第一章 §3 不等式-3.2 基本不等式-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”核心知识点，从基础理解题型切入，通过比较大小、无条件与有条件求最值、不等式证明、实际应用及恒成立问题等递进式题型设计，构建衔接紧密的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于分层设置“刷基础”“刷提升”模块，结合易错点警示（如忽略“一正二定三相等”条件）和实际应用题（如销售利润、蓄水池造价问题），培养学生数学思维（逻辑推理）与数学语言（规范证明表达），学生能深化知识理解，教师可实现分层教学提升效率。

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 不等式 2 §3 3.2 基本不等式 刷基础 3 1.（多选）下列说法中正确的是( ) BC A.成立的条件是, B.成立的条件是, C.成立的条件是, D.成立的条件是 题型1 基本不等式的理解 4 解析 根据不等式成立的条件可知只有正确，故选 . 题型1 基本不等式的理解 5 2.已知,是正数，且，则 的( ) B A.最大值是 B.最大值是 C.最小值是 D.最小值是 题型1 基本不等式的理解 6 解析 依题意,是正数，且，所以 ， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是.当,时， ， .综上所述，只有B选项正确.故选B. 多种解法因为,则,,所以当 时， 有最大值 . 当,时,, . 综上所述,只有B选项正确. 题型1 基本不等式的理解 7 3.［安徽马鞍山2025高一期末］下列不等式恒成立的是( ) D A. B. C. D. 题型1 基本不等式的理解 8 解析 对于A，若, 时, ，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，即 ，当且仅当 时取等号，故B错误；对于C，当,时， ，故C错误； 对于D,因为，所以，即，当且仅当 时取等 号，故D正确.故选D. 题型1 基本不等式的理解 9 二级结论 基本不等式的常用变形式 （1）,当且仅当 时，等号成立. （2）当时，,,当且仅当 时，等号成立; 当时，,,当且仅当 时，等号成立. （3）,当且仅当 时，等号成立. （4）当，，时，,当且仅当 时，等号成立. 在利用基本不等式求最值时可以往上述几个形式配凑，但要注意,, 的取值范围及取等的条件. 题型1 基本不等式的理解 10 4.［河北石家庄2024高一月考］设，且 ，在下列四个数中最大的是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 11 解析 ,且 , ， . ， . ， ， 最大.故选B. 题型2 利用基本不等式比较大小 12 规律方法 利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：就是各项必须为正数. （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须 把构成和的两项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值. （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件. 题型2 利用基本不等式比较大小 13 5.［四川遂宁2025高一期中］已知，，则，，， 中最大的是( ) A A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 14 解析 因为,，所以， ， ，当且仅当 时，等号成立， 则 .故选A. 多种解法此题可以采用特殊值法求解,例如可取,,可得 最大.故选A. 题型2 利用基本不等式比较大小 15 6.［江苏淮安2024高一期中］已知实数，，满足， ，且 ，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 16 解析 因为,由基本不等式得,当且仅当 时等 号成立,又 , 所以.又, ,两式相减得, ,故 ,所以 ,故,所以 .故选B. 题型2 利用基本不等式比较大小 17 7.［辽宁大连八中2025高一月考］若，则 的最小值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.无最小值 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 18 解析 若,则 , 当且仅当,即 时,等号成立, 所以 的最小值为8.故选C. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 19 链接教材 本题是教材第30页习题 组第5题的变式与延伸,考查利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值的方法与技巧有： （1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的使用，使其满足基本不等 式的“一正”“二定”“三相等”的条件； （2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握，有时可乘一个数或加一个数，注意“1”的代 换等应用技巧. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 20 8.［河南漯河高级中学2025高一期中］已知，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 21 思路导引 观察和,联想到 为定值,构造“和定积最大”的使用条件,题目可 转化为求 的最大值. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 22 解析 因为，所以 ， 所以，当且仅当，即 时取等号，所以 的最大值为1.故选C. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 23 9.若，则 的最大值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 24 解析 当时，，当且仅当，即 时等号成立.故选A. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 25 10.已知，则 的最大值是( ) A A. B. C.2 D.7 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 26 解析 ,，， ， ， 当且仅当，即时，等号成立，的最大值为 .故选A. 