1.2 集合间的基本关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、相等与空集等核心知识点，通过基础题与提升题分层设计，结合归纳总结和易错点剖析，搭建从概念理解到应用的学习支架，衔接集合的概念与表示，帮助学生构建系统知识脉络。 其亮点在于以题型为载体融入二级结论和多种解法，通过集合相等的元素互异性检验、求参数时的空集讨论等实例，培养学生的抽象能力和推理意识，助力教师高效教学，提升学生数学思维与应用能力。

数学 必修第一册 RJA 1 1.2 1.2 集合间的基本关系 刷基础 2 1.（多选）下列说法中，正确的有( ) ABD A.是菱形 是平行四边形} B.若，，则 C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.若不属于集合的元素一定不属于集合，则 题型1 子集、真子集的概念 3 解析 菱形一定是平行四边形,故选项A正确； 真子集具有传递性,故选项B正确； 若一个集合是空集,则没有真子集,故选项C错误； 由图易知选项D正确.故选 . 题型1 子集、真子集的概念 2.设集合，, ，则它们之间最准确的关系是( ) C A. B. C. D. 题型1 子集、真子集的概念 5 解析 由集合得,,则 . 由集合得, , 则…,-,,,,,,,… . 所以 ,故选C. 题型1 子集、真子集的概念 归纳总结 判断集合间的关系的技巧 （1）对于离散的数集和点集可以采用列举法写出一部分元素,观察两集合的关系； （2）对于连续数集可以用数轴分析其关系； （3）对于较为抽象的其他集合可以检验其中一个集合中的元素是否满足另外一个集合中元素所 满足的条件,从而判断该集合是否包含于另外一个集合. 题型1 子集、真子集的概念 7 3.［河南豫北名校2025高一联考］设集合，,，则 的非空子 集的个数为( ) C A.3 B.4 C.7 D.8 题型1 子集、真子集的概念 8 解析 要使，，则,4,9，故中含有三个元素，所以的非空子集有， ， ，，，， ，共7个.故选C. 题型1 子集、真子集的概念 二级结论 若集合中有个元素,则其子集个数为,非空子集个数为,真子集个数为 ,非空真子集 个数为 . 题型1 子集、真子集的概念 4.已知集合,，,},则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 子集、真子集的概念 11 解析 由题得,.因为,所以根据子集和真子集的定义,集合 必须含 有元素2,5,所以或或 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 多种解法 由题易知中有2个元素,中有4个元素,且,则集合有 （个）. 题型1 子集、真子集的概念 13 二级结论 若集合中有个元素,集合中有个元素,且 . 当时,集合有 个； 当时,集合有 个； 当时,集合有 个； 当时,集合有 个. 题型1 子集、真子集的概念 5.已知集合，.若，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 根据集合间的关系求参数 15 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 . 故选C. 题型2 根据集合间的关系求参数 链接教材 本题由教材P9第5题衍变而来，解此题需注意根据题中给出的包含关系分别讨论 和 的情况. 题型2 根据集合间的关系求参数 17 6.［广东潮州部分学校2025高一期中联考］已知集合,，,,，若 ， 则实数 的取值集合为____. 解析 因为，所以，所以或，即或 . 当时，，，满足；当时，,，,0, ，不 满足.综上，，因此实数的取值集合为 . 题型2 根据集合间的关系求参数 18 7.［河北师大附中2024高一月考］下面选项中的两个集合相等的是( ) C A., B.,, C., D. , 题型3 集合相等与空集 19 解析 对于A,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故A错误； 对于B,集合表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合是点集,只有1个元素,为 ,所以不是相等 集合,故B错误； 对于C,解方程,得,即 ,故C正确； 对于D,集合是空集,但集合是非空集,集合中有1个元素 ,所以不是相等集合,故D错误.故选C. 题型3 集合相等与空集 特别注意 注意区分数集与点集,分辨集合元素的无序性和元素为有序点对时点对的有序性. 题型3 集合相等与空集 8.［重庆巴蜀中学2025高一月考］下列五个关系式：,,；,, ； ；； ，其中正确的个数是( ) C A.1 B.3 C.4 D.5 题型3 集合相等与空集 22 解析 ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合都是自身的子集；③错误， 表示空 集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以 不成立；④正确，空集是任何集 合的子集；⑤正确，由元素与集合的关系知， .故选C. 题型3 集合相等与空集 9.［贵州贵阳2025高一月考］若含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成, , ，则 ___. 1 解析 由,,以及集合中元素的性质可知且,则, , ,则,（舍去）, . 题型3 集合相等与空集 24 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或 与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条件 是否一致，若均一致,则两个集合相等. （3）证明集合与相等的常用思路是证“且 ”. 题型3 集合相等与空集 25 10.（多选）［海南三亚一中2025高一期中］以下写法正确的是( ) AC A. B. C. D. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 26 解析 对于A，，故A正确；对于B，因为,表示集合，所以 ，故B 错误；对于C，由 ，故C正确；对 于D，根据集合与集合的关系，，故D错误.故选 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 易错警示 （1）元素与集合的关系为属于、不属于；集合与集合的关系为包含、不包含. （2）集合相等也是集合包含关系的一种情况. （3）空集和 并不相等. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 11.设集合，，若，则实数 取值集合的真子集 的个数为( ) C A.2 B.3 C.7 D.8 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 29 解析 由 , 得,解得或 , 所以 . 当时, ,满足 ； 当时,,因为,所以或,解得或 . 综上,实数取值的集合为 , 所以实数取值集合的真子集的个数为 ,故选C. 