2.1 等式性质与不等式性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“等式性质与不等式性质”核心内容，通过隧道限高、军训考核分数等现实情境导入，衔接等式性质旧知，以“刷基础”到“刷能力”的题型分层（不等关系建立、性质应用、比较大小等）搭建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于结合现实情境题培养数学眼光（如从军训分数提炼不等关系），通过作差法、参数法等培养数学思维（如利用不等式性质求取值范围的推理过程），以规范符号表达和解析步骤强化数学语言。含各地模拟题及易错提示，学生能提升解题能力与思维严谨性，教师可借助分层题目和详细解析优化教学。

数学 必修第一册 RJA 1 2.1 2.1 等式性质与不等式性质 刷基础 2 1.（多选）下列关于不等关系的说法正确的是( ) ACD A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度 （米）满足 B.用不等式表示“与的差是非负数”为 C.不等式的含义是指 不小于2 D.若或之中有一个成立，则 成立 题型1 不等关系的建立 3 解析 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“ ”表示,故选项A正确； 因为“非负数”即为“不是负数”,所以 ,故选项B错误； 因为不等式表示或,即 不小于2,故选项C正确； 因为不等式表示或,所以若或中有一个成立,则 一定成立,故选项D 正确.故选 . 题型1 不等关系的建立 4 2.［河北邢台部分学校2025高一联考］在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数， 甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ，则用不等式组表 示为( ) D A. B. C. D. 题型1 不等关系的建立 5 解析 由题意得 故选D. 题型1 不等关系的建立 3.［北京一零一中学2025月考］已知 ，则下列说法一定正确的是( ) D A. B. C. D. 题型2 不等式的性质 7 解析 当,,时，，且 ，故A，C错误； 因为，，所以 ，故B错误； ，故D正确.故选D. 题型1 不等关系的建立 4.［湖南长沙2024高一质量检测］下列说法中，错误的是( ) A A.若，，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则 题型2 不等式的性质 9 解析 对于A,取,,则 ,故A错误； 对于B,由,,得 ,故B正确； 对于C,,由,,得,所以 ,故C正确； 对于D,由,得,又,所以 ,故D正确.故选A. 题型1 不等关系的建立 5.已知，则,, 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型3 利用不等式的性质比较大小 11 解析 ,,, , , .故选B. 题型1 不等关系的建立 归纳总结 作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等.比较含参数的量的大小时,若不能确定 差的符号,可对参数进行分类讨论. 题型1 不等关系的建立 6.［浙江杭州六校2024高一联考］设， ，则有( ) C A. B. C. D. 题型3 利用不等式的性质比较大小 14 解析 ,故 ,故选C. 题型1 不等关系的建立 规律方法 比较大小的常用方法 （1）作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论. （2）作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系；④下结论. 题型3 利用不等式的性质比较大小 16 链接教材 这道题目是由教材P43第3题改编得到,基本的解题思路是作差法比较大小. 题型1 不等关系的建立 7.［安徽部分学校2025高一联考］设，，则与 的大小为________. 解析 因为， ，则 ，故 ，当且仅当 时取等号. 题型3 利用不等式的性质比较大小 18 8.［江苏淮安部分学校2025高一期中联考］若，，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 19 解析 因为，，所以， ， 所以，所以的取值范围为 .故选A. 题型1 不等关系的建立 9.［辽宁抚顺六校2025高一期中］若，，则 的取值范围为__________ __________________. 解析 因为，，所以，，则 .所以 的取值范围是 . 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 21 10.实数,满足， . （1）求实数, 的取值范围； 【解】由,,两式相加得,则 . 由,得 . 又,两式相加得,则 . 综上,实数的取值范围是,实数的取值范围是 . 