3.3 函数的应用（一）-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的应用（一），涵盖一次函数、二次函数及分段函数的实际应用题型，通过供电公司电费计算、产品销售利润等实例导入，衔接函数概念与性质，搭建从具体情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光，如调运问题中用一次函数建模，通过逻辑推理分析分段函数定义域发展数学思维，以函数关系式表达利润计算提升数学语言能力。题型分层且易错点突出，帮助学生提升应用能力，为教师提供多样化教学资源。

数学 必修第一册 RJB 1 3.3 3.3 函数的应用（一） 刷基础 2 1.某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电 量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量与相应电费 （元）之间的函数关系如图 所示，当夜间月用电量为 时，应交电费为( ) D A.130元 B.140元 C.150元 D.160元 题型1 一次函数的应用 3 解析 结合函数图象可知,当时,与之间是一次函数关系,设 , , 当时,；当时, ； 则解得 此时, . 所以当时, .故选D. 题型1 一次函数的应用 4 2.如图所示的是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销量（单位：件）与时间 （单位：天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润（单位：元）与时间 （单位：天） 之间的函数关系.已知日销售利润 日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是( ) C 图① 图② A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D.第30天的日销售利润是750元 题型1 一次函数的应用 5 解析 对于A选项，在题图①中，当时， ，故A选项结论正确. 对于B选项，根据题图②，可知点,连线的中点的坐标为 ,故B选项结论正确. 对于D选项，由题图①知第30天销售150件，由题图②知第30天一件产品的销售利润为5元，所 以日销售利润为 （元），故D选项结论正确. 对于C选项，由题图①知点,连线的中点的坐标为 ,即第12天和第30天 的销售量相同，根据题图②可知，第12天一件产品的销售利润高于第30天一件产品的销售利润， 所以第12天与第30天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误.故选C. 题型1 一次函数的应用 6 3.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆.现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓 库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县 的运费分别为30元和50元.则总费用最少为( ) D A.300元 B.400元 C.700元 D.860元 题型1 一次函数的应用 7 解析 设从甲仓库调到A县的车辆数为，则从甲仓库调往B县的车辆数为 ，从乙仓库调往A 县的车辆数为，从乙仓库调往B县的车辆数为.设总费用为 元，则 ，要想使运费最少，则需最大，所以当时，运费 最少，为860元. 题型1 一次函数的应用 8 4.［湖南长沙长郡中学2024高一期中］如图，把直截面半径为 的圆柱形木头 锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为 （单位：），则把表示为 的函数的解析式为( ) B A. B.， C. D.， 题型2 二次函数的应用 9 解析 如图,圆的直径,矩形的边 . , 由勾股定理,得 , 矩形的面积 , 又, .故选B. 题型2 二次函数的应用 5.［江西上饶2025高一月考］你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的“火树银花触目 红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却 在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的 时刻是( ) A A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 题型2 二次函数的应用 11 解析 由题意, , 则当 时,烟花达到最高点,即爆裂的时刻是第4秒.故选A. 题型2 二次函数的应用 12 6.如图所示，是边长为2的等边三角形，直线 截这个三角形位于此直线 左方的图形面积为（见图中阴影部分），则函数 的大致图象为( ) D A. B. C. D. 题型2 二次函数的应用 13 解析 根据题意，是边长为2的等边三角形，则点的坐标为 . 当时，;当 时， . 因此 的图象如D选项所示.故选D. 题型2 二次函数的应用 14 7.［吉林长春多校2025高一期末联考］根据统计，一名工人组装第 件产品所用的时间 （单位：分）为（,为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 件产品用时5分钟，那么和 的值分别是( ) C A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16 题型3 分段函数的应用 15 解析 由题意可得 ， 故则 故选C. 题型3 分段函数的应用 16 8.［福建龙岩2025高一月考］某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 其中，代表拟录用人数， 代表面试人数.若面试人数为60， 则该公司拟录用人数为( ) C A.15 B.40 C.25 D.130 题型3 分段函数的应用 17 解析 令,若,则 ,不满足题意； 若,则 ,满足题意； 若,则 ,不满足题意.故该公司拟录用25人. 题型3 分段函数的应用 18 9.［山东部分学校2024高一联考］某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元， 若该景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本 万元，且 该景区门票价格为64元/人. （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式. （利润 收入-成本） 题型3 分段函数的应用 19 【解】该景区的门票收入为 万元,则利润 即 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式为 题型3 分段函数的应用 20 （2）当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ [答案] 当时, ； 当时,二次函数图象开口向下,对称轴为直线,故 ； 当时,,当且仅当,即 时等号成立, . 综上,游客人数为20万时利润最大,最大利润为260万元. 题型3 分段函数的应用 21 10.若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长 的函数，则它的解析式为( ) D A. B. C. D. 易错点1 使用函数模型求解实际问题时忽视定义域 22 解析 由题意得，，.又, .又三 角形两边之和大于第三边，解得， .故选D. 易错点1 使用函数模型求解实际问题时忽视定义域 23 易错警示 实际问题中函数的定义域不但要受函数解析式的制约，还要满足实际问题的意义，如本题中不但 要满足 ，还须满足“三角形两边之和大于第三边”. 易错点1 使用函数模型求解实际问题时忽视定义域 24 11.