第一章 §3 不等式-§3 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 不等式 2 §3 §3 综合训练 刷能力 3 建议用时：35分钟 1.［天津南开大学附属中学2025高一检测］若 ，则下列不等式中总成立的是( ) C A. B. C. D. 4 解析 ，故选C. 多种解法（特殊值法）令，，排除A，D；再令， ，排除B.故选C. 5 2.若,且，则 成立的一个充分不必要条件是( ) C A. B. C. D. 6 解析 A.当时，，则 ，故A错误； B.当,时，不满足 ，故B错误； C.当时，，则，反过来，当时， ，推不出 ，所以是 成立的一个充分不必要条件，故C正确； D.当,时，不满足 ，故D错误.故选C. 7 3.［海南部分学校2025高一期中联考］已知，，，则 的 最小值为( ) D A.11 B.10 C.9 D.8 8 解析 由题设，又，，故，则 ，所以 ，当且仅当， 时等号成立，所以 的最小值为8.故选D. 9 4.［河北邯郸武安一中2025高一月考］设，则 的最小值为( ) B A.81 B.27 C.9 D.3 10 解析 由于，故,，故 ，当且仅当，即 时等号成立， 故所求最小值为27，故选B. 11 5.（多选）［安徽合肥一六八中学2025高一期中］已知，均为正实数，且 ，则 ( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值为5 C.的最小值为 D.的最小值为 12 解析 对于A选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当即当时，等号成立，所以的最大值为 ，A正确； 对于B选项， ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为 ，B错误； 对于C选项， 13 ， 当且仅当即或 时，等号成立， 所以的最小值为 ，C正确； 对于D选项， ， 设，，可得 ， 则上式 ， 当且仅当即即 时，等号成立， 所以的最小值为，D正确.故选 . 6.已知，，，请写出使得“ ”恒成立的一个充分不必要条件为 ______________________. （答案不唯一） 解析 由，，,得 ， 当且仅当 时取等号，所以当恒成立时， . 故“”恒成立的一个充分不必要条件为 ，答案不唯一. 16 7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自 乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.即假设在平面内有 一个三角形，边长分别为,,，三角形的面积可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 , ，则此三角形面积的最大值为_____. 解析 由题意可得,,则 .由基本不等式可得, . 当且仅当,即 时取等号. 17 8.［山东淄博2025高一月考］已知， . （1）求 的取值范围； 【解】因为，，两个不等式相加可得，解得 ， 所以的取值范围是 . 18 （2）求 的取值范围； [答案] 因为， ， 所以 ， 所以 . 所以的取值范围是 . 19 （3）求 的取值范围. [答案] 设，则 , 所以解得 所以 . 因为,所以.因为 ，所以 . 由得，所以的取值范围是 . 20 9.已知，，，为正实数，且 . （1）若，，求 的最小值； 【解】由已知可得 ， 又，，所以 ， 当且仅当，即， 时等号成立. 所以 的最小值为16. 21 （2）若，的最小值为18,求， 的值. [答案] 因为，，，，为正实数，且 ， 所以 . 当且仅当,且时，等号成立，此时的最小值为 . 又的最小值为18，所以，得 . 联立解得或 22 10.［复旦大学2024数学英才班选拔考试］一个圆周上分布有2 024个点，记为,, , ， 其象征着2 024个不同的数，记表示,, 的中位数，其下标为模2 024意义下的余数. 已知，则 的取值范围是__________________. 解析 由柯西不等式可得 ， 当且仅当时取等号,但由于,, ,两两不相等，故,, , 不可能全部相等，因此 ,解得 . 23 二级结论 柯西不等式：设,,, ，,,,, , 是实数，则 ,当且仅当 或存在一个数，使得 时等号成立. 24 $$