3.2.2 奇偶性-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统覆盖概念理解、判断方法及应用三大模块，通过辨析题夯实概念基础，结合定义域分析、图像对称性等前后知识衔接，以题型递进（基础到提升）和易错点警示构建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，通过分类题型（如奇偶性判断、解析式求解）和规律总结（运算规律、解题步骤）培养推理能力，结合高考真题（如湖北黄冈中学考题）和教材衍生题强化应用，名师点拨与多种解法拓展思路。学生能提升逻辑思维和解题能力，教师可直接利用分层训练与总结提升教学效率。

数学 必修第一册 RJA 1 3.2 3.2 函数的基本性质 2 3.2 3.2.2 奇偶性 刷基础 3 1.下列说法正确的是( ) B A.偶函数的图象一定与 轴相交 B.若奇函数在处有定义，则 C.奇函数 的图象一定过原点 D.图象过原点的奇函数必是单调函数 题型1 函数奇偶性概念的理解 4 解析 A项,若定义域不包含0,则图象与 轴不相交; C项,若定义域不包含0,则图象不过原点; D项,奇函数不一定是单调函数.故选B. 题型1 函数奇偶性概念的理解 名师点拨 关于函数奇偶性的结论 （1）具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称； （2）在原点处有定义的奇函数,必有 . 题型1 函数奇偶性概念的理解 6 2.若函数 为奇函数，则必有( ) B A. B. C. D. 题型1 函数奇偶性概念的理解 7 解析 为奇函数, . 又, . 题型1 函数奇偶性概念的理解 3.［湖北黄冈十五校2025高一联考］下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递增的是 ( ) D A. B. C. D. 题型2 函数奇偶性的判断 9 解析 对于A,由，得定义域为，不关于原点对称，所以 不是奇函数， 故A错误； 对于C，的定义域为,且 ， 所以 是偶函数，故C错误； 对于B，，定义域为 ， 且，所以为奇函数，当时， ，且 在 上单调递减，故B错误； 对于D，，定义域为，且，所以 为奇函数， 且在定义域上为增函数，故D正确，故选D. 题型2 函数奇偶性的判断 10 4.［陕西汉中2024高一期中联考］给定四个函数：； ； ，； ，其中奇函数的个数为( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型2 函数奇偶性的判断 11 解析 ①函数是 上的偶函数,不是奇函数； ②函数的定义域为 ,定义域不关于原点对称,不是奇函数； ③函数, ,定义域不关于原点对称,不是奇函数； ④函数的定义域是,而 ,不是奇函数. 所以奇函数的个数为0.故选A. 题型2 函数奇偶性的判断 链接教材 本题目由教材P85练习第2题衍变而来，判断函数奇偶性的第一步是先判断定义域是否关于原点对称. 题型2 函数奇偶性的判断 5.（多选）［广东深圳外国语学校2025高一月考］已知函数 ，构造函数 ，则下列关于函数 的说法正确的是( ) BCD A.是偶函数 B. 是偶函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 题型2 函数奇偶性的判断 14 解析 因为，所以，显然的定义域为 ，且 ，故 是奇函数. 对于A，因为， ，所以 ，所以 不是偶函数，A错误； 对于B，因为，所以 是偶函数，B正确； 对于C，因为，所以 是奇函数，C正确； 对于D，因为，所以是奇函数，D正确.故选 . 题型2 函数奇偶性的判断 15 规律方法 奇函数奇函数 奇函数, 偶函数偶函数 偶函数, 奇函数×奇函数 偶函数, 偶函数×偶函数 偶函数, 奇函数×偶函数 奇函数； ②关于对称中心对称的两个点,其横坐标之和等于两倍对称中心的横坐标,纵坐标之和等于两倍对 称中心的纵坐标. 题型2 函数奇偶性的判断 16 6.［河北石家庄一中2025月考］函数 的奇偶性是________（从“奇函数”“偶 函数”“既奇又偶”“非奇非偶”中选一个恰当答案填入）. 奇函数 解析 由不等式，可得 ， 所以的定义域为 ，关于原点对称， 由，可得，所以函数 为 奇函数. 题型2 函数奇偶性的判断 17 7.［黑龙江哈尔滨2025高一月考］已知为上的奇函数，当时， ，则 当时， 的解析式为( ) C A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 18 解析 因为为上的奇函数，当时， ， 所以设，则，则 . 故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 归纳总结 利用函数的奇偶性求函数解析式的基本步骤 （1）设属于所求区间,可得出 属于已知区间； （2）求出 的表达式； （3）利用函数奇偶性的定义可得出（偶函数）或 （奇函数）； （4）得出函数 的解析式. 题型3 函数奇偶性的应用 20 8.［湖北宜昌部分学校2025高一期中联考］函数 的图象为( ) D A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 21 解析 由题知函数的定义域为 ，关于原点对称， 又 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A； 当时，，则 ，故排除C； 当时，，函数在上单调递增，且当 时， ， 故排除B.