第四章 指数函数与对数函数 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了指数函数、对数函数的核心知识，涵盖对数值计算、性质比较、图像应用、零点判定、参数范围及函数模型应用等考点，通过考点分类构建知识网络，展现从基础计算到综合应用的逻辑脉络。 其亮点在于结合高考真题设计分层练习，如通过“声压级对数模型”“视力记录转换”等实例培养数学建模与数据观念，利用函数图像分析零点个数发展几何直观与逻辑推理能力。这种真题导向的复习设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

数学 必修第一册 RJA 1 4 第四章高考强化 刷真题 2 1.［北京2024·9，4分］已知,是函数 的图象上两个不同的点，则( ) B A. B. C. D. 考点1 指数、对数值的计算 3 解析 ,, 等号取不到， 即 .故选B. 考点1 指数、对数值的计算 2.［浙江2022·7，4分］已知,,则 ( ) C A.25 B.5 C. D. 考点1 指数、对数值的计算 5 解析 因为,所以, ,所以 ,故选C. 考点1 指数、对数值的计算 3.［全国甲理2024·15，5分］已知且,则 ____. 64 解析 因为,所以.又 ,故 ，解得 . 考点1 指数、对数值的计算 7 4.［全国乙文2022·16，5分］若是奇函数，则____， _____. 思路导引 函数解析式变形确定函数定义域的不等式组的值由奇函数在 处有 意义时函数值为0求出 的值. 考点1 指数、对数值的计算 8 解析 ,定义域为不等式组 的解集. 因为函数 为奇函数,所以其定义域关于原点对称, 由,易知,所以函数的定义域中一定不含有 , 所以是方程的根,即,解得 . 所以 , 所以函数的定义域为 . 由函数为奇函数知,所以,解得 . 考点1 指数、对数值的计算 9 5.［天津2023·3，5分］设,,，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 10 解析 依题意,函数在上单调递增,因为,所以,即 . 又,所以 .故选D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 6.［全国新高考Ⅱ2021·7,5分］设，， ，则( ) C A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 12 解析 因为,,所以 .故选C. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 7.（多选）［全国新高考Ⅰ2020·11，5分］已知，，且 ，则( ) ABD A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 14 解析 由,,,得,即,当且仅当 时取等号,故 A正确； 由,,,得,故 ,故B正确； ,当且仅当 时,等号成立,故C错误； ,得,当且仅当 时,等号成立,故D正确. 故选 . 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 15 8.［全国甲文2022·12，5分］已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 16 思路导引 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 解析 因为,所以 . 又因为 , 所以, . ,所以 . 因为 , 所以, . ,所以 . 综上 ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 18 9.［全国甲文2023·11，5分］已知函数.记,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 19 解析 由题意得,则函数的图象关于直线对称,且在 上单 调递增,在 上单调递减. 因为,所以,.因为 ,所以 ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 10.［课标全国Ⅱ文2020·12,5分］若 ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 21 解析 由,可得 . 设,则 . 易知在上为增函数,所以,则,所以 ,故A正确,B错误. 而当,时, ,故C,D错误.故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 11.［课标全国Ⅲ理2019·7,5分］函数在 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 23 解析 令,则的定义域为,且, 为奇函数, 排除C； ,排除A,D.故选B. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 12.［天津2021·3,5分］函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 25 解析 设,则函数的定义域为 ,关于原点对称,又 ,所以函数 为偶函数,排除A,C； 当时,, ,所以 ,排除D.故选B. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 13.［北京2020·6,4分］已知函数，则不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 27 解析 因为,所以等价于 ,在同一直角 坐标系中作出和 的图象如图. 