第一章 §1 集合-1.2 集合的基本关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 §1 §1 集合 2 §1 1.2 集合的基本关系 刷基础 3 1.（多选）［江西宜春2025高一段考］下列说法中，正确的有( ) BD A.空集是任何集合的真子集 B.若，，则 C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.若不属于的元素一定不属于，则 题型1 子集、真子集的概念 4 解析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错误；真子集具有传递性， 故选项B正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错误；由 图易知选项D正确.故 选 . 题型1 子集、真子集的概念 5 2.［广西南宁二中2024高一月考］已知集合,，,，则 与 的关系为( ) C A. B. C. D. 题型1 子集、真子集的概念 6 解析 若，则，所以，因为，且 ，所以 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 7 归纳总结 判断集合间的关系的技巧 （1）对于离散的数集和点集可以采用列举法写出一部分元素，观察两集合的包含关系；（2）对 于区间型集合可以用数轴分析其关系；（3）对于较为抽象的其他集合可以检验其中一个集合的 元素是否满足另外一个集合的性质，从而判定一个集合是否包含于另外一个集合. 题型1 子集、真子集的概念 8 3.［河南豫北名校2025高一联考］设集合，,，则 的非空子 集的个数为( ) C A.3 B.4 C.7 D.8 题型1 子集、真子集的概念 9 解析 要使，，则,4,9，故中含有三个元素，所以的非空子集有， ， ，，，， ，共7个.故选C. 题型1 子集、真子集的概念 10 二级结论 若集合中有个元素，则子集个数为，非空子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 . 题型1 子集、真子集的概念 11 4.已知集合,，,},则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 子集、真子集的概念 12 解析 由题得，,3,4，.因为，所以根据子集的定义，集合 必须含有 元素2,5，所以或或 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 13 多种解法 因为中有2个元素,中有4个元素，,则有 （个）. 二级结论 若集合中有个元素，集合中有个元素, ， 若，则集合有 个； 若，则集合有 个； 若，则集合有 个； 若，则集合有 个. 题型1 子集、真子集的概念 14 5.（多选）设，，若，则实数 的值可以是 ( ) ABD A.0 B. C.4 D.1 题型2 根据集合的关系求参数 15 解析 因为，，所以 或或或 ， 若 ，则；若，则；若，则；若 ，无解． 故选 ． 题型2 根据集合的关系求参数 16 6.已知集合，.若，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 根据集合的关系求参数 17 解析 因为，，，所以 ．故选A. 题型2 根据集合的关系求参数 18 7.［江苏苏州2024高一月考］已知集合， .若 ，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型2 根据集合的关系求参数 19 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 .故选C. 题型2 根据集合的关系求参数 20 8.［河北师大附中2024高一月考］下面选项中的两个集合相等的是( ) C A., B.,, C., D. , 题型3 集合的相等 21 解析 对于A,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故A错误； 对于B,集合表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合是点集,只有1个元素,为 ,所以不是相等 集合,故B错误； 对于C,,得,即 ,故C正确； 对于D,集合是空集,但集合是非空集,里面有1个元素 ,所以不是相等集合,故D错误.故选C. 题型3 集合的相等 22 特别注意 注意区分数集与点集,分辨集合元素的无序性和有序点对的有序性. 题型3 集合的相等 23 9.［贵州贵阳2025高一月考］若含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成, , ，则 ___. 1 解析 由,,以及集合中元素的性质可知且,则, , ,则, （舍去）, . 题型3 集合的相等 24 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或 与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条件 是否一致，若均一致,则两个集合相等. （3）证明集合与相等的常用思路是证“且 ”. 题型3 集合的相等 25 10.［重庆巴蜀中学2025高一月考］下列五个关系式：,,；,, ； ；； ，其中正确的个数是( ) C A.1 B.3 C.4 D.5 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 26 解析 ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合都是自身的子集；③错误， 表示空 集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以 不成立；④正确，空集是任何集 合的子集；⑤正确，由元素与集合的关系知， .故选C. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 27 易错警示 （1）元素与集合的关系为属于、不属于；集合与集合的关系为包含、不包含. （2）集合相等也是集合包含关系的一种情况. （3）空集和 并不相等. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 28 11.［辽宁沈阳东北育才学校2025高一月考］已知集合或, ， 若，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C.或 D. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 29 解析 集合或 , ,当时，不成立，此时 ，满足 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 . 综上可知， .故选A. