4.5.1 函数的零点与方程的解-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 4.5 函数的应用（二） 2 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 刷基础 3 1.［甘肃武威2025高一期末］函数 的零点为( ) C A.1 B. C. D. 解析 由 .故选C. 题型1 函数的零点 4 归纳总结 函数零点的求解与判断方法 （1）直接求零点：令 ,如果能求出方程的解,那么有几个不同的解就有几个零点. （2）函数零点存在定理：利用函数零点存在定理时不仅要求函数在区间 上的图象是连续不 断的曲线且 ,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有 多少个零点. （3）利用图象交点的个数：将函数解析式（方程）作移项等变形,转化为两函数图象的交点问题, 其交点有几个,就有几个零点. 题型1 函数的零点 2.（多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有( ) CD A. B. C. D. 题型1 函数的零点 6 解析 函数有两个零点就是函数图象与轴有两个交点,故选 . 题型1 函数的零点 3.［广东十八校2025高一期末联考］若函数 有一个零点是1，则函数 的零点是( ) D A.0,2 B.,3 C.,0,4 D. ,0,1 解析 由题意可得，可得，可得 ，令 ，因此，解得或或 ，因此函数 的零点是 ,0,1.故选D. 题型1 函数的零点 8 4.函数 的零点个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 函数的零点 9 解析 当时,,则函数在时的零点个数为函数 与函 数, 的交点个数,作出两个函数的图象如图所示. 由图可知,当时,函数 有2个零点. 当时,由可得或 （舍去）, 即当时,函数 有1个零点. 综上,函数 的零点个数为3.故选C. 题型1 函数的零点 5.函数 的零点是___. 9 解析 由题意可知的定义域为,令,可得 ,解 得（舍去）或, . 题型1 函数的零点 11 6.已知 . （1）求 的零点； 【解】由题设,,且定义域为 , 所以令,即,解得,则的零点为 . 题型1 函数的零点 12 （2）若关于的方程 有解，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）及题设知在上有解,且 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 所以实数的取值范围为 . 题型1 函数的零点 13 特别注意 解决函数问题时,要注意定义域优先.函数 的定义域是解不等式组 而不是解化简后的不等式 . 题型1 函数的零点 14 7.［陕西西安2025高一期末］已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且 ， ，，，，则在下列区间中，一定包含 零点的区间是( ) C A. B. C. D. 题型2 函数零点存在定理 15 解析 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， ， ，，所以由函数零点存在定理可知一定包含零点的区间是 . 故选C. 题型2 函数零点存在定理 8.［北京第四中学2025高一期中］函数在区间 内的零点个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型2 函数零点存在定理 17 解析 由在上单调递增，且 ，所以函数在区 间 内的零点个数是1.故选B. 题型2 函数零点存在定理 9.［宁夏银川一中2025高一期末］若函数有两个零点，且分别在 与 内，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数零点的应用 19 解析 由题意可得 解得 .故选C. 题型3 函数零点的应用 10.已知三个函数，，的零点依次为，， ， 则 ( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 题型3 函数零点的应用 21 解析 令,,则,,即, 分别 为直线与函数,图象交点的横坐标.因为, 互为反函数,其 图象关于直线对称,而直线与垂直,交点坐标为,所以 .又由 得,所以 .故选C. 题型3 函数零点的应用 11.已知函数的定义域为，是奇函数，且当 时， .若函数恰有两个零点，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数零点的应用 23 解析 因为是奇函数,所以也是奇函数,所以要使函数 恰有两 个零点,则只需要当时,函数 恰有一个零点即可. 由,,得 . 若,即,解得 ,零点为1； 若,要使当时,函数只有一个零点,则,所以此时解得 . 综上可得,或 .故选D. 题型3 函数零点的应用 归纳总结 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 题型3 函数零点的应用 25 12.（多选）［浙江绍兴2025高一期末］设函数若 ，且 ，则( ) BCD A. B. C. D. 