第3.1节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

数学 必修第一册 RJA 1 3.1 第3.1节综合训练 刷能力 2 建议用时：25分钟 1.［安徽合肥一中2025高一月考］已知函数的定义域为 ，且 ，，则 的值是( ) A. B. C. D. A 3 解析 在中，令，可得 . 令,，可得，即 . 在中，令，可得，则, . 在中，令，可得，令 ， 可得 .故选A. 2.如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，科研人员为了测 量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时注满，设注水过程中，壶中水面高度为 单位：，注水时间为单位：，则下列选项中最符合关于 的函数图象的是( ) A. B. C. D. A 5 解析 圆壶的结构是底端与上端细、中间粗,所以在注水水流速度恒定的情况下,开始时水的高度增 加的快,中间增加的慢,最后水的高度增加的速度又变快,由图可知选项A符合题意,故选A. 3.［湖南师大附中2025高一月考］若函数在定义域上的值域为，则称 为 “ 函数”.已知函数是“ 函数”，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. C 解析 由题意可知的定义域为，值域为 ， 而，，所以的值域为 . 当时，随的增大而增大，此时值域为 ； 当时，，函数的图象开口向上，对称轴为直线 ， 故此时随的增大而增大，值域为 . 因此解得 .故选C. 4.（多选）［山东淄博实验中学2025高一期中］对任意两个实数,，定义, 若,，下列关于函数, 的说法正确的是( ) A. B.方程 有三个解 C.当时，有 D.函数 有最大值为2，无最小值 9 解析 当，即或时， ， 当，即时， ， 则 对于A，, ，故A正确； 对于B，当或时，令，解得 . 当时，令，解得，则方程 有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或 . 当时，令，解得或 . 综上所述，当时，有 ，故C错误； 对于D，当或时， ，无最小值. 当时， . 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确.故选 . 5.［江苏扬州高邮一中2025高一月考］已知实数，函数 若 ，则实数 的取值范围是_____________________. 解析 当时，, ， 即，整理得， ， 则不等式恒成立，故 ； 当时，, ， 即，整理得 ， 即，解得 . 综上，实数的取值范围是 . 11 6.［河北石家庄二中2024高一月考］某公司生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，生 产量为（单位：万件）时，需另投入流动成本为 （单位：万元）.在年产量不足8万件时， ；在年产量不小于8万件时， ，每件产品售价为5元.通过市 场分析，该公司生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式.（注：年利润 年销售收入-固 定成本-流动成本） 【解】因为每件产品售价为5元,则万件商品销售收入为 万元,依题意得, 当时, , 当时, , 所以 12 （2）年产量为多少万件时，该公司在这一商品的生产销售中所获利润最大？最大利润是多少？ [答案] 当时, , 因此当时, 取得最大值9； 当时, , 当且仅当,即时, 取得最大值15. 因为 ,所以年产量为10万件时,该公司在这一商品的生产销售中所获利润最大,最大利润是 15万元. 13 $$