第4.5节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数零点、方程解及函数模型应用，通过吉林东北师大附中、福建厦门一中名校真题导入，衔接函数性质与零点存在定理、二次函数分布等知识，以例题解析和归纳总结搭建学习支架。 其亮点是精选各地名校试题，融入感染人数增长、牛顿冷却等现实情境，培养数学眼光与建模能力，解析注重逻辑推理（如二次函数零点不等式组推导）和方法归纳（指数与幂函数模型选择），助力学生提升解题思维，教师可直接用于同步教学与能力训练。

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 第4.5节综合训练 刷能力 2 建议用时：60分钟 1.［吉林长春东北师大附中2024高一月考］已知函数，下列区间中包含 零点 的是( ) C A. B. C. D. 3 解析 函数为减函数,由, , 可得,所以由零点存在定理可知函数的零点在区间 内.故选C. 2.［福建厦门一中2025高一月考］若，是关于的方程 的解，且满足 ，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 5 解析 因为，是关于的方程的解，且满足 ，所以 在 上有两个零点， 所以解得则 ， 所以的取值范围是 .故选D. 3.［湖北华师大一附中2025高一期末］已知函数， ， 的零点分别为，，，则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 7 解析 函数的零点为函数与 的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与 的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与 的图象交点的横坐标. 在同一直角坐标系内作出函数，，与 的图象 如图所示， 由图可知，，， . .故选B. 4.［北京陈经纶中学2024高一期中］某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间 进行 一次记录，用表示经过的单位时间数，用 表示病毒感染人数，得到的观测数据如表： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：；.若经过 个 单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为参考数据： ， ，， ( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 9 解析 若选,将和代入得 解得所以,代入有 ,不合题意. 若选,将和代入得 解得所以.代入有 ,符合题意. 依题意可令 , 即,则 , 又, , 所以,又 , 所以 的最小值为11.故选C. 10 归纳总结 （1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长较慢； 当值较大 时,增长较快. 11 5.［江苏连云港2025高一期末］已知函数若存在实数 ，使得方程 有4个不同的实数根，，，，且，则 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 12 解析 作出函数与 的图象如图所示： 由图可得 ， 当时， ， 由题意可知，关于的方程的两根分别为， ， 即关于的方程的两根分别为， ，由根与系数的关系可得 . 由图可得 ， 13 由得，则 ， 可得，，所以 ， 所以 . 因为函数在 上为增函数， 所以当时，，因此，的取值范围为 .故选C. 6.［重庆一中2024高一期中］已知函数是偶函数，， 在 上的解析式为,若，则与 的图象交点个数为( ) B A.104 B.100 C.52 D.50 15 解析 因为函数是偶函数,所以 , 所以的图象关于直线 对称, 令,则,得 , 所以 , 所以,所以 , 所以 是以4为周期的周期函数, 因为在上的解析式为,的图象关于直线 对称, 所以 的图象如图所示, 的图象关于直线对称,的值域为 . 16 当时,,令,得 ； 当时,,令,得 , 因为 ,由图象可知两函数图象在每个周期内有2个交点, 所以与的图象交点个数为 ,故选B. 7.函数的零点为，函数的零点为 ，则下列结论正确的是 ( ) C A. B. C. D. 18 解析 由已知,即 , ,即 , 令,则 . 又因为与的图象关于直线对称,的图象关于直线 对称, 所以与的图象分别与图象的交点关于直线 对称, 所以直线,即 . 因为, , 所以由零点存在定理可知 , 19 又,即,所以 . 对于A： ,A错误； 对于B： ,B错误； 对于C：因为,所以 , 所以 , 当且仅当,即时等号成立,又 , 所以 ,C正确； 对于D： , 当且仅当 时等号成立,不可能, 所以 ,D错误.故选C. 8.