题型3 函数零点的应用 26 解析 作出函数 的大致图象，如图所示， 由图可知，，由知，，即 ， 则，则 ，故A错误，B正确； 由，得，所以 ，故C正确；所以 ，故D正确.故选 . 题型3 函数零点的应用 27 13.（多选）［云南昆明2025高一期末］已知函数 恰有两个零点 , ，则下列结论正确的是( ) ABD A. B.方程的解集为, C.不等式的解集为 D.，，，的大小关系是 题型3 函数零点的应用 28 解析 对于A，因为,是函数 的两个零点，所以 ，故A正确； 对于B，方程或 ，所以方程 的解集为, ，故B正确； 对于C，因为函数恰有两个零点, ，所以 ，所以不等式 的解集为 ，故C错误； 对于D，先画的图象，再将 的图象向下平 移一个单位长度得到 的图象，如图所示， 由图可知，故D正确.故选 . 题型3 函数零点的应用 29 14.已知函数，则 的零点为( ) B A.1和 B.和 C.和 D.和 解析 对于函数,令,即,解得或 ,所以 的零点为和 .故选B. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 30 易错警示 函数的零点不是一个点的坐标,而是函数解析式对应方程的根（或函数图象与 轴交点的横坐标）, 因此本题应选B而不是选C. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 15.［广东茂名2025高一期末］“函数满足”是“函数在区间 上有零 点”的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 32 解析 若函数满足，根据函数零点存在定理，如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间 上有零 点.但是这里并没有说明函数在区间 上的图象是连续不断的， 比如函数当，时， ， 但在上没有零点，所以“函数满足”不能推出“函数 在区间 上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点 ，此时 ，这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数 满 足”，必要性不成立.所以“函数满足”是“函数 在区间 上有零点”的既不充分也不必要条件.故选D. 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 33 易错警示 端点函数值异号,只是一个条件,还要注意函数零点存在定理成立的另一个条件,即函数在闭区间上 的图象是一条连续不断的曲线. 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 34 16.已知函数，“函数在上有两个不相等的零点”是“ ”的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 35 解析 ①当时,在 上无零点; ②当时,若函数在上有两个不相等的零点,则解得 ; ③当时,若函数在上有两个不相等的零点,则 无解. 综上所述,在上有两个不相等的零点时, . , “函数在上有两个不相等的零点”是“ ”的充分不必要条 件.故选A. 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 36 易错警示 若二次项系数含参数,首先要讨论二次项系数是否为0,确定了二次项系数,才能确定方程的次数,从 而确定对应的解法. 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 37 17.（多选）［四川成都部分学校2025联考］已知函数， .若 ,表示，中的最大者，设函数, ，则下列结论正确的是 ( ) ABC A.若没有零点，则的取值范围为 B.若只有1个零点，则的取值集合为 C.若有2个零点，则的取值范围为 D.， 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 38 解析 图象的对称轴方程为 ,开口向上， 当，即时，对任意，都有，所以, 没 有零点. 当,即时，令,，解得. 当时，，所以, 没有零点. 当时， . 当时，，所以；当时，, ，所以 有1个零点. 当时， . 当时，；当时，, ； 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 39 当时，,,，所以在 上有1个零点，则 在上有1个零点.所以 有2个零点. 设在上的零点为，则当时，，所以当 时， ，D错误. 综上，当时，没有零点；当时，有1个零点；当时， 有2个零点, 正确，故选 . 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 18.已知函数.若有且仅有一个零点，则实数 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 41 解析 画出的大致图象如图所示.有且仅有一个零点等价于方程 有且仅有一个 解,结合的图象与的图象可知,当,即时, 的图象与 的图象有唯一的交点.故选B. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 19.