5.1.2 弧度制-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“弧度制”核心内容，涵盖概念理解、弧度与角度互化、终边相同的角及扇形面积计算等题型，通过二十四节气、折扇等实际情境题导入，衔接角度制知识，以基础题分层搭建学习支架。 其亮点在于用情境化题目（如立冬到立春的圆心角计算）培养数学眼光，题型分类与规律总结（如弧度互化公式、扇形公式应用策略）发展数学思维，易错点分析（单位一致性、圆心角范围）规范数学语言。含示意图辅助理解，学生能夯实基础提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

数学 必修第一册 RJA 1 5.1 5.1 任意角和弧度制 2 5.1 5.1.2 弧度制 刷基础 3 1.（多选）［江苏泰州二中2025高一月考］下列说法正确的是( ) AB A. B.1弧度的角比 的角大 C.用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D.扇形的周长为，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数为4 题型1 弧度制概念的理解 4 解析 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误； 对于D，设扇形的圆心角为 ，半径为 ， 因为扇形的周长为，面积为 ， 所以解得或即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误.故选 . 题型1 弧度制概念的理解 5 2.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道） 上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动 所到 达的一个位置.根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对 圆心角的弧度数为( ) D A. B. C. D. 题型1 弧度制概念的理解 6 解析 根据题意,从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的度数为 ,即弧度 数为 .故选D. 题型1 弧度制概念的理解 3.［河南信阳2025高一月考］若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) D A. B. C.3 D. 题型1 弧度制概念的理解 8 解析 如图，等边三角形是半径为的圆 的内接三角形， 则线段所对的圆心角 ， 作,垂足为 ， 在中，, , 所以, . 故圆弧长度 ， 所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为 ，故选D. 题型1 弧度制概念的理解 9 4.［河北衡水部分高中2025高一联考］体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则 化成弧度是( ) B A. B. C. D. 题型2 弧度与角度的互化 10 解析 .故选B. 题型1 弧度制概念的理解 名师点拨 题型1 弧度制概念的理解 5.（多选）［陕西西安铁一中学2025高一月考］将下列角度与弧度进行互化，正确的是( ) BCD A. B. C. D. 题型2 弧度与角度的互化 13 解析 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确.故选 . 题型1 弧度制概念的理解 规律方法 （1）角度与弧度的互化：角度数弧度数；弧度数 角度数. （2）角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. （3）角度化弧度时,其结果写成含有 的形式,没特殊要求不必化成小数. 题型2 弧度与角度的互化 15 6.［湖北武汉部分高中2024高一月考］已知 ，，， ， ，则 ， ， ， ， 的大小关系为___________________. 解析 （化为弧度）,.显然 ,故 . 题型2 弧度与角度的互化 16 多种解法 （化为角度） , , .显然 ,故 . 题型1 弧度制概念的理解 7.（多选）［山东省实验中学2024高一月考］下列各组角终边相同的一组是( ) ABD A. ， B. ， C. ， D. ， 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 18 解析 对于A,因为 ,所以 与 角的终边相同,故A正确； 对于B, , , 所以 与 角的终边相同,故B正确； 对于C, ,即 角的终边与 角的终边相同, ,,所以 角与 角的终边不相同, 即 与 角的终边不相同,故C错误； 对于D, ,所以 与 角的终边相同,故D正确.故选 . 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 19 规律方法 弧度制下与角 的终边相同的角可以表示为 ,},即与角 终边相同的角可以 表示成 加上 的整数倍.应注意： （1）角度与弧度不能混用； （2）各终边相同的角需加 , ; （3）求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对 进行适当的赋值. 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 20 8.（多选）如果角 与角的终边相同，角 与角的终边相同，那么 的可能值为 ( ) AC A. B. C. D. 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 21 解析 角 与角的终边相同,则, , 角 与角的终边相同,则, , ,, , 即角 与角的终边相同,选项A,C符合题意.故选 . 题型1 弧度制概念的理解 9.［安徽六安2024高一期末］下列说法正确的是( ) C A.终边在轴上的角的集合是 B.若角 的终边在第二象限，则角 是钝角 C.若角 是钝角，则角 的终边在第二象限 D.