（多选）某同学在研究函数 时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论 是( ) ABC A.等式在时恒成立 B.函数的值域为 C.若，则一定有 D.方程在 上有三个根 22 解析 对于A,, ,A正确. 对于B,当时,,又, 当时, . 由A知为奇函数, 当时,,的值域为 ,B正确. 对于C,由B知,当时,,则在 上单调递增； 又为奇函数,则在上单调递增,在上单调递增, 若 ,则一定有 ,C正确. 对于D,当时,令,解得；当时,令 ,方程无解. 在上有且仅有一个解,D错误.故选 . 23 9.已知函数的两个零点都在内，则实数 的取值范围为________. 解析 因为函数的两个零点都在内,所以 即 解得,所以实数的取值范围为 . 24 10.［河北定州二中2025高一期末］已知奇函数在 上单调，若对任意 都有，则 解的个数为___. 2 25 解析 当时，设，则 ， 由①令得，在 上单调递增， 且，所以，所以 ， 令，则，所以 ， 因为函数为奇函数，所以 ， 所以，即 ， 所以 当时，对于方程，即 ， 则，令 ， 26 根据函数解析式易知在 上单调递增， ，，所以在 上有唯一零点， 所以方程在 上有一个解； 当时，代入 ， 有不成立，则不是方程 的解； 当时，对于方程，即 ， 则 ， 令 ， 根据函数解析式易知在 上单调递增， ， ， 所以在 上有唯一零点， 所以方程在 上有一个解. 综上所述，方程在 上有两个解. 11.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：为时间，单位：， 为环 境温度，为物体初始温度， 为冷却后温度，单位：，为常数 .假设一杯开水的初始温度 ，环境温度，常数．参考数据：， （1）大约经过几分钟水温降为 ？ 【解】由题意可得 ,故 大约经过水温降为 . 29 （2）经过 水温大约降为多少？ [答案] 由题意可得 , , 即 , ,,故经过 水温大约降为 . 30 12.已知函数， . （1）若，恒成立，求实数 的取值范围； 【解】当时,,则 不恒成立； 当时, ,恒成立,则解得 . 综上可得,若,恒成立,则实数的取值范围是 . 31 （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数 的取值范围. [答案] 若,由,得 ,符合题意; 若,当,即时,,零点为 ,符合题意； 当,即且 时, ,解得,或 . 又令,得,此时方程的另一根为 , 符合题意； 令,得,此时方程的另一根为 ,符 合题意. 综上,若函数在区间内恰有一个零点,则实数的取值范围是 . 32 13.［湖南长沙雅礼中学2024高一期中］已知为偶函数， 为奇函数，且满足 . （1）求， 的解析式； 【解】因为为偶函数,为奇函数,所以, , 由 , 得,即 , 可得 , 可得 . 33 （2）若，且方程有三个解，求实数 的取值范围. 34 图① [答案] 由（1）得 . 方程,即 , 可得或 , 即或 . 作出函数的图象,由图①可得与 的图象有两个交点, 所以要使方程 有三个解, 则 只有一个解, 即与 的图象只有一个交点, 35 图② 由图②可得或 , 解得或 . 综上,实数的取值范围为, . 36 14.［重庆南开中学2025高一期末］对于函数，若存在两个不同零点,满足 ， 则称函数 为“零点相近函数”. （1）判断函数 是否为“零点相近函数”. 【解】不是“零点相近函数”，理由如下：由题知在 上单调递增，且有唯一零点 ， 所以只需判断在上是否有零点，由于在 上单调递增， , , 所以在上没有零点，故 不是“零点相近函数”. 37 （2）设 . （ⅰ）已知，求证：函数 为“零点相近函数”； 38 【证明】函数的零点即方程的根，令 ， 得 ， 令 , 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在 上单调递增，则 ,当时， ,当 时， . 因为，所以方程必有两个不同根,设，即 有 两个不同根,，即有两个零点，设为, , 则,,则 ， 因为,，所以 , 则由得,则 ，故函数 为“零点相近函数”. 39 （ⅱ）若函数为“零点相近函数”，求 的取值范围. 40 【解】令 ， 设，则原式化为，即 . 易知为偶函数，且在上单调递增，， . 则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能： 情形式在上有根，则在 上有根， 从而另一个零点在 上，满足“零点相近函数”定义， 此时,得 ； 情形式在上无根，在上有根，若只有一个 ，此时对应 的的根大于 ，从而两根之差超过1，所以要成为“零点相近函数”，只有两 个不同值在轴同侧与 产生的交点横坐标之差不超过1. 41 所以式必须在上有两个不同根，设为,，令 ， 有解得 . 令,，有 ， 由（ⅰ）可知，欲使，只需 ， 即 . 设，若，则，则 . 而，所以 ， 从而由知 ，矛盾. 所以不成立.即恒成立，则 . 综上，的取值范围为 . $$