第二章 专题2 函数的性质及应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数性质及应用，涵盖分段函数、单调性、奇偶性、周期性等核心题型，通过各地月考及竞赛真题导入，衔接函数定义与基本性质，构建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于精选典型例题，注重解题规律总结，通过图像分析与逻辑推理培养学生数学思维和抽象能力，如分段函数求值题引导学生用数学语言规范表达。学生能提升解题逻辑，教师可高效开展分层教学。

数学 必修第一册 BS 1 2 专题2 函数的性质及应用 刷难关 2 1.［河南郑州外国语2024高一月考］已知实数，函数 若 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 题型1 分段函数的应用 3 解析 因为,所以, , 所以, . 因为,所以,解得 .故选A. 题型1 分段函数的应用 4 2.［湖南怀化2025高一期中］已知函数有最大值，则实数 的取值范围 为( ) B A. B. C. D. 题型1 分段函数的应用 5 解析 当时, . 当,时,,此时函数 的最大值为4,符合题意； 当时,在上单调递减,故 , 若有最大值,则,得 . 综上可得 ,故选B. 题型1 分段函数的应用 6 3.［江西南昌2025高一期中］定义,若函数 ， ，且在区间上的值域为，则区间 长度的最大值为( ) B A.1 B. C. D. 题型1 分段函数的应用 7 解析 由题知 作出函数的图象如图所示，其中， ， 若，则当或时，由，得 ， 即或 ； 若，则当时，由，得 . 由图象知若在区间上的值域为，则区间 长度的最 大值为 ，故选B. 题型1 分段函数的应用 4.［福建福州四中2024高一期中］已知函数是偶函数，且对任意的 , ，有.若，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 9 解析 依题意,对任意的,,有 , 所以在区间上单调递减.又 是偶函数, 所以由可得,两边平方得 ,解得 .所以实数的取值范围是 .故选A. 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 10 规律方法 判断函数的单调性,除了利用的符号来进行判断外,还可以利用 , 等的符号来进行判断. 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 11 5.（多选）［黑龙江省实验中学2025高一月考］已知函数 ，则下列结论正确的 是( ) ACD A. 是奇函数 B.的值域为 C.当时，恒有 成立 D.若，，，且，则 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 12 解析 对于A，的定义域为 ， 又，所以 是奇函数，故A正确； 对于B，由对勾函数的性质知在上单调递减，在 上单调递增，且 在上的值域为 ， 而在上单调递增，所以在上单调递减，在 上单调递增， 且 ， 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 13 由奇函数的对称性知在上单调递增，在上单调递减，且 ， 所以的值域为 ，故B错误； 对于C，当时，恒成立，所以恒有 成立， 故C正确； 对于D， ， 因为，，，且 ， 所以，故，当且仅当时等号成立，而 时， ，又,故等号不成立，所以 ，故D正确. 故选 . 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 6.［河南部分学校2025高一联考］已知定义在上的函数满足 ，且函数 在区间上单调递增，则关于的不等式 的解集为______ _______. 解析 因为，所以 ， 设，则 ，且 的定义域为,所以函数为偶函数.又函数在区间上单调递增， 在 上单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 则关于的不等式可变形为 ， 即，所以，解得，所以关于 的不等式 的解集为 . 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 15 7.［四川成都石室中学2025高一月考］已知是二次函数，且满足 , . （1）求 的解析式. 【解】由题意设， ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 故解得 故 . 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 16 （2）当时，求 的最大值. [答案] 当时， ， 令，则 ， 故 ， 由基本不等式得，当且仅当，即，即 时，等号成立， 则 ， 故 的最大值为1. 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 17 （3）已知函数满足以下两个条件：的图象恒不在 图象的 上方；②对任意,恒成立，求 的最大值. [答案] 由题意得在 上恒成立， 令得，故 ， 不等式恒成立，即在 上恒成立， 故 故 ， 故，即 ， 所以 ， 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 18 此时，当且仅当 , ,时，等号成立，此时在 中， 则恒成立，即 恒成立. 