第一章 §4 -4.1 一元二次函数-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 一元二次函数与一元二次不等式 2 §4 4.1 一元二次函数 刷基础 3 1.不论取任何实数，抛物线 的顶点都( ) B A.在直线上 B.在直线上 C.在轴上 D.在 轴上 题型1 二次函数的有关概念 4 解析 不论取任何实数，抛物线的顶点坐标均为 ， 因此，该抛物线的顶点都在直线 上，故选B. 题型1 二次函数的有关概念 5 2.二次函数的图象的对称轴为直线，则当时， 的值为( ) D A. B.1 C.17 D.25 题型1 二次函数的有关概念 6 解析 二次函数的图象的对称轴为直线，，即 ， ，当时， ，故选D. 题型1 二次函数的有关概念 7 3.某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度与水平距离 之间的函数关系 式为 ，则该运动员的成绩是( ) B A. B. C. D. 题型1 二次函数的有关概念 8 解析 当时，，解得或 （舍去），故选B. 题型1 二次函数的有关概念 9 4.已知一个二次函数的图象经过点，， ，则这个函数的解析式为( ) A A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 10 解析 设所求二次函数的解析式为 由题意得解得 所求二次函数的解析式为 .故选A. 题型2 二次函数的图象 11 5.已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点 ，则该二次函数的解析式为( ) C A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 12 解析 设二次函数的解析式为，,将点 的坐标代入函数解析式得 ，解得，所以二次函数的解析式为 ，故选C. 题型2 二次函数的图象 13 6.［重庆八中2025高一期中］若,，则函数 的图象可能是 ( ) D A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 14 解析 因为,，所以，即 ，而 ，故，选项中的图象开口向下，不符合 ，而选项A中图象 过原点，与 矛盾，故选D. 题型2 二次函数的图象 15 7.（多选）［江西赣州瑞金一中2025高一月考］已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) ABC A. B. C.（ 为任意实数） D. 题型2 二次函数的图象 16 解析 因为抛物线开口向下，所以，又抛物线的对称轴为直线，则 ， 可得，且抛物线与轴的交点在轴上方，则 . 对于选项A，可得 ，故A正确； 对于选项B，因为，则，所以 ，故B正确； 对于选项C，抛物线的对称轴为直线，可知当时， 有最大值， 则（为任意实数），所以 ，故C正确； 对于选项D，因为抛物线的对称轴为直线，且当时，,所以当时， ， 即 ，故D错误. 故选 . 题型2 二次函数的图象 17 8.［广东肇庆2025高一期中］某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个 车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数 满足二次函数关系，其函数图象如图 所示，则这个车间产出的年平均利润 最大时，运行的年数为( ) B A.4 B.6 C.8 D.10 题型2 二次函数的图象 18 解析 由题意可设.由图象可知，当时， ，解得 ， ， （当且仅当时取等号）， 当车间运行6年时， 其产出的年平均利润 最大，故选B. 题型2 二次函数的图象 19 名师点拨 已知二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为和 ，可以设二次函数的 解析式为,再结合其他条件求 的值,从而求出二次函数的解析式. 题型2 二次函数的图象 20 9.［江西宜春2025高一月考］将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向 上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则 ___. 2 解析 由题意可得，所以, , ，则 . 题型2 二次函数的图象 21 10.已知某二次函数最小值为1，图象顶点在直线上，并且图象经过点 . （1）求该二次函数的解析式； 【解】 二次函数的最小值为1， 可设二次函数的顶点为，，解得 ， 可设二次函数的解析式为， . 又二次函数的图象过点，，解得 ， 该二次函数的解析式为，即 . （2）当时，，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）知，当时，；令，得或 ，结合 二次函数的图象可得若时，，则 ， 即实数的取值范围为 . 题型2 二次函数的图象 22 11.