3.4 函数的应用（一）-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的应用（一），涵盖一次函数、二次函数、分段函数及幂函数、对勾函数的实际应用，通过电费计费、商品销售等现实问题导入，衔接函数概念与性质，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题分析与模型构建发展数学思维，用函数解析式精准表达实际关系体现数学语言。精选各地名校考题，解析详尽，助力学生提升应用意识，教师可直接用于教学实例，提高课堂效率。

数学 必修第一册 RJA 1 3.4 3.4 函数的应用（一） 刷基础 2 1.某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电 量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量与相应电费 （元）之间的函数关系如图 所示，当夜间月用电量为 时，应交电费为( ) D A.130元 B.140元 C.150元 D.160元 题型1 一次函数、二次函数的应用 3 解析 结合函数图象可知,当时,与之间是一次函数关系,设 , , 当时,；当时, , 则解得 此时, . 所以当时, .故选D. 题型1 一次函数、二次函数的应用 4 2.［湖南长沙长郡中学2024高一期中］如图，把直截面半径为 的圆柱形木头 锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为单位：，面积为 单位：，那么把表示为 的函数的解析式为( ) B A. B.， C. D.， 题型1 一次函数、二次函数的应用 5 解析 如图, 圆的直径,矩形的边. , 由勾股定理,得 , 矩形的面积 , 又, .故选B. 题型1 一次函数、二次函数的应用 6 3.［江西上饶2025高一月考］你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的“火树银花触目 红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却 在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的 时刻是( ) A A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 题型1 一次函数、二次函数的应用 7 解析 由题意, , 则当 时,烟花达到最高点,即爆裂的时刻是第4秒.故选A. 题型1 一次函数、二次函数的应用 4.［陕西西安2025高一期中］某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件） 与货价（单位：元/件）之间的关系为，生产件所需成本 （单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是____. 10 解析 由题意，设该厂日获利为元，则 ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即 ，即 ， 解得且 . 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 题型1 一次函数、二次函数的应用 9 5.［江苏扬州高邮一中2025高一月考］某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查 发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价 之间的函数关系式. 题型1 一次函数、二次函数的应用 10 【解】由题意设，则由题图可知，该函数图象过点, ， 所以解得 所以 ， 由解得 . 所以该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是 . 题型1 一次函数、二次函数的应用 11 （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？ 最大利润是多少？ [答案] 若该主播按单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则 ， 则利润 ，其图象开口向下，图 象的对称轴方程为 ， 所以当时，利润取得最大值，为 ， 所以当销售单价为50元时利润最大，最大利润是1 560元. 题型1 一次函数、二次函数的应用 12 （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1 280元，则每天的销售量最少应为多少件？ [答案] 由（2）得利润 ， 又该商品每天获得的利润不低于1 280元， 则，整理得 ， 即，解得 ， 销售量是减函数，所以当 时，销售量最小，且最小值为 件. 题型1 一次函数、二次函数的应用 13 6.［吉林长春多校2025高一期末联考］根据统计，一名工人组装第 件产品所用的时间 （单位：分）为,为常数.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 件 产品用时5分钟，那么和 的值分别是( ) C A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16 题型2 分段函数的应用 14 解析 由题意可得 ， 故则 故选C. 题型2 分段函数的应用 7.［福建龙岩2025高一月考］某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 其中，代表拟录用人数， 代表面试人数.若面试人数为60， 则该公司拟录用人数为( ) C A.15 B.40 C.25 D.130 题型2 分段函数的应用 16 解析 令,若,则 ,不满足题意； 若,则 ,满足题意； 若,则 ,不满足题意.故该公司拟录用25人. 题型2 分段函数的应用 8.［广东茂名七校2024高一联考］某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的 总金额不超过1 000元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元， 那么超过1 000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 若某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为________元. 1 610 题型2 分段函数的应用 18 解析 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当时, . 当时, , 令,得,解得 ,不符合题意. 当时, , 令,得,解得 ,符合题意, 所以他实际所付金额为 （元）. 题型2 分段函数的应用 19 9.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运 费与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站处建仓库，这两项费用， 分 别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A A.处 B.处 C.处 D. 处 题型3 幂函数和对勾函数的应用 20 解析 设仓库到车站的距离为,由题意可设,,其中 . 由当时,两项费用,分别是2万元和8万元,可得, . 故,当且仅当,即 时取等号,故选A. 题型3 幂函数和对勾函数的应用 10.（多选）［河北保定部分学校2025高一联考］在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通 过圆形管道时，其流量单位：与管道的半径单位： 的四次方成正比，当气体在半 径为的管道中时，流量为 ，则( ) AC A.当气体在半径为的管道中时，流量为 B.当气体在半径为的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 题型3 幂函数和对勾函数的应用 22 解析 依题意可设， 为常数. 当气体在半径为的管道中时，流量为，所以，解得 ，则 .当时， ，故A正确，B错误. 由，解得，故C正确，D错误.