1.1 集合的概念-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

数学 必修第一册 RJA 1 1.1 1.1 集合的概念 刷基础 2 1.下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有学 生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 3 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据近似值的标准不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能 构成集合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的所有正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 4 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的标准,确定 任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 2.［湖南部分学校2025注高一联考］集合,, 中的三个元素表示某一个三角形的三边长度， 那么这个三角形一定不是( ) A A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 题型1 集合的含义与元素的特征 6 解析 根据集合中元素的互异性得,, ，故这个三角形一定不是等腰三角形.故选A. 题型1 集合的含义与元素的特征 3.由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 集合的含义与元素的特征 8 解析 由题意,,,可分别化为,,,所以由实数,,,,, 所组 成的集合,最多可含有3个元素,分别为,,,此时且 .故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 名师点拨 集合中的元素满足互异性,相同的元素只能算一个. 题型1 集合的含义与元素的特征 4.［广东广州2025高一段考］给出下列6个关系式：，， ， ，， ，其中正确的个数为 ( ) A A.4 B.2 C.3 D.5 题型2 元素与集合的关系 11 解析 ，，，，因此①③④⑤正确;， ，因此 ②⑥不正确.所以正确的个数为4.故选A. 题型2 元素与集合的关系 5.［吉林延边2025高一期中］若,3,4,，则 所有可能取值的集合为( ) B A. B. C.,0,3, D. 题型2 元素与集合的关系 13 解析 由,3,4,，得或或或.当时， ，不满足集合 中元素的互异性，故不符合题意；当时，，符合题意；当时， ，符 合题意；当时，得舍去，此时 ，符合题意. 所以所有可能取值的集合为 .故选B. 题型2 元素与集合的关系 6.（多选）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是 ，则下列 判断正确的是( ) CD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 15 解析 ,,同为正数时,代数式的值为4,所以；当,, 中只有一个负数或只有两个负数时,代 数式的值为0，所以；当,,同为负数时,代数式的值为，所以.故选 . 题型2 元素与集合的关系 7.［四川遂宁部分学校2025联考］已知集合,,, ， ，则( ) C A.且 B.且 C.且 D.且 题型2 元素与集合的关系 17 解析 根据题意可得,集合中的元素是27的正整数倍，集合 中的元素是111的正整数倍.易 知，可得 既是27的倍数，又是111的倍数， 因此且 .故选C. 题型2 元素与集合的关系 8.已知集合，且,, . （1）判断是否为 中元素； 【解】因为,此时,,不满足,所以 不是 集合 中元素. 题型2 元素与集合的关系 19 （2）设，求证： ； 【证明】因为,所以可设,, ,所以 .因为, 都是整 数,且,所以 . 题型2 元素与集合的关系 20 （3）证明：若，则 为偶数. 【证明】因为,所以可设 ,所以 .由,可得 .因为 ,所以为偶数,即 为偶数. 题型2 元素与集合的关系 21 规律方法 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:对于一些没有直接给出元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 征即可. 题型2 元素与集合的关系 22 9.［湖南株洲二中2025高一月考］集合, }用列举法表示为( ) C A.,,0,1, B.,0,1, C. D. 题型3 集合的表示方法 23 解析 由，解得，所以, }= .故选C. 题型3 集合的表示方法 10.［北京北师大附中等校2025高一联考］方程组 的解集是( ) C A., B., C., D.,或, 题型3 集合的表示方法 25 解析 由解得或所以方程组的解集是, . 故选C. 题型3 集合的表示方法 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由有序实数 对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 11.已知集合，,，则集合 中的元素个数为( ) A A.5 B.6 C.8 D.9 题型3 集合的表示方法 28 解析 集合,,,则当时, ； 当时,或 ; 当时,或 . 所以,,0,1,,集合 中有5个元素.故选A. 题型3 集合的表示方法 12.［陕西西安2025高一月考］已知集合，则下列与 相等的集合的个数为( ) ； ； ； , . C A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 集合的表示方法 30 解析 对于①， . 