第四章 指数函数与对数函数 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

数学 必修第一册 RJA 1 4 第四章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.［吉林长春八中2025高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 3 解析 由题意得解得且，则函数的定义域为 .故选D. 2.［山东淄博部分学校2025高一期中联考］若,，则 ( ) C A. B. C. D. 5 解析 因为，所以，所以 .故选C. 3.函数 的零点个数为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 7 解析 本题转化为求函数和函数 图象的交点个数,作出两个 函数的图象,如图所示. 根据图象可得,两个函数图象交点的个数为4,所以函数 的零点个数为4.故选C. 4.［江苏苏州十中2025高一段考］函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 9 解析 因为，所以的定义域为 ，关于原点对称， 又因为 ， 所以函数 是奇函数， 所以 的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为,，所以 ，故C错误； 因为， ， 又，所以，则 ， 所以，即，所以在 上并不单调递增， 故D错误； 由于排除了选项，而且选项A中的图象满足上述 的性质，故A正确.故选A. 10 名师点拨 判断函数图象的口诀：一定二奇偶三单调四特值. 11 5.［广东广州2025高一期末联考］酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据 国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认 定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 .如果 在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小 时数为参考数据：， ( ) C A.1 B.3 C.5 D.7 12 解析 设经过小时才能驾驶,则,即 . 又函数在定义域上单调递减,, 他至少要经 过5小时才能驾驶.故选C. 6.若 ，则( ) B A. B. C. D. 14 思路导引 观察题中不等式,不等号两侧的底数对应相同,但是指数参数不相同,可以尝试移项得 ,则可构造函数,利用函数的单调性判断, 之间 的关系. 解析 ,.设 ,则原不等 式等价于.函数在上单调递增,则, ,故选B. 7.［浙江杭州2025模拟］对，不等式 恒成立，则( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 17 解析 由得 ， 对于选项A,B，若，可令，不等式可化为 ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， ， ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， 18 ， 综上可得，不存在使得不等式 恒成立，选项A,B错误. 对于选项C,D，若 ， ， ， ， 要使不等式恒成立，则需 ， 函数,在 为增函数， 函数, 有相同的零点， 由得，由得，，即 ， ， ，选项C错误，D正确. 故选D. 8.［福建福州一中2025高一段考］设函数和，若两函数在区间 上的单调 性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数 的 “稳定区间”，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 20 解析 函数在上单调递减，函数在 上单调递增, 若区间为函数 的“稳定区间”， 则函数与函数在区间 上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间 上恒成立， 可得解得 ； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间 上恒成立， 21 即 不等式组无解； 综上所述, . 故选C. 9.已知正数，，满足 ，则( ) ABD A. B. C. D. 23 解析 设,,则,, , 所以 ,A正确. 因为,所以 . 因为,所以,所以 ,B正确. 因为,所以 ,D正确. 因为,所以,所以,C错误.故选 . 10.［辽宁沈阳第一二零中学2025高一质量检测］已知函数 若 ，且 ，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 25 解析 由函数解析式可作出 的大致图象如图所示： 由图知 ，A错误； 由知，即 ， ，B正确； ，而当时，有，即或2，， 在 上单调递减， 26 可得 ， 即 ，C正确； ，，D正确.故选 . 11.［河北邯郸部分学校2024高一联考］已知函数， 为自然 对数的底数 ，则( ) ABC A.函数 至多有2个零点 B.当时，，总有 成立 C.函数 至少有1个零点 D.当时，方程 有3个不同实数根 28 解析 对于A选项,令,可得,令,得,可得 , 故当时,函数有2个零点,所以函数 至多有2个零点,A正确. 对于B选项,当时,函数在 上单调递增, 函数在上单调递增,且 , 所以当时,函数在 上为增函数, 故当时,,不妨设,则,则 ,B正确. 对于C选项,当时,函数在上无零点,在上有唯一零点 ； 当时,函数 有两个零点； 当时,函数在上有唯一零点,在 上无零点. 