综上，的最大值为 . 题型2 函数的单调性、奇偶性与最值 8.［江西景德镇一中2025高一期中］已知函数的定义域为,为奇函数， 为偶 函数，则 ( ) B A.0 B.16 C.22 D.32 题型3 函数的周期性和图象的对称性 20 解析 因为为奇函数，所以，且函数的图象关于点 中心对称，即 . 因为为偶函数，所以，所以 ， 所以，，所以，所以 是以8为 周期的函数. 因为,,, ， 所以 ，故选B. 题型3 函数的周期性和图象的对称性 21 归纳总结 关于函数周期 的几个常用结论 对函数定义域内任意实数,为常数且, , （1）, ; （2）, ; （3）, ; （4）,, ; （5）,, ; （6）,, ; （7）, ; （8）, . 题型3 函数的周期性和图象的对称性 22 9.已知定义在上的函数满足:的图象关于点中心对称， 是偶函数，且 在 上单调递增，则( ) D A. B. C. D. 题型3 函数的周期性和图象的对称性 23 解析 因为的图象关于点中心对称,所以的图象的对称中心是 ,故 . 因为是偶函数,所以的图象的对称轴是直线,即 , 在中,把替换为,得到,故,把 替 换为,得到,所以,因此 的周期为8. 所以,,.因为在 上单调递增 且是奇函数,所以在上单调递增,所以 ,所以 .故选D. 题型3 函数的周期性和图象的对称性 24 规律方法 （1）若直线,为函数图象的两条相邻对称轴,则函数的一个周期 ； （2）若,为函数图象的两个相邻对称中心,则函数的一个周期 ； （3）若为函数图象的一个对称中心,直线为函数图象的与点 相邻的一条对称轴,则 函数的一个周期 . 题型3 函数的周期性和图象的对称性 25 10.（多选）［辽宁五校2025高一联考］若定义域为的函数满足 ， 且函数的图象关于直线 对称，则( ) ACD A.的图象关于点中心对称 B.的图象关于点 中心对称 C. D.若，则 题型3 函数的周期性和图象的对称性 26 解析 由，得，所以 ，所 以的图象关于点 中心对称，故A正确； 由得，即 ，所以 的图象关于点中心对称，又因为函数的图象关于直线 对称，所 以，所以，所以 ， 所以，即，所以 是以4为周期的函数，故B错误，C正确； 若，且的图象关于点中心对称，所以，所以 ，所 以，所以，故D正确.故选 . 题型3 函数的周期性和图象的对称性 27 11.已知是上的偶函数，且，，当, ，且 时，，则当时，不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 题型4 函数性质的综合应用 28 解析 因为当,,且时,,不妨设,则 ,故 ,即,所以在 上单调递减. 因为是上的偶函数,所以的图象关于轴对称,故在 上单调递增. 因为,所以 . 又因为,所以的图象关于直线对称,故在 上单调 递增,即在上单调递增,且.所以的正负与在, 上的单 调性与正负情况如表所示. 题型4 函数性质的综合应用 29 的正负情况 的单调性 的正负情况 - 0 - 增 - - 减 - 0 - 减 - 题型4 函数性质的综合应用 30 的正负情况 的单调性 的正负情况 0 0 - 增 - 0 增 结合表格可知,不等式的解集为 . 续表 题型4 函数性质的综合应用 31 12.（多选）［陕西西安铁一中学2025高一月考］已知连续函数满足：, ，有 ；②当时，； ，则以下说法中正确的是 ( ) ACD A.的图象关于点 中心对称 B. C.在 上的最大值是10 D.不等式的解集为 题型4 函数性质的综合应用 32 解析 因为,，有 ， 令，则，则 . A项，令，则，即，故的图象关于点 中心对称，故A正确. 设,且，则，由 ， 令，，由A项分析中 ，得 ，即 ， 当时，，则，所以 ，所以 ，故在 上单调递减. B项，令，则 ， 以替换和，则 ， 题型4 函数性质的综合应用 33 即 ， 则 ，故B错误. C项，因为，所以， ， 又，所以，由在 上单调递减， 可知当时，在 上取到最大值，最大值为10，故C正确. D项，由 , ， 又因为，，所以 ， 所以，即 ， 由在上单调递减，可得，解得 ，所以原不等式的解集为 ，故D正确.故选 . 题型4 函数性质的综合应用 13.［江西部分学校2024高一月考］已知定义在上的函数 满足 ，当时，，且 . （1）求, 的值； 【解】令,可得,解得 . 令,可得 ,① 令,,可得 ,② 联立①②可得或 （舍去）, 所以, . 题型4 函数性质的综合应用 35 （2）判断 的奇偶性，并说明理由； [答案] 为奇函数.理由如下： 令,可得,且 ,③ 令,可得，用替换,可得,且 ,④ 由③④可得,且 . 当时,,也满足,故为定义在 上的奇函数. 题型4 函数性质的综合应用 36 （3）判断在 上的单调性，并用定义证明. [答案] 在 上单调递减.证明如下： 由（2）可得,所以 , 令,,可得 . 设,则, , 因为当时,,所以, , 所以,即 , 所以在 上单调递减. 题型4 函数性质的综合应用 37 $$