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 30 易错警示 求解含参数的集合时,应考虑该集合为空集的特殊情况,本题求解的易错之处是忽视集合 为空集的 特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 12.［辽宁沈阳东北育才中学2025高一月考］已知集合或, ， 若，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C.或 D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 32 解析 集合或 , ,当时，不成立，此时 ，满足 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 . 综上可知， .故选A. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 33 易错警示 在根据集合间的关系求参数时,需要注意端点处是否取等号,最有效的方法是假设可以取等号,如果 满足题中条件就可以取等号,不满足则取不到等号. 本题还要考虑 的情况. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 1.2 1.2 集合间的基本关系 刷提升 35 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 36 解析 2是质数,但它不是奇数,所以{质数} {奇数}错误,所以A错误； 集合与集合有相同的子集 ,所以B错误； 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以C正确； 若,,则,所以D正确.故选 . 2.设集合,.若,则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 38 解析 由题化简得集合,结合数轴可知,要使,则只要即可,即实数 的取值 范围是 .故选D. 归纳总结 根据集合间基本关系求参数时,应根据集合的元素种类（数集、点集）,转化为对应方程（组）或 不等式（组）,再求出参数的值或取值范围.转化过程可借助数轴、 图、函数图象等. 3.［黑龙江哈尔滨2025高一期末］若 ，则下列说法正确的是( ) D A. B. C., D. 41 解析 ，是以空集为元素的集合，不是集合 的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 4.［山东泰安一中2025高一月考］下列每组集合是相等集合的是( ) D A.， B.， C.， D.， 43 解析 对于A，，,,0,1,，故 ， 所以A错误；对于B，为点集，为数集，故 ，所以B错误； 对于C，，，故 ，所以C错误；对于D，数集 和数集所含元素相同，故 ，所以D正确.故选D. 5.［河南二十名校2024高一联考］已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 45 解析 由集合,, }, 可得集合中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为 集合,所以符合条件的集合共有 个.故选A. 6.［福建福州、宁德五校2025高一期中联考］集合, ， ,，, }的关系是( ) A A. B. C. D. 47 解析 根据集合的概念可知，集合表示所有被7除余5的正整数以及所构成的集合，集合 表 示所有被7除余5的正整数所构成的集合，所以且.集合 表示所有被14除余5的正整 数所构成的集合，任取，则，，所以，则 ，又 ，，所以.综上， ，故选A. 7.［北京四中2025高一期末］正交数组的概念在现代广泛应用.设集合 ,,,2,3,，任取, ，若 ，则称与正交.若，且 中任意两 个元素均正交，则 中元素个数最多是( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 49 解析 不妨设 ， 由，则中最多再包含,, , ,, 这6个元素， 设这6个元素组成的集合为，则中存在两个元素在集合中时，满足题意，如 , , ， 且中存在三个元素在集合中时，满足题意，如,, , ,但其中有4个元素在集合中时，不满足题意，同理，其中有5个或6个元素在集合 中时，均不满足题意. 因此若，且中任意两个元素均正交，则 中元素个数最多是4.故选C. 50 8.［江苏泰州2025高一月考］设集合,,，若集合 的各个非空子集元素和的总和是64， 则 ____. 16 解析 由,,，得的非空子集为,,,,,,，,,,, ，若 集合的各个非空子集元素和的总和是64，则，故 . 51 9.［湖北孝感高级中学2024高一调研］已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 思路导引 根据集合关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数的关系,可 求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属 于,进而得到满足条件的集合 的个数. 52 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程 的整数解只能是36的约数. 当方程的解为,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时, ； 当方程的解为,9时, ； 当方程的解为,6时, ； 当方程的解为1,时, ； 当方程的解为2,时, ； 当方程的解为3,时, ； 53 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则,得集合 中互为相反数的两个元素同属于 集合或同不属于集合 . 因为集合 中有4对相反数和元素0, 所以这样的非空集合共有 个. 10.［天津经济技术开发区一中2025高一月考］已知集合 . （1）若 ，求实数 的取值集合. 【解】因为 ，所以 . 当时，,则 ，与题意矛盾; 当时，则，解得 . 综上，实数的取值集合为 . 55 （2）若的子集有两个，求实数 的取值集合. [答案] 因为的子集有两个，所以集合 中只有一个元素. 当时，由（1）知， ，符合题意； 当时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为 . 56 11.［2023全国高中数学联赛北京赛区预赛］是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素 的平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 57 解析 ，，，，，，，， ， 的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7， 0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , , ,1,4,7中的任意两个数（可相同）的和（除0和0外，为了方便，研究倍数时一般不 包括0）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的 倍数. , 中的数的平方是9的倍数的有674个， 的最大值为 . 58 $$