两函数图象的交点坐标分别为,,则不等式的解为 或,所以不等式的解集为 .故选D. 考点3 指数函数、对数函数的图象及其应用 14.［全国新课标Ⅰ2024·6，5分］已知函数在上单调递增,则 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 29 解析 当时，函数，若函数在 上单 调递增，则有，即；当时，函数，函数在 上单调递增.因为函数在上单调递增，所以，解得 .综上可得 .故选B. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 快解 当时，显然函数在 上不单调，可排除 C选项和D选项；当时，当从0的左侧趋近于0时， ， 而，所以函数在 上不单调，可排除A.故选B. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 31 归纳总结 单调分段函数的解题策略 （1）首先在各段上具有相同的单调性；（2）在分段端点处函数值要保证“有效”衔接. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 15.［全国新课标Ⅰ2023·4，5分］设函数在区间单调递减，则 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 33 解析 因为在上是增函数,所以函数在 上单调递减,所以 ,解得,即的取值范围是 ,故选D. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 16.［北京，4分］下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 35 解析 对于A,因为在 上单调递增, 所以在 上单调递减,故A错误； 对于B,在 上单调递减,故B错误； 对于C,因为在 上单调递减, 所以在 上单调递增,故C正确； 对于D,因为,, , 所以在 上不单调,D错误.故选C. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 17.［全国新课标Ⅱ2024·8，5分］设函数.若,则 的最小 值为( ) C A. B. C. D.1 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 37 解析 可看作与在定义域 内同正同负，因此两函数图象与 轴的交点重合，如图所示. 令，，得，即 ， ，所以的最小值为 ，故选C. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 18.［课标全国Ⅱ理2020·9,5分］设函数，则 ( ) D A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 39 解析 的定义域为 ,且 ,所以 为奇函数. 当 时, 当时,,易知在上单调递增；当 时, ,易知在 上单调递减. 因为为奇函数,且在,上连续,所以在,上单调递增,在 ,和, 上单 调递减,故选D. 考点4 指数函数、对数函数的性质及其应用 40 19.［天津文2015·8，5分］已知函数函数 ,则函数 的零点个数为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 考点5 函数零点个数的判定 41 解析 从而 在同一坐标系下画出, 的图象,如图所示. 观察可得两函数图象有2个交点,从而函数 的零点个数为2. 考点5 函数零点个数的判定 42 20.［北京2021·15,5分］已知函数 ，给出下列四个结论: ①当时， 恰有2个零点; ②存在负数，使得 恰有1个零点; ③存在负数，使得 恰有3个零点; ④存在正数，使得 恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. ①②④ 考点5 函数零点个数的判定 43 思路导引 考点5 函数零点个数的判定 44 解析 令,得 . 对①：当时,,即或,则或,所以方程 有两个不等实数根,即 有2个零点,故①正确. 对②和③：的零点个数即为函数与函数 图象的交点 个数,画出函数的图象,如图,的图象过定点.当 时,由图象可以看出,当与函数 的图象相切时,两函数图象 有一个交点,即,使得 有1个零点,而两函数图象最多有两个交点,所 以当时, 不可能有3个零点,故②正确,③错误； 当时,由图象可以看出,与函数 的图象可能有一个、两个或三个交点,所以 ,使得 有3个零点,故④正确. 正确的序号为①②④. 考点5 函数零点个数的判定 45 名师点拨 的零点个数即为方程的根的个数,也为函数与函数 图象的 交点个数. 考点5 函数零点个数的判定 46 21.［课标全国Ⅰ理2018·9，5分］已知函数.若 存在 2个零点，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 47 解析 函数存在2个零点, 函数的图象与 的图象有2个交点. 如图,平移直线,可以看出当且仅当,即时,直线与 的图象 有2个交点.故选C. 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 22.［天津2020·9,5分］已知函数若函数 恰有 4个零点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 49 解析 当时,令,得,, （舍）,所以 有2个零点,不符合题意.当 时, 即 当时,, 无零点. 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 50 当时,设,因为, ,由函数零点存在定理可 知, 在上有1个零点,又,所以在, 上有2个零点. 