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 27 11.已知，若在时取得最小值，则 ____. 18 解析 ,，,当且仅当,即时， 取得 最小值， ，解得 . 题型3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 28 12.［河南南阳一中2024高一月考］若两个正实数，满足，则 的最小值为( ) C A.12 B.10 C.9 D.8 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 29 解析 ,, , , 当且仅当,即时,不等式取“”. 的最小值为9.故选C. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 30 13.已知，，且，则 的最大值为( ) D A.36 B.4 C.16 D.9 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 31 思路导引 （1）先结合条件等式和目标代数式，由条件等式得到一个含有目标代数式中的式子， 且值是常数的代数式； （2）把变形后的条件等式代入目标代数式； （3）利用基本不等式求代数式的最值. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 32 解析 由题意得，, ，所以 ，当且仅当即 时取等号.故选D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 33 14.［湖北鄂东南示范校2024高一期中联考］关于的方程 有两个相等的正根， 则 ( ) B A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 34 思路导引 多元问题一元化,依题意可得,,则 ,再利用基本不等式即 可求得最大值. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 35 解析 关于的方程 有两个相等的正根, , , ,当且仅当 时取等号, 有最大值 .故选B. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 36 15.（多选）若,，且 ，则( ) ABD A. B. C. D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 37 思路导引 由变形得，根据可判断A； ， 利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为 ， 利用基本不等式可判断D. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 38 解析 ,,且,, ，A正确； ，当且仅当 时等号 成立，B正确；，解得,C错误；由得 ， 又,,，则，当且仅当,即 , 时等号成立，D正确.故选 . 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 39 规律方法 （1）若,，且,,均为正数），求, 均为正数）的最小 值，常将变形为,利用“1”的代换求最值.（2）若, ,且 ,,均为正数）,求,均为正数）的最小值，常将 变形为 ，利用“1”的代换求最值. 题型4 利用基本不等式求最值之有条件求最值 40 16.［江西南昌2025高一月考］已知，，，证明： . 【证明】，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， . 题型5 利用基本不等式证明不等式 41 17.［广西桂林部分学校2025高一联考］已知,, 均为正实数. （1）证明： ； 【证明】由基本不等式得, ， 两个不等式相加得 ， 当且仅当时“ ”成立，问题得证. 题型5 利用基本不等式证明不等式 42 （2）证明，并求 的最小值. 【解】 ， 当且仅当 时等号成立， 所以不等式 成立, 所以 ， 题型5 利用基本不等式证明不等式 43 所以，当且仅当 时取等号， 故不等式 成立. 因为,所以 , ， 当且仅当，即时，等号成立，所以 . 题型5 利用基本不等式证明不等式 18.［四川成都石室中学2024高一期中］石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动 中的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期 调查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件元）在 时，本次活动售出的件数 .若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为____元. 15 解析 由题意可知,利润为, , 不妨令,则利润为,当且仅当 ,即 时取等号,此时 , 故销售价格每件应定为15元. 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 45 19.［江苏连云港高级中学2024高一学情检测］某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解】设池底的一边长为,则另一边长为,总造价为 元, 则 , 当且仅当,即时,等号成立,所以当水池设计成底面边长为 的正方形时,总造价 最低,最低为198 400元. 题型6 利用基本不等式求解实际应用题 46 20.［湖南衡阳2025高一月考］对于任意， 恒成立，则( ) D A. B. C. D. 题型7 利用基本不等式求解恒成立问题 47 解析 对于任意，恒成立，则,而 ，当且仅 当时取等号，所以 .故选D. 题型7 利用基本不等式求解恒成立问题 48 规律方法 含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的取值范围化归为代数式的最值 问题.恒成立，恒成立 题型7 利用基本不等式求解恒成立问题 49 21.已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数 的最大值为 ( ) D A.9 B.12 C.16 D.25 题型7 利用基本不等式求解恒成立问题 50 解析 ,当且仅当 ,即 , 时,等号成立. 又不等式恒成立,只需 , 因此,故实数 的最大值为25. 故选D. 题型7 利用基本不等式求解恒成立问题 51 22. 的最大值为_________. 解析 ,, . 又,,当且仅当 ， 且，即时，等号成立.故的最大值为 . 易错点1 忽略应用基本不等式的前提条件而致错 52 易错警示 应用基本不等式时，应先将各项化为正值. 易错点1 忽略应用基本不等式的前提条件而致错 53 23.