3.3 幂函数-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象、性质及应用，从幂函数定义入手，联系已学基本函数，通过辨析基础题引入，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是分层设计与真题结合，注重易错点突破。通过概念辨析培养抽象能力，图象分析发展几何直观，性质应用提升推理意识，解析规范符号表达强化数学语言。学生能系统掌握知识，提升解题能力，教师可实现精准教学。

数学 必修第一册 RJA 1 3.3 3.3 幂函数 刷基础 2 1.［吉林普通高中2024高一期末］下列函数中，不是幂函数的是( ) A A. B. C. D. 题型1 幂函数的概念 3 解析 幂函数的解析式为 为常数,则,, 均符合幂函数的定义, 而 不符合幂函数的定义.故选A. 题型1 幂函数的概念 2.［江西赣州二十四校2025高一期中联考］已知是幂函数，若 ，则 ( ) C A. B.2 C.4 D.6 题型1 幂函数的概念 5 解析 因为是幂函数，所以，解得，即 ， 若，则 .故选C. 题型1 幂函数的概念 3.已知函数，则“”是“ 是幂函数”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 幂函数的概念 7 解析 若函数为幂函数,则,解得或 .故“ ”是“ 是幂函数”的充分不必要条件.故选A. 题型1 幂函数的概念 4.［四川绵阳中学2025高一期末］若幂函数的图象过点，则 的定义域是 _______. 解析 设幂函数 为常数，由幂函数的图象过点得 ，则 . 所以 . 由，所以所求函数的定义域是 . 题型1 幂函数的概念 9 5.直线，，及幂函数 的图象将直角坐标系第一象限分 为8个部分（如图所示），那么幂函数 的图象在第一象限中经过( ) D A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 题型2 幂函数的图象 10 解析 在第一象限内,直线的左侧,幂函数的指数越大图象越接近于 轴, , 在直线的左侧,的图象位于 图象的左侧,故经过⑤； 在第一象限内,直线的右侧,幂函数的指数越小图象越接近于轴, 在直线 的右侧 的图象位于图象的上方,直线 的下方,故经过①.故选D. 题型2 幂函数的图象 6.［湖南株洲2024高一期中］如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图象. 已知分别取,四个值，与曲线,,,相应的 依次为( ) A A.2,,, B.2,,, C.,,2, D.,, ,2 题型2 幂函数的图象 12 解析 曲线,单调递增且趋于平缓,所以曲线,相应的的值分别为2,；曲线, 单调递 减且曲线在直线右侧更高,故曲线,相应的的值分别为, .故选A. 题型2 幂函数的图象 链接教材 本题图与教材P90图3.3-1类似，幂函数 在第一象限的变化规律：时,单调递减, 时,单调递增；时,增长得越来越慢,时,增长得越来越快；当 时,幂函数图象越 高指数越大. 题型2 幂函数的图象 7.［天津五区县部分学校2025高一期中联考］在同一平面直角坐标系内，函数 和 的图象可能是( ) C A. B. C. D. 题型2 幂函数的图象 15 解析 对于A，由函数的图象可知，由的图象可知 ，互相矛 盾，A不符合题意； 对于B，由函数的图象可知，由的图象可知 ，互相矛盾，B 不符合题意； 对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且 ，C符 合题意； 对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且 ，互 相矛盾，D不符合题意.故选C. 题型2 幂函数的图象 16 8.［安徽芜湖2025高一期中］若幂函数的图象过点，则不等式 的解集为 ( ) D A. B. C. D. 题型3 幂函数的性质与应用 17 解析 设幂函数 为常数，由幂函数的图象过点得，解得 ，则 . 因为函数在定义域上单调递增，所以不等式 ，解得 ， 所以原不等式的解集为 .故选D. 题型3 幂函数的性质与应用 9.（多选）［陕西榆林五校2024高一联考］下列说法正确的是( ) BD A.所有幂函数的图象均过点 B.若幂函数的图象经过点，则解析式为 C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 题型3 幂函数的性质与应用 19 解析 对于A项：例如,图象不过点 ,故A错误； 对于B项：设幂函数为 ,幂函数的图象经过点,则 ,解得,所以 , 故B正确； 对于C项：例如 ,其定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故C错误； 对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确.故选 . 题型3 幂函数的性质与应用 20 10.（多选）已知幂函数的图象经过点 ，则( ) CD A.函数 为减函数 B.函数 为偶函数 C.当时， D.