第2.2节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦不等式章节，涵盖性质、均值不等式及实际应用。课堂导入可结合登山时间比较等实例，衔接集合与不等式知识，通过基础到综合例题搭建支架，助力学生从概念理解过渡到问题解决。 其亮点在于精选各地校考真题，注重数学思维（如均值不等式等号推理）与数学语言（解集规范表达）培养。“名师点拨”强化关键方法，如第5题引导用数学眼光分析现实问题，第8题详解推理步骤。学生能提升解题与思维能力，教师可直接用于教学，提高效率。

数学 必修第一册 RJB 1 2.2 2.2 不等式 2 2.2 第2.2节综合训练 刷能力 3 建议用时：30分钟 1.［福建福州2025高一月考］对于任意实数,,, ，下列命题中，真命题的序号为( ) B ①若,，则； ②若，，则 ； ③若，则; ④若，则 . A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 4 解析 ①因为，，所以，所以 ，故①错误； ②因为,，所以 ，故②正确； ③因为，所以由不等式的基本性质，可知 ,故③正确； ④因为，所以，所以 ，故④错误.故选B. 5 2.［山东德州一中2024段考］已知集合，,,1,3, ，则 ( ) D A. B.,, C.{-1, D.,1, 6 解析 由可得，所以 .所以 ,,1,3,,1, .故选D. 7 3.已知，当代数式取最小值时， 的值为( ) D A. B. C. D. 8 解析 由,得,所以,当且仅当,即 时等号 成立. 所以 , 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立,第二个不等式的等号当且仅当 时成立. 所以当 取最小值时, 有即 所以 .故选D. 9 4.（多选）［辽宁大连二十四中2025高一期末］“计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的 是( ) ABD A.若，则 B.不等式的解集为 C.若，则 D.若,，，则的最小值为 10 解析 对于A，因为，所以 ，所以 ，则 ，故A正确. 对于B，不等式，即，当 时， ，解得；当时，，解得 ；当 时，，解得.所以不等式 的解集为 ，故B正确. 对于C，当时，显然满足，但是 ，故C错误. 对于D，因为,，，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，时取等号，故D正确.故选 . 11 5.（多选）［河北沧衡八校2024高一期中联考］位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五 岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为 ，下山（原路返回） 的速率为，小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为 ，若两人途中休息时间 忽略不计，则( ) BD A.小明上山和下山所用时间之和为 B.小明上山和下山所用时间之和为 C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 12 解析 对于A,B,小明上山和下山所用时间之和为 ,故A错误,B正确； 对于C,D,小刚上山和下山所用时间之和为,因为,所以 , ,所以 ,所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所 用时间之和少,故C错误,D正确.故选 . 13 6.已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数 的最大值是___. 4 解析 ,，由恒成立得恒成立，即求 的最小值，又 ，当且仅当 即时等号成立，的最小值为4，，即实数 的最大值是4. 14 7.［山东聊城一中2025高一月考］已知关于的不等式组 的解集中存在整 数解且只有一个整数解，则实数 的取值范围为_______________. 15 解析 ，即，解得或 ， 所以,即的解集与 或 的交集中存在整数，且只有一个整数. 当时，的解集为，此时 ，即 满足要求； 当时，的解集为 ，此时不满足题设条件； 当时，的解集为，此时 ，即 满足要求. 综上，实数的取值范围为 . 16 8.正实数，，满足，当最大时，__，在此条件下 的最大 值为___． 1 解析 由已知条件可得， . 因为,当且仅当时等号成立，此时有最大值为1，则 . 所以，当时， 有最大值1． 17 名师点拨 在利用均值不等式进行证明或求解时，一定要注意等号取得的条件是否满足，即“一正、二定、 三相等”的原则． 18 9.（1）求不等式 的解集； 【解】由，可得 , 即，当时，所求不等式的解集为 ; 当时，所求不等式的解集为 ； 当时，所求不等式的解集为 . （2）设,为方程的两个根，且，求证： . 【证明】由,为方程的两个根，得，又,所以 . 所以,当且仅当 时等号成立. 所以 . 19 特别注意 解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 20 $$