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1 000元，则不享 受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元，则超过1 000元部分享受一定的折 扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 若某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为________元. 1 610 易错点2 忽略分段函数的计算方法而致错 25 解析 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当时, . 当时, , 令,得,解得 ,不符合题意. 当时, , 令,得,解得 ,符合题意, 所以他实际所付金额为 （元）. 易错点2 忽略分段函数的计算方法而致错 26 易错警示 注意每一段的要求不同，只有满足第一段的要求才能进入第一段，以此类推. 易错点2 忽略分段函数的计算方法而致错 27 3.3 3.3 函数的应用（一） 刷能力 28 建议用时:40分钟 1.若一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，则燃烧剩下的长度与燃烧时间 之间的 函数关系用图象表示为( ) B A. B. C. D. 29 解析 蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义知不可能是D，利用一次函数结合实际 意义，知当时， .故选B. 30 2.（多选）［四川内江2025高一期末］据市场调查分析，某地区半年的前 个月内，对某种商品 的需求累计（单位：万件）近似地满足关系：， ,2,3,4,5,6，则 需求量超过3万件的月份为( ) BCD A.4月 B.3月 C.2月 D.1月 31 解析 当时, ,满足题意； 当时, , 令,故,解得 , 又,,所以,3.故选 . 32 3.［广东广州2025高一期中］某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为 （万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月 所获得的总利润用（万元）表示，用 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正 确的是( ) D A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元 B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元 C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元 D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元 33 解析 由题意可得 ， 故当时， 取得最大值128. ，当且仅当 时，等号成立. 因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元， 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元.故选D. 34 4.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设每人限购1件的情况下，直播在线购买人数 与 某产品销售单价（单位：元）满足关系式：，其中， 为常数. 当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2 015.假设该产品成本单价为20元，则下列说法 错误的是( ) D A.实数 的值为10 000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当 的值为30时利润最大 D.利润最大值为10 000元 35 解析 将代入，可得，解得 ，所 以A正确； 因为和在上单调递减，所以在 上单调递减， 所以B正确； 由题意可得利润 ， 所以当 时，利润取得最大值10 100元，所以C正确，D错误.故选D. 36 5.［辽宁葫芦岛2025高一月考］李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，李华对这 四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功 后，李明会得到支付款的 . ①当 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____元. ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 的最大值为 ____. 90 10 37 解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,由草莓40元/盒,西瓜60元/盒,得总价为 （元）. 因为一次购买水果的总价达到80元,顾客就少付10元,所以需要支付 （元）. ②设订单总价为元,若 ,没有优惠,符合题意； 若,则,,而 , 所以,故 的最大值为10. 38 6.如图，某房地产开发公司要在矩形上规划出一块矩形地 建造住宅区，为了保护文物， 住宅区不能超越文物保护区的界限.由实地测量知，， ， ，，则当设计矩形住宅区的长 _______，才能使其面积最大，最大面 积是_ ________. 39 解析 延长，分别交，于点，，设，则 ， . ，，得，，则，当 时， 取得最大值，最大值为 . 此时 . 40 7.［江苏扬州高邮一中2025高一月考］某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查 发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价 之间的函数关系式. 41 【解】由题意设，则由题图可知，该函数图象过点, ， 所以解得 所以 ， 由解得 . 所以该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是 . 42 （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？ 最大利润是多少？ [答案] 若该主播按单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则 ， 则利润 ，其图象开口向下，图 象的对称轴方程为 ， 所以当时，利润取得最大值，为 ， 所以当销售单价为50元时利润最大，最大利润是1 560元. 43 （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1 280元，则每天的销售量最少应为多少件？ [答案] 由（2）得利润 ， 又该商品每天获得的利润不低于1 280元， 则，整理得 ， 即，解得 ， 销售量是减函数，所以当 时，销售量最小，且最小值为 件. 44 8.［河北石家庄二中2025高一期中］某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会 产生一些次品，其次品率与日产量（万件）之间满足关系： （其中 为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万 件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大.（注：次品率 次品数/生产 量，如 表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）. （1）将生产这批零件每天的盈利额（万元）表示为关于日产量 （万件）的函数. 45 【解】由题意知 ， 当时，，故 ， 当时，，故 ， 所以盈利额（万元）与日产量（万件）之间的函数关系为 46 （2）当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ [答案] 当时，每天的盈利额为0元，则只需求当时 的最大值. 设,，则，且 ， 则 ， ①当，即时， ， 当且仅当，即时，取最大值160，此时 . ②当，即时，由在 上单调递增， 得在 上单调递减， 所以当，即时， 取最大值. 综上所述，当时，日产量为 万件时，该厂可获最大利润； 当 时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润. 47 $$