（多选）［河南南阳2024高一月考］下列说法中正确的有( ) BC A.不等式恒成立 B.存在，使得不等式 成立 C.若,，则 D. 的最小值为2 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 54 解析 当,时，不等式不成立，A错误；当时， ， 即存在，使得不等式成立，B正确；若,，则, ， ，当且仅当 时等号成立，C正确； ，当且仅当 时等号才能成立，但 无解，故，D错误.故选 . 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 55 易错警示 本题易错多选D，原因在于没有检验等号成立的条件， 是不可能成立的， 因为 . 使用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”,不是正数时可以提出负号转化为正数，不是定值 的时候可以通过配凑转化为定值，不能取等时往往需要转化为对勾函数解决. 对勾函数 的图象如图所示,取不到等号时可结合函数图象求最值. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 56 24.已知，，且，则 的最小值为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 易错点3 多次应用基本不等式而致错 57 解析 ，当且仅当 时，等号成立.故 选C. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 58 易错警示 此题很容易出错，认为，，，错选B，错误的原因是， 不 能同时取到1. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 59 §3 3.2 基本不等式 刷提升 60 1.已知实数，，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 61 解析 因为等价于，所以, . 所以“”是“ ”的必要不充分条件，故选B. 62 2.［广东华南师大附中2025高一月考］已知，，且，则 的最小值为 ( ) A A.2 B. C. D. 63 解析 因为，，且 ， 所以，所以，所以 ， 所以，则 ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 的最小值为2. 故选A. 64 3.［江西南昌2024高一月考］已知，当代数式取最小值时， 的值为 ( ) D A. B. C. D. 65 解析 由,得,所以,当且仅当,即 时等号 成立. 所以 , 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立,第二个不等式的等号当且仅当 时成立. 所以当取最小值时,有即 所以 .故选D. 66 4.（多选）［浙江部分学校2024高一期中联考］已知正实数，满足 ，则下列结论正 确的是( ) AD A.的最小值为24 B.的最大值为 C.的最小值为12 D.的最小值为 67 解析 已知,, , 对于A,,当且仅当,即 , 时,等号成立, 的最小值为24,A正确； 对于B,,所以,当且仅当 ,即 , 时,等号成立,与 矛盾,B错误； 对于C,,当且仅当,即, 时,等 号成立,与 矛盾,C错误； 对于D,,当且仅当, 时,等号成立, D正确. 故选 . 68 5.（多选）［安徽合肥一中2024高一月考］小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为 ，下 山（原路返回）的速率为，小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为 ，若两 人途中休息时间忽略不计，则( ) BD A.小明上山和下山所用时间之和为 B.小明上山和下山所用时间之和为 C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 69 解析 对于A,B,小明上山和下山所用时间之和为 ,故A错误,B正确； 对于C,D,小刚上山和下山所用时间之和为,因为,所以 , ,所以 ,所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所 用时间之和少,故C错误,D正确.故选 . 70 6.（多选）［云南保山2025高一月考］已知正实数，满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的值可以为( ) BC A. B. C.1 D.3 71 解析 由题可得恒成立. ， , 又，当且仅当，即, 时取等号，则 ，故选 . 72 7.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库 到车站的距离成正比.如果在距离车站 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万 元.若要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___ 处. 5 73 解析 设仓库到车站的距离为，每月土地费用为，每月货物的运输费用为 ，由题意可设 ， ， 把,与,分别代入上式得,，, ，费用之和 ，当且仅当，即时,等号成立． 当 仓库建在离车站 处两项费用之和最小． 74 8.已知正实数,,满足，则当取得最大值时， 的最大值为__. 解析 由得，所以 ， 其中，当且仅当，即时, 取得最小值2， 故，取得最大值 ， 此时， ， 所以，故当,, 时， 有最大值 . 75 9.已知，， ，求证： （1） ； 【证明】由得当且仅当时取等号 . （2） . [答案] 因为,, ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 . 76 规律方法 基本不等式的变形形式 ,要熟练掌握和运用. 77 10.［清华大学2022强基计划］已知,则 的最大值和最小值分别为_____. 9,1 解析 当时，,;当 时， ,;当时，也存在满足 的情 况. ,当且仅当 时取最小值， 时取最大值. 78 11.［清华大学2024强基计划］已知，则 的最大值、最小 值分别为_____________________. 无最大值，最小值为2 79 思路导引 当 ,,时，可得的最大值情况.将,,分成两种情况讨论:当， ， 中没有0时，推理可得；当，，中有0时，可知至多有一个0，不妨设 ，可得 ，从而可得 的最小值. 80 解析 当 ,,时，易得 ， 故 无最大值. 若，，中没有0，则由基本不等式可得 ， 同理可得，，故有 ， 当且仅当时，等号成立，而，，中没有0时，该方程组无实数解，故 ； 若，，中有0，则至多有一个0，不妨设，此时 ， 当且仅当,时， 取得最小值2. 综上， 无最大值，有最小值2. 81 $$