 由 ,,得 , . 又,所以,,, . 所以动点的纵坐标关于时间（单位：）的函数的单调递增区间为,, , .故选B. 29 3.［江苏连云港2025高一期末］为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒 针针尖位置为.若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时 ）正常开始走时， 点的纵坐标与时间 （单位：秒）的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 30 解析 根据题意，设 ， 由题意可知，初相 为第一象限角，且又因为 ，则 ， ， 函数的最小正周期 ， 所以 ， 所以点的纵坐标与时间的函数关系式为 .故选C. 31 4.［北京人大附中2025质量检测］音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为葫芦曲线，它 的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线对应的方程为 ,，，其中表示不超过 的最大整数.若该曲线还满足经 过点，则该葫芦曲线与直线 交点的纵坐标为( ) C A. B. C. D. 32 解析 将点的坐标代入方程可得 ， 即，由，可得 ， 因此曲线方程为 . 当 时，可得 ， 所以交点的纵坐标为 .故选C. 33 5.（多选）［重庆巴蜀中学2025月考］从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，假 设在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）: 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为 ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则 ( ) ACD A.体力曲线 的最小正周期是三条曲线中最小的 B.第462天时，智力曲线与情绪曲线 都处于上 升期 C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D.不存在正整数，使得第 天时，智力、情绪、 体力三条曲线同时处于最高点或最低点 34 解析 对于A，观察题图可知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线 的最小正周期 ，体力曲线的最小正周期，因此体力曲线 的最小正周期是三条曲线中最小的， A正确； 对于B，462除以33的余数为0，462除以28的余数为14，此时情绪曲线 处于下降期，而智力曲 线 刚好处于上升期，B错误； 对于C，智力曲线的对称中心的横坐标,，情绪曲线 的对称中心的横坐标 ,，体力曲线的对称中心的横坐标,，取,14, 的公倍数 即得3条曲线公共对称中心的横坐标，有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确； 35 对于D，智力曲线的对称轴方程,，情绪曲线 的对称轴方程 ,，体力曲线的对称轴方程, ，令 ， 由，得，而,, ， 因此不存在自然数使得方程 成立,即智力曲线和情绪曲线没有公共的对 称轴，同理三条曲线不存在公共的对称轴， 因此不存在正整数，使得第 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正 确.故选 . 6.［福建师大附中2025高一期末］摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的 座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为 ， 均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在 座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要 .甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐 上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，内（含 ）出 现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则 的最小值是____. 17 37 解析 设乙家庭坐进座舱后转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况， ， 只需考虑旋转的第一周即可. 摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为 ， 摩天轮的两个相邻座舱中间的圆弧所对的圆心角为 ，此时甲家庭的座舱转过的弧度数为 . 因为 时，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，所以 ， 整理得，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值是17. 38 7.［河北石家庄2025高一月考］主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声， 然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲 线，其振幅为2，且经过点 . 39 （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线 的解析式； 【解】由振幅为2，，可得， ， 由噪声声波曲线经过点，得 ， 而 ， ， 则 ， 则 . 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以 . 40 （2）证明： 为定值. 【证明】由 ， 则 ， 即 为定值0. 41 8.［安徽名校联盟2024高一开学考试］近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前 利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹 角均为 ，现有一个风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒 旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点（此时离地面60米）.设点 转 动（秒）后离地面的距离为（米），则关于 的函数关系式为 . 42 （1）求 的解析式； 43 【解】以风车塔底为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系, 当时,风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点,设为,则 , 由题意得 , 且 解得 所以， . 44 （2）求叶片旋转一圈内点 离地面的高度不低于80米的时长. [答案] 令 , 则 , 即 , 所以 , 解得 . 当时,, , 所以叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于80米的时长为 秒. 45 9.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度（单位： ）在某天24小时内 的变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间 （单位：时）的函数关系式为 ______________, . 易错点 求错函数模型 46 解析 将其看成 的图象, 由图象知,, . 将看成函数图象的第一个特殊点,则,得 , 函数关系式为 易错点 求错函数模型 47 10.某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温（单位： ）， 如图所示.根据图中提供的数据，试用 近似地拟 合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系式为_ _____________________,,2, ,12. 易错点 求错函数模型 48 解析 若以1月份为最低气温,8月份为最高气温,则可得, , ,所以,所以.将点, 的坐标分别 代入, 可得 两式相减得 , 即 , 即,所以 ,,则 , . 又,所以 , 所以函数解析式为,,2, ,12. 易错点 求错函数模型 49 易错警示 第9题中的错误主要发生在求参数 时,若代入零点需明确零点的类型；第10题中错误易发生在对 图象的理解与应用,不能正确地提取信息.所以解决实际情境中的建模问题的首要一步是准确地提 炼信息,然后化归为对应的数学问题正确求解. 易错点 求错函数模型 50 $$