故选D. 题型3 函数奇偶性的应用 22 规律方法 若为奇函数,则其图象关于原点对称；若为偶函数,则其图象关于 轴对称. 题型3 函数奇偶性的应用 9.设奇函数的定义域为，当时，函数 的图象如图所示， 则使的 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 解析 因为函数是奇函数,所以在 上的图象关于坐标原 点对称,由在上的图象,知它在 上的图象,如图所示. 所以由图可知使的的取值范围为 .故选B. 题型3 函数奇偶性的应用 24 10.［重庆八中2025高一期中］已知函数是定义在上的偶函数，在 上单调递 增.若，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 25 解析 因为为偶函数，所以，即 ， 因为在上单调递增且为偶函数，所以在 上单调递减. 而，即 ， 故，解得或 ，故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 11.（多选）函数是定义在 上的奇函数，则下列说法正确的是( ) AB A. B.若在上有最小值，则在 上有最大值1 C.若在上单调递增，则在 上单调递减 D.若，，则， 题型3 函数奇偶性的应用 27 解析 选项A,因为是上的奇函数,所以,所以 ,A正确； 选项B,在上,,且存在,使得,则当时, , ,,即在 上有最大值1,B正确； 选项C,设,则,由已知得,即 ,所以 ,所以在 上单调递增,C错误； 选项D,设,则,,则 ,D错误. 故选 . 题型3 函数奇偶性的应用 28 12.［安徽池州一中2025高一期中］已知函数的定义域为， 是偶函数，当 时，恒成立，设，，，则，， 的大小 关系为( ) D A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 29 解析 当时， 恒成立， 函数在 上单调递增， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线 对 称，，， ，即 ， .故选D. 题型3 函数奇偶性的应用 13.［四川德阳2024高一月考］已知函数对任意的，有 ，设函数 ，且在区间上单调递增.若，则实数 的取值范 围为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 31 解析 因为函数对任意的,有, ,则 , 所以函数 为偶函数. 又函数在区间上单调递增,所以由,得 ,即 ,则 , 解得,故实数的取值范围为 .故选A. 题型3 函数奇偶性的应用 32 名师点拨 由及,可得函数 为偶函数,根据条件就构造了新的有奇偶性 的函数. 题型3 函数奇偶性的应用 14.［福建三明四校2025高一期中联考］已知函数且 ，则 的值为_____. 解析 令，则的定义域为 ，关于原点对称. 因为，所以 为奇函数， 所以 ， 所以 ， 将代入上式，可得 . 题型3 函数奇偶性的应用 34 15.［河南南阳六校2025高一联考］已知函数是定义在 上的奇函数，且 . （1）求, 的值； 【解】由函数是定义在上的奇函数，可知，即 ， 则 . 由，解得 ， 则，经检验为奇函数，满足题意，故， . 题型3 函数奇偶性的应用 35 （2）判断函数在区间 上的单调性，并用定义法证明； [答案] 函数在区间 上单调递增，证明如下： 由（1）可得，任取,，且 ， 则 . 因为，所以, ， 所以，即 ， 因此函数在区间 上单调递增. 题型3 函数奇偶性的应用 36 （3）解关于的不等式 . [答案] 因为函数是定义在 上的奇函数， 所以由，得 ，即 ， 由（2）知函数在区间 上单调递增， 所以解得 . 故所求不等式的解集为 . 题型3 函数奇偶性的应用 37 16.关于函数与 的奇偶性，下列说法正确的是 ( ) D A.两函数均为偶函数 B.两函数都既是奇函数又是偶函数 C.函数和 是非奇非偶函数 D.函数既是奇函数又是偶函数， 是非奇非偶函数 易错点1 忽略函数的定义域而致错 38 解析 函数有意义需满足 即,因此函数的定义域为,,关于原点对称,此时 , 满足,,所以函数 既是奇函数又是偶函数. 而函数的定义域为,不关于原点对称,因此函数 是非奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 易错警示 根据函数的解析式,判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域,只有在函数的定义域关于原点对 称的情况下,才能根据解析式是否满足, 判断函数的奇偶性.若函数的 定义域不关于原点对称,则可以直接说明函数是非奇非偶函数.本题中的两个函数,虽然化简后是 ,,但是由于定义域不同,因此函数既是奇函数又是偶函数, 是非奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 40 17.［重庆育才中学2025高一月考］已知奇函数的定义域为 ，满足对任意 ,，且，都有，且，则不等式 的解集为 ( ) B A. B. C. D. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图像的对称性而致错 41 解析 因为为奇函数，所以 . 