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 30 易错警示 求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况， 因此本题求解的易错之处是忽视集合 为空集的特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 31 12.已知集合,集合.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 32 解析 集合，集合，若，则 .故选D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 33 易错警示 此类根据集合间的关系求参数的问题要检验端点值能否取到，若取等后满足则能取到， 否则取不到.本题的易错之处是误认为 可以取到0而错选B. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 34 §1 1.2 集合的基本关系 刷提升 35 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 36 解析 2是质数,但它不是奇数,所以 {质数 奇数}错误,所以A错误； 集合与集合有相同的子集 ,所以B错误； 空集是任何集合的子集,是任何非空集合 的真子集,所以C正确； 若,,则,所以D正确.故选 . 37 2.［黑龙江哈尔滨2025高一期末］若 ，则下列说法正确的是( ) D A. B. C., D. 38 解析 ，是以空集为元素的集合，不是集合 的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 39 3.［江西景德镇一中2025高一期中］已知集合,,，若，则实数 的 取值范围为( ) A A. B. C. D. 40 解析 当时，即恒成立，故此时，满足 ； 当时，由得，故此时，因为，,，所以 且 ，所以 ； 当时，由得，故此时，且,满足,所以 . 综上，实数的取值范围为 . 故选A. 41 归纳总结 根据集合间基本关系求参数时,应根据集合的元素种类（数集、点集）,转化为对应方程 （组）或不等式（组）,再求出参数的值或取值范围.转化过程可借助数轴、 图等. 42 4.［山东泰安一中2025高一月考］下列每组集合是相等集合的是( ) D A.， B.， C.， D.， 43 解析 对于A，，,,,1,，故 ， 所以A错误；对于B，为点集，为数集，故 ，所以B错误； 对于C，，，故 ，所以C错误；对于D，数集 和数集所含元素相同，故 ，所以D正确.故选D. 44 5.［河南二十名校2024高一联考］已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 45 解析 由集合,, }, 可得集合中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为 集合,所以符合条件的集合共有 个.故选A. 46 6.［福建福州、宁德五校2025高一期中联考］集合, ， ,，, }的关系是( ) A A. B. C. D. 47 解析 根据集合的概念可知，集合表示所有被7除余5的正整数以及所构成的集合，集合 表 示所有被7除余5的正整数所构成的集合，所以且.集合 表示所有被14除余5的正整 数所构成的集合，任取，则，，所以，则 ，又 ，，所以.综上， ，故选A. 48 7.［北京四中2025高一期末］正交数组的概念在现代广泛应用.设集合 ,,,2,3,，任取, ，若 ，则称与正交.若，且 中任意两 个元素均正交，则 中元素个数最多是( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 49 解析 不妨设 ， 由，则中最多再包含,, , ,, 这6个元素， 设这6个元素组成的集合为，则中存在两个元素在集合中时，满足题意，如 , ,，且中存在三个元素在集合中时，满足题意，如 , ,,,但其中有4个元素在集合 中时，不满足题意，同理， 其中有5个或6个元素在集合 中时，均不满足题意. 因此若，且中任意两个元素均正交，则 中元素个数最多是4.故选C. 50 8.［江苏泰州2025高一月考］设集合,,，若集合 的各个非空子集元素和的总和是64， 则 ____. 16 解析 由,,，得的非空子集为,,,,,,，,,,, ，若 集合的各个非空子集元素和的总和是64，则，故 . 51 9.［湖北孝感高级中学2024高一调研］已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 思路导引 根据集合关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数 的关系,可求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属于,进而得到满足条件的集合 的个数. 52 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程的整数解只能是36的约数.当方程的解为 ,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时, ； 当方程的解为,9时, ； 当方程的解为,6时, ； 当方程的解为1,时, ； 当方程的解为2,时, ； 当方程的解为3,时, ； 53 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则,得集合 中互为相反数的两个元素同属于 集合或同不属于集合 . 因为集合 中有4对相反数和元素0, 所以这样的非空集合共有 个. 10.已知集合， . （1）若，求实数 的取值范围. 【解】 集合， ． 若，则解得 ， 实数的取值范围是 ． （2）若，求实数 的取值范围. [答案] ，当 时，，；当 即时，无解. 实数的取值范围是 ． 55 （3）集合与能否相等？若能，求出实数 的值，若不能，请说明理由. [答案] 当时，无解， 集合与 不能相等． 56 11.［2023全国高中数学联赛北京赛区预赛］是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素 的平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 解析 ，，，，，，， ， ，的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4， 0，7，7，0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , , ,1,4,7中的任意两个数（可相同）的和（除0和0外，为了方便，研究倍数时一般不 包括0）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的 倍数. , 中的数的平方是9的倍数的有674个， 的最大值为 . 57 $$