2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程、不等式”核心内容，涵盖不含参数与含参数不等式解法、三个“二次”关系、高次不等式、恒成立问题及实际应用等题型。课堂导入从教材例题（如P53练习）切入，衔接二次函数图像与方程根的关系，通过题型递进搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层题型设计与核心素养融合，通过归纳“穿针引线法”等解题步骤培养学生逻辑推理（数学思维），结合药液稀释、礼服租赁等实际问题引导学生用数学眼光观察现实世界，链接教材原题规范数学语言表达。学生能系统掌握解题方法，教师可直接利用题型分类和规律总结提升教学效率。

数学 必修第一册 RJA 1 2.3 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 刷基础 2 1.［福建泉州五中2025高一期中］设，使得不等式 成立的一个充分不必要条 件是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 3 解析 由即，解得.对比选项，只有 是 的真子集，可知不等式成立的一个充分不必要条件是 . 故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 2.下面四个不等式中解集为 的是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 解析 利用“ ”判断.在不等式 中,对应一元二次方程的判别式 , 该不等式的解集为 ,其他可类似判断.故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式变形,使二次项系数大于零； （2）计算对应一元二次方程的判别式； （3）求出相应的方程的根,或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 3.不等式 的解集为____________________________. 或 解析 由得或 ； 由得 . 或 . 原不等式的解集为或 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 8 链接教材 本题由教材P53练习第1题衍变而来，注意解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成 集合的形式. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4.［山东泰安一中2025高一月考］关于的不等式 恰有一个整数解， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D.或 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 10 解析 ，即 ， 令，解得或，且 ， 若，则不等式的解集为，由题意可得 ； 若，则不等式的解集为 ，不合题意； 若，则不等式的解集为，由题意可得，解得 . 综上所述，实数的取值范围是或 .故选B. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 11 5.关于的不等式的解集是的子集，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B.或 C.或 D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 12 解析 当,即时,的解集为 , ,符合条件. 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 综上, .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 13 6.（多选）已知关于的不等式 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的 是( ) BD A.不等式的解集可以是 B.不等式的解集可以是 C.不等式的解集可以是 D.不等式的解集可以是 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 14 解析 选项A,假设结论成立,则 无实数解,故选项A错误； 选项B,当,时,不等式恒成立,则解集是 ,故选项B正确； 选项C,当时,,则解集不可能为 ,故选项C错误； 选项D,假设结论成立,则 解得符合题意,故选项D正确.故选 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 15 7.求关于的不等式 的解集. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 16 【解】原不等式即为 . ①当时,,解得,故不等式的解集为 ； ②当时,,解原不等式可得,此时原不等式的解集为 ； ③当时,,解原不等式可得或,此时原不等式的解集为 或 ； ④当时,原不等式即为,解得,此时原不等式的解集为 ； ⑤当时,,解原不等式可得或,此时原不等式的解集为 . 综上所述,当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为或 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 17 规律方法 对含参数的二次型不等式的讨论顺序：第一步讨论二次项系数是否为0；第二步讨论二次函数 图象的开口方向；第三步讨论一元二次方程根的个数；第四步讨论根的大小. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 18 8.［辽宁辽南协作校2025高一联考］若关于的一元二次不等式 的解集为 或，则关于的不等式 的解集是( ) B A. B. C.或 D.或 题型3 三个“二次”之间的关系 19 解析 因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以,为关于 的一元二次方程的两根且 ， 所以 所以,，则不等式,即.因为 ，所以 ，即，解得，所以不等式 的解集是 .故选B. 题型3 三个“二次”之间的关系 20 9.（多选）［江苏苏大附中2025高一期中］已知关于的一元二次不等式 的解集 为或 ，则( ) AC A.且 B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 题型3 三个“二次”之间的关系 21 解析 依题意可得方程的根为或，且 , 所以即, . 对于A，由可得, ，故A正确； 对于B，易知 ，故B错误； 对于C，不等式，即，可得，所以不等式 的解集为 ，故C正确； 对于D，不等式，即，即 ，所以 ，解得或，即不等式 的解集为 ，故D错误.故选 . 题型3 三个“二次”之间的关系 22 10.［北京海淀区2025高一期中］若关于的不等式的解集为，则关于 的不 等式 的解集为( ) C A.或 B. C.或 D. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 23 解析 因为关于的不等式的解集为，所以，所以不等式 等 价于，即，解得或.所以关于的不等式 的解集为 或 .故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 11.［云南师大附中2024高一月考］若关于的不等式的解集是 ， 则关于的不等式 的解集是( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 25 解析 由题意可得,,即, , 则有,即,解得 或,即解集为或 .故选B. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 12.［吉林长春2025高一段考］不等式 的解集为__________________________ _____. 或或 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 27 解析 因为 ， 所以 即 令，解得, , ， ， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为或或 . 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 28 归纳总结 对于高次不等式可利用“穿针引线法”进行求解,求解的步骤如下: （1）对不等式进行移项并分解因式,使得不等式右侧为0且左侧每个因式中 的系数为正,例如本题 中需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准,从最右根的右上方往左下画线,依据“奇穿偶不穿”的原则依次穿过各根； （4）根据不等号方向选取轴上方或轴下方的部分（注意在 轴上的点的选取）,即可得出不等 式的解集. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 29 13.［湖南长沙雅礼中学2025高一月考］已知命题， 为真命题，则实 数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 30 解析 因为命题，为真命题，所以不等式的解集为 . 若，则不等式可化为，解得，不等式的解集不是 ； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得 . 