对于②，}中解得 ，故 . 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，，所以, , . 对于④，,.所以与 相等的集合的个数为2.故选C. 题型3 集合的表示方法 31 13.［江苏南京四校2024高一期中］已知集合，若集合 中只有一个元素， 则实数 的取值集合是________. , 解析 当时,由方程,解得,此时集合 中只有一个元素； 当时,因为集合中只有一个元素,所以,解得 . 综上,实数的取值集合为, . 题型3 集合的表示方法 32 名师点拨 当时,利用判别式即可求解 的值. 题型3 集合的表示方法 14.选择适当的方法表示下列集合. （1） 中的所有字母组成的集合； 【解】列举法：列举出所有字母得{,,,,, }. （2）所有正偶数组成的集合； [答案] 描述法：正偶数可以写成正整数的2倍,所以用描述法表示为, . 题型3 集合的表示方法 34 （3）二元二次方程组 的解集； [答案] 列举法：求出该方程组的解,为或所以用列举法表示为, . （4）所有正三角形组成的集合. [答案] 描述法：是正三角形 . 题型3 集合的表示方法 35 链接教材 本题目与教材P6第4题类似，选择集合表示方法需要注意： ①元素较少的有限集采用列举法更好,列举时注意元素的互异性； ②文字描述的无限集用描述法更好,注意写清楚代表元素； ③方程组的解集是点集,元素是有序实数对. 题型3 集合的表示方法 36 15.集合,,，若，则实数 ___. 2 解析 因为,所以或 . 若,则或,当时, ,不满足集合中元素的互异性,舍去； 当时, ,满足题意. 若,则,此时,不满足集合中元素的互异性,舍去.综上, . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 37 易错警示 本题是含参数的集合问题,根据题意求出参数的值后，要注意代入检验参数的值是否满足集合中元 素的互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 16.（多选）［福建泉州2024高一期中］给出下列说法，其中正确的是( ) AD A.集合用列举法表示为， B.实数集可以表示为为所有实数或{ } C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 39 解析 对于A,解,得或或,而,因此列举法表示为 ,A正确； 对于B,符号“{}”包含“所有”“全体”等含义,而“ ”已表示所有的实数构成的集合,则实数集 可以表示为为实数或 ,B不正确； 对于C,方程组的解是有序实数对,而 表示两个等式组成的集合,C不正确； 对于D,由得且,因此方程的所有解组成的集合为 ,D正 确.故选 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 40 易错警示 注意区分点集和数集,注意常用集合,, 等外面不需要再加大括号. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 17.［湖北新高考协作体2025高一期中联考］用列举法表示集合 的结果为________ __. 解析 由可知为6的约数，所以 ,2,3,6. 又，所以,7,6,3，此时,3,2,1，因此集合 用列举法表示为 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 42 18.［辽宁省实验中学2025高一月考］已知集合,,, , ,,,，定义集合 , ，则 中有____个元素. 63 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 43 解析 ,,,,,,,, , ,, ，有9个元素（即9个点）， ,,,,,,,, , ,,,,,,，，, , ,,,,,,,,,,,,, , ,,,,，有 个元素（即35个点）， 所以或或或或0或1或2或3或4，共有9个值，或或 或0或 1或2或3，共有7个值， 所以,中的元素有 个. 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 44 易错警示 若集合中的元素是自定义的,对自定义的正确理解是解题的关键. 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 45 19.［厦门大学2024强基计划］以下数集与自然数集等势的是( ) 注：若存在从集合到集合的一一对应，则称与 等势. B A.实数集 B.整数集 C.无理数集 D.以上均是 46 解析 ，时可令对应中的,时可令对应中的 ，即可建立一一对应 关系，故整数集与自然数集等势；实数集、无理数集与自然数集之间都无法建立一一对应关系， 故选B. 20.［南京大学2024强基计划］集合,为120的倍数， 的元素个数为 ____. 19 48 解析 由，可知, 的奇偶性相同， 又为120的倍数，所以, 均为偶数， 由，可知, 中必有一个为10的倍数， 结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为1,2,0,1,2,0, ， ①若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ②若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ③若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意， 可知，均可为10的倍数，此时 的值有2个； 且，即, ， 在1到151中，可知10的倍数有15个，30的倍数有5个，考虑到150的唯一性， 所以的元素个数为 . 49 特别注意 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）. 50 $$