设，定义域关于原点对称，则 ， 所以 为偶函数. 对于,，且，有 ， 设，则，得，即 ， 所以在上单调递增，所以在 上单调递减， 且， . 当时，由，得，解得 ； 当时，由，得，解得 . 综上，不等式的解集为 .故选B. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图像的对称性而致错 42 易错警示 求解与奇、偶函数有关的不等式问题要考虑奇、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间的单 调性,本题的易错之处是只考虑在上的性质,而忽视在 上的性质.为避免此 类问题出现错误,可根据函数的奇偶性、单调性作出函数的大致图象,根据图象解不等式. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图像的对称性而致错 43 3.2 3.2.2 奇偶性 刷提升 44 1.［江苏常熟2024高一期中］已知函数 ，则下列函数为奇函数的是( ) D A. B. C. D. 45 解析 由题得 . 对于A选项,,定义域为 ,不关于原点对称，为非奇 非偶函数； 对于B选项,,定义域为 ,不关于原点对称，为非奇非 偶函数； 对于C选项, ,为非奇非偶函数； 对于D选项,,定义域为 ,为奇函数. 故选D. 46 多种解法 ,故此函数图象的对称中心为 ,由函数图象的平移 变换可知的图象是将函数 的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度 得到的,则函数图象的对称中心也会从变为,故 为奇函数. 47 2.［河北石家庄二中2025高一期中］函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 48 解析 因为，且其定义域为，所以函数 为奇函数， 图象关于原点对称，所以排除A，B；又 ，所以排除C.故选D. 3.（多选）［重庆八中2025高一段考］已知是定义在上的偶函数，是定义在 上的奇函 数，且，在 上单调递减，则下列说法正确的是( ) ABC A. B. C. D. 50 解析 因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在 上单调 递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且 . 对于A，由在上单调递减，得，故 ，故A正确； 对于B，，因为在上单调递增，所以，又 在 上单调递减，所以 ，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，所以，又在 上单调递 减，所以 ，故C正确； 对于D，在上单调递增，故，但不确定, 的大小关系，则无 法比较,的大小，故D错误.故选 . 51 4.（多选）［四川成都石室中学2025高一月考］定义在上的函数 满足 ，当时， ，则下列说法正确的是( ) ABD A. B.若，则 C.函数在 上单调递增 D.不等式的解集为 52 解析 对于A，令，则，则 ， 令，则，则 ，A正确； 对于B，若，则， ， ， 故 ，B正确； 对于C，由于函数的定义域为，关于原点对称，取 ，则 ，即 为偶函数， 任取,，且，则 ， 因为，所以，则，则 ， 53 故函数在 上单调递减，C错误； 对于D，由C的分析可知函数为偶函数且在上单调递减，则在 上单调递增， 故由结合，可得，且 ， 解得，且，即的解集为，D正确，故选 . 5.（多选）某通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如 ， 其中，.已知定义在上不恒为0的函数，对任意, ， 有且满足 ，则( ) AD A. B. C.是偶函数 D. 是奇函数 55 解析 根据定义可得, , . 令,则 ,A正确； 令,则,得,令,则 ,得 ,B错误； 令,,则,即,又定义域为,所以 是奇 函数,故C错误,D正确.故选 . 56 名师点拨 对于抽象函数,赋值法是很好的处理方法,常令,0, 等探究抽象函数的单调性和奇偶性. 6.［山东潍坊2024高一期中联考］已知，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则 ____. 解析 由题可得 , 与相加得 , 故, , 故 . 58 多种解法 由题得,,又为奇函数, 为偶函数,所以 ,所以,同理得.所以 . 7.［福建福州十校2025高一期中］已知定义在上的函数（ 为常数）.若 ，则 ________. 2 023 解析 设,则,且定义域为 , 是奇函数,,与相加得 , . 60 8.已知函数 . （1）证明： 是奇函数； 【证明】令,则,所以 . 的定义域为 ,关于原点对称,,所以 是奇函数. 61 （2）若不等式成立，求实数 的取值范围. 【解】因为不等式,且 是奇函数,所以 . 62 作出 的图象,如图所示. ①当,即时,则有,解得,所以 ； ②当,即或时,则有 ,解得 ,所以 ； ③当,即或 时,不成立. 综上,实数的取值范围是 . 63 规律方法 判断函数奇偶性常用的方法 （1）定义法； （2）图象法. 要结合具体函数选择合适的方法求解. 64 9.［上海交通大学2022强基计划］偶函数满足，则 ___. 0 解析 令,得 , 又是偶函数,所以 , 所以,所以 , 故 是以4为周期的函数, 所以 . 65 $$