第一章 §4 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数与一元二次不等式，通过实际问题导入，衔接初中不等式基础与高中函数性质，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，帮助学生系统掌握相关知识。 其亮点在于精选各地名校考题，解析注重逻辑推理与分类讨论，结合实际应用培养数学眼光与建模能力。学生能提升解题思维，教师可直接用于教学，高效落实核心素养。

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 一元二次函数与一元二次不等式 2 §4 §4 综合训练 刷能力 3 建议用时：60分钟 1.［河北衡水2025高一月考］“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 解析 由且，解得或 ，记不等式的解对应集 合或，由或，解得或 ， 记不等式的解对应集合或，显然是的真子集，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 5 2.［安徽宣城中学2025高一月考］在上定义运算 ，则满足 的实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 6 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 7 3.关于的不等式的解集是，则关于的不等式 的解集是 ( ) C A.或 B. C. D.或 8 解析 由关于的不等式的解集是,可得且，即 . 所以不等式可化为,即 ，即 ，解得 .故选C. 9 4.［重庆部分学校2025高一期中联考］若关于的不等式对 恒成立， 则 的取值集合为( ) D A. B. C. D. 10 解析 当时，不等式化为，对 恒成立； 当时，要使得不等式对 恒成立，则 解得 . 综上，的取值集合为 .故选D. 11 规律方法 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 ，对于一元二次不等式 ，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为 的条件为 12 5.［陕西西安高新一中2025高一月考］若两个正实数，满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 13 解析 不等式有解, , ,, , , 当且仅当,即,时,等号成立,, , 或 , 实数的取值范围是或 .故选D. 14 6.（多选）二次函数 的图象如图所示，则下列结论中 正确的有( ) BCD A. B. C. D. 15 解析 由题中函数图象可知,,,,当时， ,整理化简 得,则,,，由此可知选项A错误，其余3个选项正确.故选 . 16 7.（多选）下列说法正确的是( ) AB A.不论取何实数，命题“， ”为真命题 B.不论取何实数，命题“二次函数的图象关于 轴对称”为真命题 C.不论取何实数，命题“方程 必有两个负实根”为真命题 D.不论取何实数，命题“，使不等式 成立”为真命题 17 解析 对于A，，方程中， ，即一元二次方程 有不等实根,（假设），显然，即 ，因此不 等式的解集为，当时， ，A正确； 对于B，，二次函数的图象的对称轴为轴，因此二次函数 的图象关 于 轴对称，B正确； 对于C，，方程 两根之积为负数，故有异号两根，则命题“方程 必有两个负实根”为假命题，C错误； 对于D，当时，不等式的解集为，即不存在 使不等式 成立，D错误.故选 . 18 8.（多选）［湖北武汉2025高一月考］已知关于的不等式 ，下列结论正确 的是( ) ACD A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式的解集为 的形式 C.当时，不等式的解集为 D.如果不等式的解集恰好为，那么 19 解析 由，得，当时， ， 从而不等式的解集为 ， 故A正确. 20 在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象及直线和 ，如图所示. 由图知，当时，不等式 的解集为 的形式，故B错误. 当时，不等式的解集为 ，C正确. 由不等式的解集恰好为，可知，即，且 ， 时函数值均是，得，解得或，当 时，由 ，解得或，不满足 ，不符合题意; 当时，由，解得或，只有满足，所以 ，此 时，故D正确.故选 . 21 9.［山东部分学校2025高一期中联考］如图，某小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型 平面图是由两个周长均为的相同的矩形和 构成的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为2 000元/ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶， 造价为100元/；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/ .若要使总造价 不高于24 000元，则正方形周长的最小值为___ . 4 22 解析 设正方形的边长为，则矩形的长，宽分别为 ， ，所以，， ， 所以总造价，且 ，所以 ，则，解得 ， 故，则正方形周长的最小值为 . 23 特别注意 实际问题中一定要注意隐含条件,如本题中 . 24 10.［江苏徐州三中等校2025高一期中联考］已知，关于的不等式 的解集 中有且仅有3个整数，，，则___，实数 的取值范围为_ ______________. 3 解析 由题意，，即 . 设不等式的解集为，则， ， 则 . 因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以 ， 即，解得 ， 25 所以的图象的对称轴满足，而 ，即离对称 轴最近的整数只有3，所以 ，所以三个整数解为2,3,4， 所以解得 , 即的取值范围为 . 26 11.［河南南阳六校2024高一期末］已知集合， , . （1）若，求 ； 【解】由得，故集合 . 由得, ， 因为， ， 所以集合 . 若，则 ， 所以 . 27 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围. [答案] 若“”是“”的充分不必要条件，则是 的真子集， 则有 （两个等号不同时成立）， 解得 ，经验证符合题意， 所以实数的取值范围是 . 28 12.［山东临沂四中2025高一月考］已知关于的不等式的解集为 . （1）求实数， 的值； 【解】因为关于的不等式的解集为 ， 所以，为方程的根，且 . 所以解得 29 （2）当,，且满足时，有恒成立，求实数 的取值范围. [答案] 因为 恒成立， 所以 即可. 因为，所以 ， 当且仅当，即,时取等号.所以，解得 . 故实数的取值范围为 . 30 13.［陕西西安交通大学附属中学2024高一期末］某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业 结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收 入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员 户农民只从事水果加工， 剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为 万元，而 从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高 ． （1）若动员 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水 果种植的农民的总年收入，求 的取值范围； 【解】根据题意可知，需满足 ， 化简为，解得 ， 故的取值范围为 . 31 （2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果 种植的农民的总收入，求 的最大值． [答案] 由题意得 , 整理可得 ， 因为，当且仅当 时取等号. 所以，即 的最大值为22. 32 14.［北京大学2023强基计划］方程共有___个解（表示不超过 的最大整数）. 0 解析 显然,若,则,所以 , 所以,但 ，无解. 若,则 , 所以,所以,但 ,无解, 所以方程 解的个数为0. 33 15.［北京大学2024强基计划］求方程在 上解的个数. 【解】一方面,所以 . 另一方面，由,得此时 ,解得 , . 综上可知，的可能取值为1，2，10，11，12，分别代入检验可得,,, . 故方程在 上解的个数为4. 34 16.［中国科学技术大学2024创新班考试］求所有的实数，使 对任意 恒成立. 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价于且 . 当时，有 ， ， ； 当时，有， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 35 $$