综上可知， ，故选D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 链接教材 这道题目是由教材P58第6题改编得到,基本的解题思路是对 分类讨论,利用一元二次不等式的 解集与判别式的关系求解. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 32 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 14.［浙江杭州学军中学2024高一月考］若关于的不等式 在集合 上有解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 34 解析 因为不等式在集合上有解,所以 在集合 上有解,所以 . 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 15.（多选）［江西南昌大学附中2025高一月考］为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积 为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用 水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的可能取值为( ) CD A.4 B.40 C.8 D.28 题型6 一元二次不等式的实际应用 36 解析 第一次稀释后，药液浓度为 ， 第二次稀释后，药液浓度为 ， 依题意有，即，解得 ， 又，即，所以.故选 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意,搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 题型6 一元二次不等式的实际应用 38 16.［陕西部分学校2024高一联考］某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型6 一元二次不等式的实际应用 39 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元, 所以 , 即,解得.因为且,所以 , 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C. 题型6 一元二次不等式的实际应用 40 17.若集合 ，则实数 的取值范围是______________. 解析 ①若,则不成立,此时不等式 的解集为空集； ②若,则解得.综上,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 41 18.若不等式对任意实数均成立，则实数 的取值范围是_ ______________. 解析 ①当时, 恒成立,满足条件. ②当时,则,解得 . 综上,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 42 易错警示 在中学阶段,“判别式”是与“二次”联系在一起的,对于一元一次不等式不能应用判别式法来判 断.在处理与相关的问题时,要注意对 系数的讨论. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 19.解不等式： . 【解】原不等式可化为或,解得或或 . 所以原不等式的解集为或或 . 易错点2 随意消项致错 44 易错警示 易错解为,因为,所以,所以或 . 故原不等式的解集为或 . 错误的原因是随意消项,事实上,当 时,原不等式亦成立. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 20.［广东茂名2025高一月考］解不等式： . 【解】原不等式可化为 解得,所以原不等式的解集为 . 易错点3 认为分式不等式与二次不等式等价致错 46 易错警示 认为分式不等式与二次不等式等价,没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 2.3 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 刷能力 48 1.［辽宁省实验中学2024高一期中］已知集合， ，则 ( ) D A. B. C. D. 49 解析 , , . 故选D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 2.［河北衡水2025高一月考］“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 51 解析 由且，解得或 ，记不等式的解对应集 合或，由或，解得或 ， 记不等式的解对应集合或，显然是的真子集，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 3.在上定义运算，则满足的实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 53 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4.［重庆部分学校2025高一期中联考］若关于的不等式对 恒成立， 则 的取值集合为( ) D A. B. C. D. 55 解析 当时，不等式化为，对 恒成立； 当时，要使得不等式对 恒成立，则 解得 . 综上，的取值集合为 .故选D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 规律方法 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 ，对于一元二次不等式 ，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为 的条件为 57 5.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 58 解析 不等式,可化为 . 当时,不等式 的解集为空集,不符合题意； 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 ; 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 . 综上可得,实数的取值范围是或 .故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6.（多选）已知关于的不等式的解集是，其中 ， 则下列结论中正确的是( ) ACD A. B. C. D. 60 解析 由题设,不等式,即的解为 , ,则, ,则A,D正确； 原不等式可化为,令 ,由题 意可知函数图象开口向下,与轴两交点的横坐标分别为 和1,与直 线两交点的横坐标分别为,,且 ,作出大致图象如图 所示, 由图知, ,故B错误,C正确.故选 . 61 7.（多选）［湖北武汉2025高一月考］已知关于的不等式 ，下列结论正确 的是( ) ACD A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式的解集为 的形式 C.当时，不等式的解集为 D.如果不等式的解集恰好为，那么 62 解析 由，得，当时， ， 从而不等式的解集为 ，故A正确. 在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象及直线和 ，如图所示. 由图知，当时，不等式 的解集为 的形式，故B错误. 当时，不等式的解集为 ，C正确. 由不等式的解集恰好为，可知，即，且 ， 63 时函数值均是，得，解得或，当 时，由 ，解得或，不满足 ，不符合题意; 当时，由，解得或，只有满足，所以 ，此 时，故D正确.故选 . 8.［山东部分学校2025高一期中联考］如图，某小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型 平面图是由两个周长均为的相同的矩形和 构成的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为2 000元/ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶， 造价为100元/；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/ .若要使总造价 不高于24 000元，则正方形周长的最小值为___ . 4 65 解析 设正方形的边长为，则矩形的长，宽分别为 ， ，所以，， ， 所以总造价，且 ，所以 ，则，解得 ， 故，则正方形周长的最小值为 . 66 特别注意 实际问题中一定要注意隐含条件,如本题中 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 9.［江苏徐州三中等校2025高一期中联考］已知，关于的不等式 的解集中 有且仅有3个整数，，，则___，实数 的取值范围为_ ______________. 3 68 解析 由题意，，即 . 设不等式的解集为，则， ， 则 . 因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以 ， 即，解得 ， 所以的图象的对称轴满足，而 ，即离对称 轴最近的整数只有3，所以 ，所以三个整数解为2,3,4， 所以解得 , 即的取值范围为 . 69 10.［2024中国科学技术大学创新班考试］求所有的实数，使 对任意 恒成立. 70 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价 . 当时，有 ， ， ； 当时，有 ， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 71 $$