2.2.4 均值不等式及其应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式及其应用，从概念理解（如条件判断）入手，通过比较大小、求最值（分无条件与有条件）等题型构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于系统分类7类题型，结合易错点警示（如“一正二定三相等”）和实际应用（如铁支架制作），以数学思维的推理能力和数学语言的模型意识，帮助学生形成理性精神，教师可高效教学，学生提升应用能力。

数学 必修第一册 RJB 1 2.2 2.2 不等式 2 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用 刷基础 3 1.已知实数，，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 均值不等式的理解 4 解析 因为等价于,所以,,所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 题型1 均值不等式的理解 5 2.［安徽马鞍山2025高一期末］若,，且 ，则下列不等式中，恒成立的是( ) B A. B. C. D. 题型1 均值不等式的理解 6 解析 对于A，若,,则 ,故A错误； 对于B，由，可知，，则，当且仅当 时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，即 ，当且仅当 时取等号，故C错误； 对于D，由A分析，可知当，同为负数时， ，故D错误.故选B. 题型1 均值不等式的理解 7 二级结论 均值不等式的常用变形 （1）,当且仅当 时,等号成立. （2）当时,,,当且仅当 时,等号成立； 当时,,,当且仅当 时,等号成立. （3）,当且仅当 时,等号成立. （4）若,,,则,当且仅当 时,等号成立. 在利用均值不等式求最值时可以向以上的形式配凑,但要注意,, 的取值范围及取等号的条件. 题型1 均值不等式的理解 8 3.［四川遂宁2025高一期中］已知，，则，，， 中最大的是( ) A A. B. C. D. 题型2 利用均值不等式比较大小 9 解析 因为,，所以， ， ，当且仅当 时，等号成立， 则 .故选A. 题型2 利用均值不等式比较大小 10 多种解法 此题可以采用特殊值法求解,例如可取,,可得 最大.故选A. 题型2 利用均值不等式比较大小 11 4.已知实数，，满足，，且，则，， 的大小关 系是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用均值不等式比较大小 12 解析 因为,由均值不等式得,当且仅当 时等 号成立,又 , 所以.又, ,两式相减得, ,故 ,所以 ,故,所以 .故选B. 题型2 利用均值不等式比较大小 13 5.［北京四中2024高一期中］若，则 的最小值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.无最小值 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 14 解析 若,则 , 当且仅当,即时,等号成立,所以 的最小值为8.故选C. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 15 6.［山西多校2025高一期中联考］已知，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 16 思路导引 观察和,联想到 为定值,构造“和定积最大”的使用条件,题目可转化为求 的最大值. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 17 解析 因为，所以 ， 所以，当且仅当，即 时取等号，所以 的最大值为1.故选C. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 18 规律方法 利用均值不等式求最值时,要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值,要求积的最大值,则必 须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个最值 就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 19 7.［河北邯郸武安一中2025高一月考］设，则 的最小值为( ) B A.81 B.27 C.9 D.3 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 20 解析 由于，故,，故 ，当且仅当，即 时等号成 立，故所求最小值为27，故选B. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 21 链接教材 这道题目是由教材第77页例1改编得到,基本的解题思路是将 变形为 ,再利用均值不等式即可求得答案. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 22 8.已知，，且，则 的最大值为( ) D A.36 B.4 C.16 D.9 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 23 思路导引 （1）先观察条件等式和所求式子,由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式； （2）利用均值不等式求代数式的最值； （3）验证取等条件. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 24 解析 由题意,得,, ,所以 ,当且仅当即 时取等号.故选D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 25 9.［湖北鄂东南示范校2024高一期中联考］关于的方程 有两个相等的正根， 则 ( ) B A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 26 思路导引 多元问题一元化,依题意可得,,则 ,再利用均值不等式即可求得最 大值. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 27 解析 关于的方程 有两个相等的正根, , , ,当且仅当 时取等号, 有最大值 .故选B. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 28 10.（多选）［河南名校联盟2024高一期末联考］若,，且 ，则( ) ABD A. B. C. D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 29 思路导引 由变形得,根据可判断选项A； ,利用“乘 1法”可判断选项B；根据可判断选项C； ,利用均 值不等式可判断选项D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 30 解析 ,,,, ,A正确； ,当且仅当 且 ,即, 时等号成立,B正确； ,解得,当且仅当且,即, 时取等号，C错误； 由A的分析知 ,则 ,当且仅当 且 ,即,时取等号,故D正确.故选 . 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 31 规律方法 （1）若,,且,,均为正数）,求, 均为正数）的最小值,常将 变形为 ,利用“1”的代换求最值. （2）若,,且,,均为正数）,求的最小值, 均为正数）,常将 变形为 ,利用“1”的代换求最值. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 32 11.［江西南昌2025高一月考］已知，，，证明： . 【证明】，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， . 题型5 利用均值不等式证明不等式 33 12.［广西桂林部分学校2025高一联考］已知,, 均为正实数. （1）证明： ； 【证明】由均值不等式得, ， 两个不等式相加得 ， 当且仅当时“ ”成立，问题得证. 题型5 利用均值不等式证明不等式 34 （2）证明，并求 的最小值. 【解】 ， 当且仅当 时等号成立， 所以不等式 成立, 所以 ， 题型5 利用均值不等式证明不等式 35 所以，当且仅当 时取等号， 故不等式 成立. 因为,所以 , ， 当且仅当，即时，等号成立，所以 . 题型5 利用均值不等式证明不等式 13.制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经 济（够用，又耗材最少）的是( ) C A. B. C. D. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 37 解析 设两直角边的长度分别为,,,,则 ,铁支架框的周长 6.828,当且仅当 时取等号. 故选C. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 38 14.