终边在直线上的角的集合是 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 23 解析 对于A,终边在轴上的角的集合是 , },故A错误； 对于B,终边在第二象限的角未必都是钝角,例如 ,故B错误； 对于C,因为钝角是大于且小于 的角,所以钝角必在第二象限,故C正确； 对于D,终边在直线 上的角的集合 是 , ,故D错误.故选C. 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 24 规律方法 已知一条直线过原点且直线向上方向与轴正半轴的夹角为 . （1）若角 的终边在该直线向上方向的射线上,则 的集合形式为 , }. （2）若角 的终边在该直线上,则 的集合形式为 , }. 题型1 弧度制概念的理解 10.［福建三明一中2025高一月考］终边在直线上的角 构成的集合可以表示为__________ _____________.（用弧度制表示） 解析 角 的终边在直线上， 角 的终边在第一、三象限的角平分线上. 终边在第一象限的角平分线上的一个角为 ， 终边在直线上的角 构成的集合可以表示为 . 题型3 弧度制下终边相同的角的公式的应用 26 11.［吉林松原2025高一月考］已知半径为3的圆弧所对的圆心角为 ，则该圆弧所在的扇形面积 为( ) D A. B. C. D. 题型4 弧度制下的扇形面积公式 27 解析 由题意，扇形面积为 .故选D. 题型1 弧度制概念的理解 规律方法 弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量,然后 灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解. 题型1 弧度制概念的理解 12.（多选）［江苏南京一中2024高一段考］小夏同学在学习了任意角和弧度制的知识后，对家 里的扇形瓷器盘产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图所示.在扇形 中， ， ，则( ) BC A. B.的长为 C.扇形的周长为 D.扇形的面积为 题型4 弧度制下的扇形面积公式 30 解析 因为 ,所以A错误； 的长 ,所以B正确； 扇形的周长为 ,所以C正确； 扇形的面积为为弧的长度,所以D错误.故选 . 题型4 弧度制下的扇形面积公式 31 规律方法 若扇形所对的圆心角为 ,半径为,扇形的弧长为,面积为,则；； ； . 题型1 弧度制概念的理解 13.［江西赣州2024高一月考］已知扇形的圆心角是 ，半径是，弧长为 . （1）若 , ，求扇形的面积； 【解】因为 , 所以扇形的面积 . （2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. [答案] 由题意可知,即 , 所以扇形的面积 , 易知当 时,扇形的面积最大,最大值为25, 此时, . 题型4 弧度制下的扇形面积公式 33 二级结论 若扇形的半径为,弧长为,则扇形的周长,扇形的面积,当周长 为定值时,可得面 积；当面积为定值时,可得周长 . 题型4 弧度制下的扇形面积公式 34 14.（多选）［福建漳州2025高一月考］下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) CD A. B. C. D. 易错点1 忽略角的度量单位的一致性 35 解析 对于A,B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误. 对于C，，则角与的终边相同，且化角度制为 ，则角 与 的 终边相同，故是与 的终边相同的角的表达式，故C正确； 对于D，由,得与的终边相同，则与终边相同的角可以写成 的形 式，故D正确.故选 . 易错点1 忽略角的度量单位的一致性 易错警示 角的表示必须保持单位一致,做题时易忽略此点导致角度与弧度共用,从而出错. 易错点1 忽略角的度量单位的一致性 37 15.扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化 是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中.图①为一古代扇形窗 子，此窗子所在扇形的半径（图②）AO=80 cm，圆心角为 ，且为 的中点，则该扇形窗 子的面积为( ) C 图①图② A. B. C. D. 易错点2 忽略扇形相关公式应用中角的度量制 38 解析 由题意得 化为弧度为,又,为 的中点,则该扇形窗子的面积为 ,故选C. 易错点2 忽略扇形相关公式应用中角的度量制 39 易错警示 注意角度需转化为弧度,否则此题答案易错选A. 易错点2 忽略扇形相关公式应用中角的度量制 16.［山东菏泽一中2025高一期末］圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为___. 解析 设扇形的半径为 ， 因为，圆心角为 的扇形的弧长为，所以，解得 ， 故扇形的面积 . 易错点2 忽略扇形相关公式应用中角的度量制 41 17.已知集合，， ，则有( ) C A. B. C. D. 易错点3 忽略对角的终边的讨论 42 解析 因为集合表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合,集合 表示 终边在坐标轴（四个位置）上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合,故 . 易错点3 忽略对角的终边的讨论 易错警示 弧度制下终边相同的角的公式中 的系数为, . 易错点3 忽略对角的终边的讨论 18.已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角 的弧度数为__. 解析 设扇形的半径为,圆心角 所对的弧长为.由题意得解得 或 或.又 , . 易错点4 忽略扇形圆心角的范围 45 易错警示 因为扇形是圆的一部分,所以应舍去 ,本题易忽略圆心角的范围限制.此外,不能正确理解弧度 数,认为8和 表示的是角度制下的角,会造成错解. 易错点4 忽略扇形圆心角的范围 $$