当时， 题型3 幂函数的性质与应用 21 解析 设幂函数 ,则,解得,所以,定义域为 . A选项,因为,所以在 上为增函数,故A错误； B选项,因为的定义域不关于原点对称,所以函数 不是偶函数,故B错误; C选项,由A可知,在上单调递增,故当时, ,故C正确; D选项,当 时, , 又,所以,D正确.故选 . 题型3 幂函数的性质与应用 22 二级结论 满足的函数是上凸函数,满足 的函数是下凸函数. 题型3 幂函数的性质与应用 23 11.［天津部分区2025高一期中联考］已知,,，则，， 的大小关 系为( ) D A. B. C. D. 题型3 幂函数的性质与应用 24 解析 ,幂函数在上单调递增，因为 ,所以 ,即,所以 ,故选D. 题型3 幂函数的性质与应用 规律方法 比较幂大小的三种常用方法： （1）直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. （2）转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再运用单调性比较大小. （3）中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用幂函数的单调性比较大小，可选取适 当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的. 题型3 幂函数的性质与应用 26 12.［黑龙江哈尔滨三中2025高一期末］若幂函数在 上单调递 增，则实数 ___. 2 解析 由幂函数在 上单调递增， 得解得，所以实数 . 题型3 幂函数的性质与应用 27 13.［湖北荆州中学2024高一期中］已知幂函数在 上单调递减， 若，则 的取值范围为________. 解析 若幂函数在上单调递减,则 解得 . 不等式化为,显然幂函数在 上单调递增, 因此,解得 , 所以的取值范围为 . 题型3 幂函数的性质与应用 28 14.［河北衡水中学2025高一期中］幂函数 为偶函数， . （1）求函数 的解析式； 题型3 幂函数的性质与应用 29 【解】因为函数 为幂函数， 所以，解得或 . 当时，，定义域为 ，且 ， 所以 为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，且 ， 所以 为奇函数，不符合题意. 所以 . 题型3 幂函数的性质与应用 30 （2）若对于恒成立，求 的取值范围. 题型3 幂函数的性质与应用 31 [答案] 因为 ， 所以对于恒成立，即对于 恒成立，又 , 则对于恒成立，所以 . 设，则， ， 因为，当且仅当，即，即 时等号成立， 所以, , 所以 ， 故的取值范围为 . 题型3 幂函数的性质与应用 32 15.有四个幂函数：;;; .某同学研究了其中的一 个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是,且 ；（3）在 上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，那么他研究的函数是 ( ) B A.① B.② C.③ D.④ 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 33 解析 只满足值域是,且 ； 只满足在 上单调递增; 只满足在 上单调递增； 是偶函数,在上单调递增,但其值域是 .故选B. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 16.（多选）［云南昆明2024高一月考］已知，若 为偶函数，则满足要 求的 有( ) AC A. B.1 C.4 D. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 35 解析 当时,,定义域为 ,关于原点对称，且 ,所以 为偶函数,故A正确； 当时,,定义域为,且 为奇函数,故B错误； 当时,,定义域为,且 , 所以 为偶函数,故C正确; 当时,,定义域为,不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数,故 D错误. 故选 . 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 36 易错警示 虽然指数部分分母为偶数,但是其定义域为,所以 为非奇非偶函数. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 17.已知幂函数的图象不过原点，则实数 的取值为( ) A A. B.0 C.2 D.2或 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 38 解析 因为为幂函数,所以,解得 . 当时, ,图象过原点,不合题意,舍去； 当时, ,图象不过原点,符合题意. 综上所述, .故选A. 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 易错警示 若幂函数的图象过原点,则指数大于0；若图象不过原点,则指数小于或等于0. 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 18.