若使有4个零点,则在, 上有2个不等实根. 设,因为,所以只需满足 解得 . 当 时, 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 即 当时,令,得,在 上有1个零点； 当时,令,得,,所以在 上有1个零点； 当时,令 . 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 因为函数图象的对称轴,, , 所以在上有1个零点,又 , 所以在 上有2个零点. 所以当时, 有4个零点. 综上,若恰有4个零点,则或 ,故选D. 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 23.［天津2023·15，5分］设,函数.若 恰有两个零点， 则 的取值范围为________________________. 思路导引 令判断的正负分类讨论去绝对值,化简 的解析式 的取值范围 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 54 解析 令,则 , 当时,,恒成立,此时 . 当时,令,则,当 时, , 有且仅有两个零点； 当时,, 有且仅有一个零点,不符合题意, 所以或或 . 当或时,,方程有两个不等实根,设为,, , 所以 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 55 设,令,解得或 ；设 ,令,解得或 . 当时,,,所以 有且仅有两个零点,符合题意. 当时,因为,且 , 所以 有且仅有两个零点,符合题意. 综上所述,的取值范围为 . 考点6 根据函数的零点确定参数的范围 24.（多选）［全国新课标Ⅰ2023·10，5分］噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音 的强弱，定义声压级,其中常数是听觉下限阈值， 是实际声压.下表为不 同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,, ,则( ) ACD A. B. C. D. 考点7 函数模型的应用 57 解析 由,对于燃油汽车,即 , ,即 ；同理,对 于混合动力汽车；对于电动汽车,则 , ,,选项C正确.,选项A正确. , 则,选项B错误.,则,选项D正确.故选 . 考点7 函数模型的应用 58 25.［北京2022·7，4分］在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用 高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中 表示 温度，单位是；表示压强，单位是 .下列结论中正确的是( ) D A.当， 时，二氧化碳处于液态 B.当, 时，二氧化碳处于气态 C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态 D.当, 时，二氧化碳处于超临界状态 考点7 函数模型的应用 59 解析 对于A选项,当,时, ,根据题图可知,二氧化碳处 于固态； 对于B选项,当,时, ,根据题图可知,二氧化碳处于液态； 对于C选项,当,时,,且 接近于4,根据题图可知,二氧 化碳处于固态； 对于D选项,当,时, ,根据题图可知,二氧化碳处于超临界状态. 故选D. 考点7 函数模型的应用 60 26.［全国甲文2021·6,5分］青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通 常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据 满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为 ,则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 考点7 函数模型的应用 61 解析 由,当时,,则 .故选C. 考点7 函数模型的应用 4 第四章高考强化 刷原创 63 1.已知指数函数为增函数，且图象过点,,，则 满足( ) C A.当时，有最大值 B.当 时，有最大值5 C.当时，有最小值32 D.当 时，有最小值2 64 解析 因为为增函数,所以,又,,则, , ， , 又,取倒数后整理可得 . ,则,当时,, ,故 ,由对勾函数的性质知在 上单调 递增,故 . 又由于单调递增,单调递减,且, ,则 ，B，D错误.当时，, ,故 ,当且仅当 时等号成立，A错误，C正 确.故选C. 65 2.实数,,, 从小到大排列为_____________________. 解析 因为,,则由在上单调递增,在 上单调递增, 知,故,又由函数 为增函数,得 ,则 . 66 3.已知函数 （1）若，，使得，求解关于的方程 ； 67 【解】由题意知,因为 为减函数,所以 .若,则时,, ,与 矛盾,不符合题意,故 . 当时，y=在上单调递增，故在 处取得最大值，即 ,则.要使，即，因为，当 时，的最大值为0，且在处取得，故,即 . 所以关于的方程的解集为{ }. 68 （2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数 的取值范围. [答案] 因为曲线关于直线对称的曲线为,所以函数 的图象上若存在关 于直线对称的点,则曲线与的图象在 上有公共点, 故,使,即在 上有解. 因为函数在上单调递增,所以函数在 上单调递增,当 时, ,当时, . 所以,即的取值范围为 . 69 $$