［广东深圳2024高一阶段考试］二次函数在 上的最大值为( ) C A. B.0 C.3 D.4 题型3 二次函数的性质与应用 23 解析 因为函数的图象开口向上，且对称轴为直线 ， 所以在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大，且 ， 所以当时，函数取得最大值，且最大值为 .故选C. 题型3 二次函数的性质与应用 24 12.已知函数的图象的对称轴为直线，记，, 时的函数值分 别为,, ,则( ) D A. B. C. D. 题型3 二次函数的性质与应用 25 解析 函数的图象是开口向下、对称轴为直线的抛物线， ，且 .故选D. 题型3 二次函数的性质与应用 26 13.［陕西西安长安区一中2025高一期末］二次函数在区间上随着 的增 大而增大的一个充分不必要条件为( ) C A. B. C. D. 题型3 二次函数的性质与应用 27 解析 二次函数在区间上随着的增大而增大，则且 ，解得 ，显然选项中的条件都不能推出，而集合 真包含于集 合，所以所求的一个充分不必要条件为 .故选C. 题型3 二次函数的性质与应用 28 14.（多选）［河南安阳2025高一月考］若函数，在 时的最大值、最小 值分别为，，则实数 的值可能为( ) ABC A.2 B.3 C.4 D.5 题型3 二次函数的性质与应用 29 解析 由，得函数图象的对称轴为直线 ， 当时，函数取得最小值，为 ， 当或时，函数值为，所以，所以实数 的值可能为2,3,4. 故选 . 题型3 二次函数的性质与应用 30 15.已知二次函数，当时有最小值，且它的图象与 轴两交点间 的距离为6，则这个二次函数的解析式为_ ________________. 解析 由题意知二次函数图象的对称轴为直线，其与 轴的两交 点的坐标是与，则其图象的顶点为，且过点， .将三个点的坐标代入 得 解得 所求二次函数的解析式为 . 题型3 二次函数的性质与应用 31 16.［广西柳州五校2025高一期末］已知二次函数 . （1）若，求函数 图象的对称轴和顶点坐标； 【解】当时， ， 所以函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是 . （2）当时，，求 的解析式； [答案] 当时，，得，所以 . （3）若在上随着的增大而增大，求 的取值范围. [答案] 图象的对称轴是直线 ， 若在上随着的增大而增大，则，则，即的取值范围为 . 题型3 二次函数的性质与应用 32 17.［河南新乡2024高一月考］已知，点,, 都在二次函数 的图象上，则( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 33 解析 二次函数，其图象对称轴的方程为 ， 而，所以 ， 当时，随着 的增大而增大， 又因为，所以，所以 . 综上， ．故选D. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 34 易错警示 二次函数值的大小比较、最值等问题，要先根据对称轴的位置，判断函数的性质，然 后解题. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 35 18.已知某二次函数的图象与轴交于点，，且过点 . （1）求此二次函数的解析式； 【解】设二次函数的解析式为，将点 的坐标代入得 ，解得， . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 36 （2）求 时的最大值和最小值. [答案] 由（1）得图象的对称轴为直线，与点 关于该对称轴对称的点 为 . 若时，随着 的增大而减小， 则当时取得最大值，为，当时取得最小值，为 ； 若时，当时取得最大值，为，当 时取得最小值，为 ； 若时，当时取得最大值，为，当 时取得最小值，为 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 37 易错警示 二次函数的最值问题，若函数含参数，或者 的取值区间不确定，要对图象的对称轴 与区间的位置关系进行分类讨论，再根据函数的增减性求出函数的最值. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 38 19.已知函数，， 为常数. （1）若函数的图象与轴交于点，，且线段 的长度为6， 求该函数 的解析式； 【解】，令，可得，由题意得， 为该方程的根， 则,,.由 ， 得，解得，故或 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 39 （2）若函数的图象不恒在函数的图象上方，求实数 的取值范围. [答案] 由题意，函数的图象不恒在函数的图象上方，即有解，即 有解， 等价于 有解. 当时，函数的图象与轴有交点，即，解得 ， 故 ； 当时，不等式为 ，符合题意； 当时，函数 的图象开口向下，符合题意. 综上，实数的取值范围为 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 40 $$