易错点 误用不等式的性质而致错 22 （2）求 的取值范围. [答案] 设,则 解得 . , , ,,则 . 的取值范围是 . 易错点 误用不等式的性质而致错 23 易错警示 同向不等式的两边可以相加,但是这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就 有可能扩大了所求代数式的取值范围,如若由,,得到 及 ,得到,,两式相加得 ,就扩大了取值范围.因为 每个不等式中的,不是相互独立的,是相互制约的,即随着的变化而变化.在这里需要把 和 各自看作一个整体,用待定系数法令,求出, 的值,然后利用 不等式的性质即可求出 的取值范围. 易错点 误用不等式的性质而致错 24 2.1 2.1 等式性质与不等式性质 刷能力 25 建议用时：30分钟 1.［陕西咸阳2025高一期中］已知，为正实数，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 26 解析 由，得，所以 ，则充分性成立； 由，得，则，所以 ，则必要性成立. 综上可知，“”是“ ”的充要条件.故选C. 题型1 不等关系的建立 2.已知, ，则( ) B A. B. C. D. 28 解析 由题知,所以,故 . 又由可知,,故 . 因为, ,且 ,所以,故 .故选B. 题型1 不等关系的建立 3.［山西大同部分学校2025高一联考］若，，则 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 30 解析 设，其中， ， 则，所以解得 所以 . 因为，，所以， ， 由不等式的性质可得，即 ， 因此的取值范围是 .故选C. 31 4.［江西景德镇一中2024高一月考］已知，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 32 解析 因为,所以,则有,所以,即 ,所以 .故选B. 题型1 不等关系的建立 5.［浙江金华部分学校2025一模］某高中高一（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题， 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备.已知该班的 女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题的人数多于选辩题 的人数，则( ) A A.选辩题的女生人数多于选辩题 的男生人数 B.选辩题的男生人数多于选辩题 的男生人数 C.选辩题的女生人数多于选辩题 的男生人数 D.选辩题的男生人数多于选辩题 的女生人数 34 解析 设选辩题的男生有人，选辩题的女生有人，选辩题的男生有人，选辩题 的女生 有 人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题的人数多于选辩题 的人数， 即，且,,, . 将这两个不等式相加得到，把移项得到，即 . 这就意味着选辩题的女生人数多于选辩题 的男生人数.故选A. 35 6.已知,,,是正实数,若 ,则下列判断正确的是( ) B A. B. C. D. 36 思路导引 观察题中式子, ,每一项的分母都不一样,分子相加为 ,可以将每项的分母都放大成,则的值变小,可以得到 的最小值； 再考虑如何求的最大值,因为分母放大为 ,若每项的分子和分母加上同一个数,则分子 的和为,再由,,, 为正实数,且分母大于 分子时,分子、分母同时加上一个正数,分式的值变大,可知的值变大,可以得到 的最大值,从而求得 的范围. 题型1 不等关系的建立 解析 ,,, 是正实数, , , . 38 名师点拨 对于一些代数式,如果要比较大小或求其取值范围,有时候会采用对各分母逐项缩小或放大来达到 目的,可以从把分母放缩成同一个式子的角度入手.比如：已知,, , ,比较,的大小,可先将 的各分母逐项放大. ,,,,, ,由不等式 的基本性质得,即 . 39 二级结论 与分式有关的性质 假设,,,是不同的整式,且,,, . （1）若分子、分母都为正数,且分子小于分母,则分子、分母同时加上一个正数,分式值变大；若分 子、分母同时减去一个正数（减后的分子、分母依然大于0）,分式值变小. （2）若,且,则,, . 40 7.（多选）［内蒙古赤峰二中2025高一月考］已知实数，，满足，且 ， 则下列结论中正确的是( ) ABD A. B. C. D. 41 解析 且，则， . 对于A， ，A正确. 对于B，由，，得 ，B正确. 对于C，由，可知，， ， 当时，，则 ； 当时，，则 ； 当时，，则 ，C错误. 对于D，，D正确.故选 . 42 8.已知实数，满足，，则 的取值范围为_ _______________. 解析 ,, , , ,即 . 43 9.［陕西榆林十中2024高一期中］证明下列不等式： （1）已知，求证： ； 【证明】,即, , ,则 . 44 （2）已知,,，求证： . [答案] ,, , , ,, , 则 , . 45 $$