［河南郑州2025高一月考］已知幂函数的图象经过,,, 四点中的 两点，且在 上单调递减. （1）求 的解析式； 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 41 【解】方法一：设 为常数 ， 易知幂函数的图象必过点 ， 当幂函数的图象经过点时，，所以 ， 则在 上单调递增，不符合题意； 当幂函数的图象经过点时，，所以 ， 在 上单调递减，符合题意； 当幂函数的图象经过点时，，所以 ， 在 上单调递增，不符合题意， 故 . 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 42 方法二：设 为常数 ， 易知幂函数的图象必过点 ， 因为在上单调递减，所以在 的图象上， 所以，所以 ， 故 . 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 43 （2）若，求实数 的值. [答案] 易知的定义域为 ，且为偶函数， 由可得， . 方法一：两边同时平方并整理得， ， 解得或 . 故实数的值为4或 . 方法二：或 ， 解得或 . 故实数的值为4或 . 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 44 3.3 3.3 幂函数 刷能力 45 建议用时：35分钟 1.若幂函数 图象过点，且，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 46 解析 由已知条件可得,解得,则 , 所以函数在 上为增函数. 由可得,解得 .故选B. 2.已知幂函数的图象过点，则 的定义域为( ) B A. B. C. D. 48 解析 是幂函数, 设,将 代入解析式, 得,解得,故,则 , 故,解得 .故选B. 3.［江苏南通如皋中学2025高一期末］已知幂函数 ，当 取不同的正数 时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点， ，连接 ，线段恰好被其中的两个幂函数 ， 的图象三等分，即有 ，那么 ( ) C A. B. C.1 D.3 50 解析 因为点，，，所以，，不妨令点, 分别在 函数 ， 的图象上，将点,的坐标分别代入 ， 中，得 ， ，所以，所以 .故选C. 4.［湖北部分学校2025高一联考］设，，，则，， 的大小关系是 ( ) A A. B. C. D. 52 解析 因为， ， 所以， . 因为函数为增函数， ， 所以，故 . 故选A. 5.［陕西师大附中2025高一期中］已知函数，若，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 54 解析 令，因为的定义域为 ，关于原点对称，且 ， 所以是 上的奇函数. 因为幂函数,都是 上的增函数， 所以是 上的增函数. 又 ， 所以，解得 ， 所以的取值范围是 .故选A. 55 6.（多选）已知幂函数的图象经过点，, 是函数图象上 任意不同的两点，则下列结论正确的有( ) BC A. B. C. D. 56 解析 设幂函数 ,则有,解得,所以 . 作出函数的大致图象如图所示,由其图象知图象上的点与原点连线所在直线的倾斜程度随 的 增大而减小,即,即 ,所以B,C正确. 7.［天津部分区2024高一期中联考］已知函数，若正数, 满足 ，则 的最大值是__. 解析 由题意得的定义域为,且 , 所以为奇函数,,且函数 单调递增. 因为,所以,化简得 . 所以 , 当且仅当时取等号,故的最大值是 . 58 8.［广东东莞七校2025高一联考］已知 ,，若函数 与 的图象只有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ______________________；若有两个交点， 则满足条件的不同集合 有___个. （答案不唯一） 4 解析 函数的图象与,, 的图象分别有1个，1个，2个交点； 函数的图象与, 的图象都有2个交点； 函数的图象与 的图象有2个交点. 若函数 与 的图象只有1个交点，则或, . 若函数 与 的图象只有2个交点， 则,或或或 . 59 9.［辽宁名校联盟2024高一联考］已知幂函数的图象过点 . （1）求实数 的值； 【解】由函数是幂函数,得,解得 . 当时,函数的定义域为,显然此函数图象不可能过点,即 不符合题意； 当时,函数的定义域为,显然此函数图象可以过点 , 所以,函数, . 60 （2）设函数，用定义证明：在 上单调递减. 【证明】由（1）知,函数,则函数 . 任取,,且 ,则 , 由,得,且,因此, , 则,即 , 所以函数在 上单调递减. 61 10.［重庆西南大学附中2025高一月考］已知幂函数在 上单调 递增，二次函数 . （1）求实数 的值. 【解】因为幂函数在 上单调递增， 所以解得 . 62 （2）当时，,的图象恒在图象的下方，求实数 的取值范围. 63 [答案] 由（1）得 ， 当时， . 因为,的图象恒在 图象的下方， 所以，都有，即 ， 分离参数可得对 恒成立， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 即，所以 . 所以实数的取值范围为 . 64 （3）若，,恒成立，求 的最小值. 65 [答案] 若,, 恒成立， 则所以 即 所以 ， 当且仅当, 时取等号， 所以的最小值为 . 66 $$