4.5.3 函数模型的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖指数函数模型、对数函数模型及模型选择等核心内容，通过生活实例导入，衔接函数概念与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点是选取废气过滤、5G技术等真实情境例题，用数学眼光观察现实世界，解析注重逻辑推理培养数学思维，归纳模型适用场景助学生用数学语言表达问题。学生能提升应用能力，教师可借助题型与易错点分析优化教学。

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 4.5 函数的应用（二） 2 4.5 4.5.3 函数模型的应用 刷基础 3 1.［四川内江2025高一期末］某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间（单位：）间的关系为（其中， 是正常数），如果在 前消除了的污染物，那么污染物减少 需要花费的时间约为( ) （参考数据：, ） D A. B. C. D. 题型1 指数函数模型 4 解析 根据题意可知,当时,为最开始的污染物含量.当 时,废气的污染物含量为 ，所以.所以当污染物减少时,可设.所以 , 所以,则.所以,所以 .故选D. 题型1 指数函数模型 2.［重庆一中2024高一期中］宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁 给了“阿秒光脉冲”，光速约为，1阿秒等于.现有一条 的线段，第一次 截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则 需要截（参考数据：, ）( ) B A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 题型1 指数函数模型 6 解析 根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为 . 设截次后,剩余的长度为（单位:）,则 . 令,可得,结合函数 的单调性,两边同时取对数可得 , 所以 .所以应当截31次.故选B. 题型1 指数函数模型 7 3.［湖北恩施部分学校2025高一期末联考］生物体死亡后，它的机体内原有的碳14含量 会按确 定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为为常数 ，大约每经 过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的残 余量约为原始量的 ，则可推断该文物属于( ) 参考数据： ； 参考时间轴： C A.战国 B.汉 C.唐 D.宋 题型1 指数函数模型 8 解析 当时,,故,解得,所以 . 由题意得,,解得 , 而 ,则可推断该文物属于唐.故选C. 题型1 指数函数模型 9 4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间 （单位：）后的温度是，则，其中称为环境温度， 为常数.现有一 杯用的热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降到需要 ，那么这杯 咖啡要从降到，还需要____ . 16 解析 由题意知.令,,得,解得 . 令,,则,解得 . 题型1 指数函数模型 10 5.［辽宁沈阳2025高一期中］某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8 万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为 万元，则 多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.如 果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是( ) D A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元 题型2 对数函数模型 11 解析 由题意知，当时， ； 当时， , 所以 当时，，故小江的销售利润 ， 所以，解得 ， 所以小江的销售利润是20万元.故选D. 题型2 对数函数模型 12 6.［河南安阳一中2024高一段考］中国的技术领先世界， 技术的数学原理之一便是著名的香 农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比 较大时，公式的真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，由于技术提升，信道带宽 在原来的基 础上增加，信噪比从1 000提升至，则 大约增加了( ) （参考数据： ） C A. B. C. D. 题型2 对数函数模型 13 解析 由题意可知, 大约增加了 . 故选C. 题型2 对数函数模型 14 7.（多选）［江苏南通2024高一质量检测］研究表明，地震时释放的能量（单位： ）与地震里 氏震级之间的关系为 ，则( ) BD A.震级为2级的地震释放的能量为 B.释放能量为 的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D.释放能量之比为 的两场地震的震级相差2级 题型2 对数函数模型 15 解析 对于A,当时,,解得 ,A错误； 对于B,当时,,解得 ,B正确； 对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为 , 则,于是 ,C错误； 对于D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为 , 则,且,两式相减得 ,解得 ,D正确.故选 . 题型2 对数函数模型 16 8.［山东菏泽2025高一调研］某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成 本（单位：元/）与上市时间 （单位：天）的数据如下表： 时间 50 110 250 种植成本 150 108 150 根据上表数据，函数，，， .能够描述 西红柿种植成本与上市时间 的变化关系的是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 题型3 函数模型的选择 17 解析 根据题中表格数据，西红柿种植成本与上市时间 的变化关系不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在 时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是 ， 故选B. 题型3 函数模型的选择 18 归纳总结 （1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长 较慢；当值较大 时,增长较快. 题型3 函数模型的选择 9.［广西南宁2025高一期末］为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上 游水域的水质.省环保局于2023年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速 度越来越快，2024年2月底测得蒲草覆盖面积为，2024年3月底测得蒲草覆盖面积为 ， 蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择. （1）分别求出两个函数模型的解析式； 题型3 函数模型的选择 20 【解】若选择模型，则解得， ， 故函数模型为 . 若选择模型，则解得， ， 故函数模型为 . 题型3 函数模型的选择 21 （2）若2023年年底测得蒲草覆盖面积为 ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型， 说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据： ， ） [答案] 把代入，可得 ， 把代入，可得，可知 与20相差比较大， 故选择函数模型 更合适. 令，可得，两边取常用对数可得 ， 即 ， 故至少到2025年2月底蒲草覆盖面积能达到 . 题型3 函数模型的选择 22 10.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为 ，试解答下面的问题： （1）写出年后该城市的人口总数（万）与年数 （年）的函数关系式； 【解】1年后该城市人口总数为 ； 2年后该城市人口总数为 ； 3年后该城市人口总数为 ；……； 年后该城市人口总数为, . 易错点 错用函数模型而致错 23 （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万）； [答案] 10年后该城市人口总数为 （万）. 易错点 错用函数模型而致错 24 （3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）. 本题参考数据：，， [答案] 令,则有,解方程可得 . 故大约16年后该城市人口总数将达到120万. 易错点 错用函数模型而致错 25 易错警示 应用题中的增长率问题,一般是应用指数型函数,不要只考虑增长而使用了其他的函数模型. 易错点 错用函数模型而致错 26 4.5 4.5.3 函数模型的应用 刷提升 27 1.据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量与价格 之间的关系最可能是下图中的 ( ) C A. B. C. D. 28 解析 设销售收入为, 销售收入不变,（定值）, .故选C. 2.“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间（月）与枝数 （枝）的散点图直角坐标系中作出对应的点 ，那么最符合红豆的枝 数与生长时间的关系的函数是( ) A A.指数函数 B.对数函数 C.幂函数 D.二次函数 30 解析 通过图象上的点可以发现,在第一象限从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,图象 上的点大致都在函数 的图象上,所以指数函数最符合. 3.据统计，第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足 ，观测发现第2年 有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭 ( ) B A.1 530只 B.1 630只 C.1 830只 D.1 930只 32 解析 第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足,时, , ,解得 . 当时, .故选B. 4.［江苏部分学校2025高一期末联考］近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池 迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间 （单位：）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为 常数.为 测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流时，放电时间.若计算时取, ，则该蓄 电池的常数大约为______.（精确到 ） 2.25 解析 由题意知 ， 所以，两边取以10为底的对数，得 ， 所以 . 34 5.［广东十八校2025高一期末联考］舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的 指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出 一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现的 天，若某次 舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于 ，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场 指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现的第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ；；其中含 的项的系数均不为0. （1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； 35 【解】选③， 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③. 36 （2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天的舆论场指数； [答案] 将表格数据代入，得解得 故函数模型为 ， 则第4天的舆论场指数为 . 37 （3）若本次舆情不是严重的，求 的最小值. [答案] 若本次舆情不是严重的，则 恒成立， 则，故两边同时除以，得 ， 不妨设,，则可化为，整理得 ， 由于在上单调递减，故只需要当时， 成立即可， 代入得，解得 ， 故的最小值为 . 38 $$