故选 . 题型3 幂函数和对勾函数的应用 23 11.［山东部分学校2024高一联考］某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元， 若该景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本 万元，且 该景区门票价格为64元/人. 题型3 幂函数和对勾函数的应用 24 （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式. （利润 收入-成本） 题型3 幂函数和对勾函数的应用 25 【解】该景区的门票收入为 万元,则利润 即 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式为 题型3 幂函数和对勾函数的应用 26 （2）该景区开业后的第一年接待游客为多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ [答案] 当时, ； 当时,二次函数图象开口向下,对称轴为直线,故 ； 当时,,当且仅当,即 时等号成立, . 综上,当该景区开业后的第一年接待游客人数为20万时，获得的利润最大,最大利润为260万元. 题型3 幂函数和对勾函数的应用 27 12.（多选）［浙江台金七校2025高一期中联考］如图①是反映某条公交线路收支差额 （即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏 损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示. 图① 图② 图③ 则下列说法中正确的有( ) BC A.图②的建议：提高成本，并提高票价 B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D.图③的建议：提高票价，并降低成本 易错点 对函数图象的理解不到位而致错 28 解析 根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入 是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本并保持票价不变，故A错误，B正确；由题图③可 以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即有相同的乘客量时收入变大， 即票价提高了，说明此建议是提高票价并保持成本不变，故C正确,D错误.故选 . 易错点 对函数图象的理解不到位而致错 29 易错警示 对函数图象的理解要准确,尤其是对每一个变化点的含义以及数值意义要理解到位. 易错点 对函数图象的理解不到位而致错 3.4 3.4 函数的应用（一） 刷能力 31 建议用时：25分钟 1.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以 每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天 只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则 应该每天从报社买进报纸( ) C A.215份 B.350份 C.400份 D.250份 32 解析 根据题意,设每天从报社买进份报纸,每月所获利润为 元,具体情 况如表. 数量/份 单价/元 金额/元 买进 2 卖出 3 退回 0.8 . 在 上单调递增, 当时, 取得最大值8 700. 即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8 700元.故选C. 33 2.［湖北荆州中学2025高一期中］为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减 少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为 ，则2029年的耕地面积为( ) D A. B. C. D. 34 解析 设某地的耕地面积每年减少，因为在最近50年内减少了 ，所以 ，故 . 由题意得2029年的耕地面积为，即 .故选D. 3.［广东广州2025高一期中］某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为 （万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月 所获得的总利润用（万元）表示，用 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正 确的是( ) D A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元 B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元 C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元 D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元 36 解析 由题意可得 ， 故当时， 取得最大值128. ，当且仅当 时，等号成立. 因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元， 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元.故选D. 37 4.如图，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 的甲、乙两城间从甲城到乙城 所行驶的路程与时间之间的函数关系的图象，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如 下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到 ； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发 后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发 后与骑自行车者速度一样. 其中，正确信息的序号是________. ①②③ 38 解析 看时间轴易知①正确； 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时 间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确； 两个函数图象的交点的横坐标对应着 ,故③正确; 骑自行车者出发 后两人相遇,且骑摩托车者先到乙城,所以两者速度不一样,故④错误. 39 5.［河北石家庄二中2025高一期中］某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会 产生一些次品，其次品率与日产量（万件）之间满足关系： （其中 为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万 件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大.（注：次品率 次品数/生产 量，如 表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）. （1）将生产这批零件每天的盈利额（万元）表示为关于日产量 （万件）的函数. 40 【解】由题意知 ， 当时，，故 ， 当时，，故 ， 所以盈利额（万元）与日产量（万件）之间的函数关系为 41 （2）当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 42 [答案] 当时，每天的盈利额为0元，则只需求当时 的最大值. 设,，则，且 ， 则 ， ①当，即时， ， 当且仅当，即时，取最大值160，此时 . ②当，即时，由在 上单调递增， 得在 上单调递减， 所以当，即时， 取最大值. 综上所述，当时，日产量为 万件时，该厂可获最大利润； 当 时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润. 43 $$