综上所述,函数 至少有一个零点,C正确. 29 对于D选项,当时, 令,则方程为 . 当时,由可得,解得 ； 当时,由可得,解得 . 当时,由可得,即,解得 , 由可得,即,解得 ； 当时,由可得,即 ,该方程无解, 由可得,解得 . 综上所述,方程的解集为,,, , 所以当时,方程有4个不同实数根,D不正确.故选 . 12.［四川南充高级中学2024高一月考］已知函数，任意给定一个非零常数 ， 均有，试写出一个满足条件的解析式 _ ________________. （答案不唯一） 解析 设,则,所以 为奇函数, 即 . 所以由,得 , 所以,所以应为奇函数,故 ,且答案不唯一. 31 13.［河南二十名校2025高一联考］已知函数，且 的图象恒过点 ，则函数 的单调递减区间为__________. 32 解析 当时， ， 所以的图象过定点 ， 即, ， 所以 ， 令，解得或 ， 函数在上单调递减，在 上单调递增， 又 在 上单调递增， 所以在 上单调递减， 即的单调递减区间为 . 33 14.如图，矩形的三个顶点，，分别在函数， ， 的图象上， 且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点 的坐标为_ _____. 34 解析 由题中图象可知,点在函数的图象上,所以,即 . 因为点在函数 的图象上, 所以 . 因为点在函数的图象上,所以 . 又因为,,所以点的坐标为 . 35 15.（本小题满分13分）［湖南株洲二中2025高一期中］ （1）计算： ； 【解】 . 36 （2）已知，，求 的值. [答案] 因为， ， 所以 . 37 16.（本小题满分15分）已知指数函数且的图象经过点 . （1）求及 的值； 【解】 指数函数且的图象经过点 , ,, . . 38 （2）若，求 的取值范围. [答案] 函数在上单调递减, 不等式等价于,解得,即 的取值范围 为 . 39 17.（本小题满分15分）［江苏南京六校2025高一联考］某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名 著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分（单位：分）与当日阅读时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下： （ⅰ）函数的部分图象接近图示； （ⅱ）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （ⅲ）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （ⅳ）每日阅读最多得分不超过6分. 40 现有以下三个函数模型供选择: ； ； . 【解】 41 （1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由. [答案] 根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数函数模型，故选 . 42 （2）根据你对（1）的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式. [答案] 由题意及（1）可知，在 的图象上， 所以解得， ， 所以 ， 令，可得，解得 ， 所以函数模型的解析式为 43 （3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 注： . [答案] 令，可得 ， 即，解得 ， 所以每日的得分不少于5分，至少需要阅读66分钟. 44 18.（本小题满分17分）［辽宁大连育明高级中学2025高一期末］已知函数 ，且的图象过点 . （1）求函数 的解析式； 【解】由函数的图象过点，可得 ， 解得 ， 故函数的解析式为 . 45 （2）若函数为的反函数，且在上单调递减，求 的取值范围； [答案] 因为函数为的反函数，所以 ， 易知在 上单调递减， 又在上单调递减，所以函数在 上单调递增，且 在 上恒成立， 因此解得 , 所以的取值范围为 . 46 （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数 ，对 于任意，都存在，使得等式成立，求实数 的取值范围. 47 [答案] 因为，所以 . 由为奇函数，为偶函数可知 ， 可得, . 又，对于任意都有 ， 因为对于任意，都存在，使得等式 成立, 所以在 上恒成立， 因为在上单调递减，在 上单调递增， 即在 上单调递减， 所以, . 48 令, ， 则 . 则在上恒成立等价于在, 上恒成立， 可得，因此 . 又 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 即 ， 因此实数的取值范围为 . 19.（本小题满分17分）［福建龙岩2024高一月考］已知函数且 是定义域为的奇函数，且 . （1）求的值，并判断和证明 的单调性. 50 【解】 函数且是定义域为的奇函数, , ,即,解得 , 代入函数,则有 , , ,,即,解得或 , ,, . 在 上单调递增,证明如下： 任取实数,,且,则 , ,,又 , ,在 上单调递增. 51 （2）是否存在实数且，使函数在 上的最大值为0，如果存在，求出实数 所有的值；如果不存在，请说明理由. 52 [答案] , 设,则 , ,,记 , 当,即时,要使的最大值为0,则要 , ,, , 在 上单调递增, , 由,得 , 53 , 满足题意. 当,即时,要使的最大值为0,则要,且 , 由得 , ①若,则,解得 , 由 , 得,由于, 不合题意； ②若,即 , 则, ,不合题意. 综上所述,只存在 满足题意. $$