已知函数若函数 有三个不同的零点，则 实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 43 思路导引 根据给定条件,先尝试画出函数的图象.再令,则转化为关于 有 两个零点,其中一个零点满足只有一根,且；而另一零点满足 有两根,且 ,从而满足题意,再根据二次函数零点分布的规律和函数零点存在定理求出实数 的取值范围. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 解析 当时,函数在上单调递增, . 当时,函数,当且仅当时取等号,函数 的大致图象如 图所示. 令,观察图象知,当时,方程有一个根,当时,方程 有两个不等根. 函数有三个零点,等价于函数有两个零点 , ,并满足,,而函数图象的对称轴为直线,于是得解得 ,所以实数的取值范围为 .故选D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 45 易错警示 对分段函数 的函数值分布、零点分布情况,可以尝试画出图象,借助图象分析,掌握好 作为一个基本元,分析出符合题意的取值,并会区分和 之间的联系与区别, 从而求出参数 的取值范围. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 46 20.［湖南长沙2025高一段考］在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数 ，使 得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”.已知函数 在区间上恰有两个不同的“不动点”，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 易错点5 不能正确理解题意而致错 47 解析 根据题意可得在 上恰有两个不同的解，即 在区间 上恰有两个零点， 所以 或 解得或 .故选C. 易错点5 不能正确理解题意而致错 48 易错警示 求解本题的关键是正确理解“不动点”的概念. 易错点5 不能正确理解题意而致错 49 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 刷提升 50 1.［四川宜宾2025高一期末］函数 的零点所在区间为( ) B A. B. C. D. 51 解析 易知单调递增，， ,所以 的零点所在区间为 ，故选B. 2.借助信息技术画出函数为实数的图象，当 时图象如图所示， 则函数 的零点个数为( ) B A.3 B.2 C.1 D.0 53 解析 令,则 ,所以函数 的零点个数即为与 的图象交点个数,在 题图的基础上作出函数 的图象,如图所示. 结合图象可知与 的图象有2个交点,所以函数 有2个零点.故选B. 3.设是函数的零点.若，则 的值满足( ) C A. B. C. D. 的符号不确定 55 解析 函数和在上均单调递增, 在 上单调递增.又是函数的零点,, 当 时, .故选C. 4.［江苏淮安2025高一期末］已知函数若关于 的方程 至少有两个不等的实根，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 57 解析 因为 所以 58 作出函数 的图象，如图所示， 关于的方程至少有两个不等的实根，即函数的图象与直线 至少有两个不同的交点，所以 ， 当时，令，解得 ， 当时，令，解得 ， 所以，解得 .故选A. 59 5.［重庆部分学校2024高一期末］设函数 ，满足 ，若存在零点 ，则下列选项中一定错误的是( ) B A. B. C. D. 60 解析 因为,在 上单调递增, 所以在 上为增函数, 又,所以 , 又 , 所以,,或,, . 当,, 时, 由存在零点,可知,且 ,此时A,C选项正确,B,D选项错误； 当,, 时, 由存在零点,可知 ,此时A,B,C选项错误,D选项正确. 综上,选项中一定错误的是B选项,故选B. 61 6.［浙江杭州2025高一期末］已知函数 若函数 有7个不同的零点，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 62 解析 令，由函数 有7个不同的零点可知方程 有两个不相等的实数根,，且,对应的 的取值共 有7个. 作出 的图象如图所示. 不妨设，即与的图象有4个交点，对应的 的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即与 的图象有3个交点， 由图可知，当 时满足题意.故选D. 63 名师点拨 本题关键在于将函数的零点个数转化为函数与 的图象交点个数的问题，画出 对应图象可实现问题求解. 64 7.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足 .若关于 的方程有唯一的实数解，则实数 的值为( ) C A. B. C.1 D. 65 解析 ,分别是定义在 上的偶函数和奇函数, , . 又 ,① .② 得 , . 令 . , 为偶函数, 当且仅当时, , ,解得 .故选C. 66 8.（多选）［河南南阳2025高一期末］已知函数有三个零点,1, ， 且函数 ，则下列判断正确的是( ) ACD A. B.函数 可能不存在零点 C.函数可能有一个零点 D.函数 可能有两个零点 67 解析 因为和1是的零点，所以解得， ， 所以，因为 为函数 的零点，且,所以，故A正确；当时， 有一个零点，故C正确； 当时，对于，，所以 有两个零点，故D正确; 综上，可能有一个零点或两个零点，故B错误.故选 . 9.（多选）已知是定义在上的偶函数，当 时， 则下列说法正确的是( ) BD A.函数在上单调递增 B.函数 有两个零点 C.不等式的解集为 D.方程 有6个不相等的实数根 69 解析 由题意,函数 的图象如图所示. 对于A,在 上单调递减,A错误. 对于B,令,即,解得, 只有两个零点, B正确. 对于C,由图可令,即,所以 或 ,解得或,结合 的图象可得不等式 的解集为 ,C错误. 对于D,,即,解得 .若 ,即,解得或;若,即,解得 ,D正确. 故选 . 70 10.（多选）［福建福州2025高一月考］已知函数方程 有4个不 同的实数根，，， ，则( ) BCD A. B. C. D. 71 解析 当时，,则，则,即，当且仅当 时取等号， 当时，，当且仅当时取等号，作出函数 的图象 如图所示，由图可知当且仅当时方程 有4个不同实根，故A 错误； 结合图象可得,, ，故B正确； 由题得且，所以 ，所以 ,所以 ，故C正确； ,是方程，即方程 的两个根， 所以,,所以 ， 由，所以，故D正确.故选 . 72 11.已知函数在区间上有两个零点，则实数 的取值范围是______. 解析 函数在区间 上有两个零点, 即在区间 上有两个不同的解, 即在区间 上有两个不同的解, 转化成与的图象在区间 上有两个不同的交点,结合对勾函数的性质 可知在上单调递减,在 上单调递增, 且,,,所以,解得 . 73 12.［湖南邵阳2025高一联考］已知函数,（其中 为自然对 数的底数）.设,分别为,的零点，则 ___. 3 解析 因为,分别为,的零点，所以, ， 因为，所以，且 ， 因为函数为增函数，且，所以 ，所以 . 74 13.［北京丰台区2025高一期末］设函数，其中.若 在区 间内存在零点，求 的取值范围. 75 思路导引 解法1：分及 两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算 对称轴为直线，再分，及 ，结合零点存在定理计算求解. 【解】由已知，得 . （1）当，即或 时， 由，得，此时 的零点为3，不符合题意. 由，得，此时的零点为 ，符合题意. （2）当，即或 时， ①若，此时图象的对称轴为直线, , 且，所以在区间 内存在零点，符合题意. ②若，此时图象的对称轴为直线 ， 所以在区间 内单调递减. 77 又因为 ， 所以在区间内存在零点只需满足，解得 . 综上，的取值范围是 . 多种解法 由已知，得,,图象的对称轴为直线 ， . （1）当，即时， ， 此时在区间内有零点 ，符合题意. （2）当，即时， ， 此时在区间 内无零点，不符合题意. （3）当，即，且 时， 由在区间 内存在零点，则有以下两种情况： 79 ①，解得或 ； ②解得.综上，的取值范围是 . 14.［安徽阜阳2024高一月考］已知函数 是偶函数. （1）求实数 的值； 【解】因为函数是偶函数,所以 , 即 , 所以 , 即,所以,得 . 经检验当时,函数 是偶函数. 81 （2）函数且，函数 有2个零点，求 实数 的取值范围. 82 [答案] 函数 有2个零点, 即关于的方程 有2个不相等的实数根, 化简上述方程得,即 , 所以 , 所以 . 令,得关于的方程 . 记,且 , ①当时,函数的图象开口向上,图象恒过点 ,方程（*）只有1个正实根,不符合题意. 83 ②当时,函数的图象开口向下,图象恒过点 , 因为,要满足题意,则方程（*）应有2个不相等的正实根,即 , 解得或,又,所以 . 综上,的取值范围是 . 84 15.［辽宁沈阳2025高一月考］已知函数 . （1）根据函数单调性的定义证明在 上单调递增； 【证明】任取,，且 ， 则 ， 因为，所以 . 又 ， 所以，即，所以在 上单调递增. 85 （2）设关于的方程有两个不同的实根，求 的取值范围. 【解】因为,，所以，所以函数 是 奇函数， 因为，所以 ， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即 有 两个不同的实根， 令,，则 有两个不同的正解， 即直线与 的图象有两个不同的交点， 86 作出 的图象，如图所示. 由图可知，所以实数的取值范围为 . 87 16.［复旦大学2022强基计划］已知若 有四个实数解 ,,,，且满足 ，则( ) D A. B. C. D. 88 解析 画出函数 的图象如图所示. 由图可得 , ,,即 . 由图可得,且, .故选D. 89 17.（多选）［2023THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试］已知, ，若 方程有四个不同的根，则满足上述条件的 的可能的值 为( ) AB A. B. C. D.1 90 解析 因为, , 令,即,解得或 , 此时由可得 , 即 ； 令,得 , 此时由 可得 , 即 . 令 则 有四个不同的根, 即与 的图象有四个交点, 91 又的图象过定点,画出 的图象如图所示, 结合图象可知, 当直线过点或点时与 的图象都有三个交点, 此时, , 所以直线的斜率的取值范围为 , 即 , 所以满足条件的的值为,,故选 . 92 $$