［甘肃部分学校2025高一期末联考］某企业2024年年初花费64万元购进一台新的设备，并立 即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用 年后该设备的维 修保养费用为万元，盈利总额为 万元. （1）求关于 的函数关系式； 【解】根据题意， ， 故关于的函数关系式为 . 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 39 （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额盈利总额 使用年数）. [答案] 由（1）知盈利总额 ， 则年平均盈利额 ， 则，因为（当且仅当 时取等号），所以 万元， 故该设备使用8年后年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 40 15.［湖南衡阳2025高一月考］对于任意， 恒成立，则( ) D A. B. C. D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 41 解析 对于任意，恒成立，则,而 ，当且仅 当时取等号，所以 .故选D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 42 16.已知，，且，不等式恒成立，则正实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 43 解析 由题设得 恒成立,而 ,又,当且仅当 时等号成立,所以 ,当且仅当时等号成立,故 . 故选B. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 44 多种解法 不等式恒成立，即恒成立，即 恒成立，而 ，当且仅当，即时取等号，故.又 是正实数， 故 ，故选B. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 45 规律方法 含参数的不等式恒成立问题,通过分离参数,把参数的取值范围问题化归为代数式的最值问题. 恒成立,恒成立 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 46 17.［山东菏泽一中2025高一月考］已知正实数，满足，若不等式 有解， 则实数 的取值范围是_________________. 解析 因为正实数，满足 ， 所以 ， 当且仅当，即， 时取等号， 所以的最小值为.因为不等式 有解， 所以，即实数的取值范围为 . 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 47 18. 的最大值为_________. 解析 , , . 又,,当且仅当 ,且 ,即 时,等号成立. 的最大值为 . 易错点1 忽略应用均值不等式的条件而致错 48 易错警示 应用均值不等式时,应先将各项化为正值. 易错点1 忽略应用均值不等式的条件而致错 49 19.（多选）以下结论正确的是( ) BD A.的最小值是2 B. 的最大值是1 C.的最小值是2 D.存在,使得不等式 成立 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 50 解析 对于A,当 时,结论显然不成立,故A错误； 对于B,由，得,，所以,当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确； 对于C,,当且仅当,即 时取等号,又方程无 实数解,故取不到等号,故C错误； 对于D,当时,,即存在,使得成立,故D正确.故选 . 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 51 易错警示 注意使用均值不等式的条件：“一正、二定、三相等”,不是正数时可以提出负号转化为正数,不 是定值的时候可以通过配凑转化为定值,不能取等时往往需要转化为对勾函数解决. 对勾函数 的图象如图所示,取不到等号时可结合函数图象求最值. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 52 20.已知，，且，则 的最小值为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 易错点3 多次应用均值不等式而致错 53 解析 ,当且仅当 时,等号成立. 易错点3 多次应用均值不等式而致错 54 易错警示 此题很容易出错,认为,,,错选B,错误的原因是, 不能同时取到1. 易错点3 多次应用均值不等式而致错 55 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用 刷提升 56 1.［北京师大附中2024高一期中］《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题） 成了后来西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图 形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径 上，且 ，设， ，则该图形可以完成的无字证明为( ) D A. B. C. D. 57 解析 由题图可知,, , 由勾股定理可得 . 在中,由可得 .故选D. 58 2.［广东华南师大附中2025高一月考］已知，，且，则 的最小值为 ( ) A A.2 B. C. D. 59 解析 因为，，且 ， 所以，所以，所以 ， 所以，则 ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 的最小值为2. 故选A. 60 3.［江西南昌一中2024高一期中］若两个正实数，满足，且存在这样的， 使不 等式有解，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 61 解析 由,可得， ， 当且仅当,即时等号成立.所以, ， 解得或，所以实数的取值范围是 .故选C. 62 4.（多选）［安徽合肥一六八中学2025高一期中］已知，均为正实数，且 ，则 ( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值为5 C.的最小值为 D.的最小值为 63 解析 对于A选项，由均值不等式可得 ， 当且仅当即当时，等号成立，所以的最大值为 ，A正确； 对于B选项， ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为 ，B错误； 对于C选项， 64 ， 当且仅当即或 时，等号成立， 所以的最小值为 ，C正确； 对于D选项， ， 设，，可得 ， 则上式 ， 当且仅当即即 时，等号成立， 所以的最小值为，D正确.故选 . 5.（多选）［江苏无锡一中2025高一段考］根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确 的是( ) ABD A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的 面积 B.用一架两臂不等长的天平称黄金，先将 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右 盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡； 最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于 C.某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为 ，则这两年的平均增长率 等于 D.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物 品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的.若 两次购买时价格不同，则用第二种策略购买更实惠 67 解析 对于选项A：设周长为,，则圆的面积为 ， 正方形的面积为，因为，，可得，即 ，故A正确； 对于选项B：设天平的左、右臂长分别为，，第一次取出黄金，第二次取出 黄金 ,则则，所以，顾客购得的黄金 ，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为，则 ，可得 ，因为，即 ，当 且仅当，即时等号成立，即这两年的平均增长率不大于 ，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/，购 ， 68 第二次购物时的价格为元/，购，两次购物的平均价格为 ； 若按第二种策略购物，第一次花元，能购物品，第二次仍花元，能购 物品，两次购 物的平均价格为 .比较两次购物的平均价格，有 ，当且仅当 时等号成立，所以 两次价格不同时，第一种策略购物的平均价格高于第二种策略购物的平均价格，因而用第二种策 略更实惠，故D正确.故选 . 6.［辽宁部分学校2025高一期末联考］若,,，则 的最大值为 ___. 1 解析 因为,,，所以，所以 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号. 70 7.已知，，，则 的最大值为__. 解析 ，当且仅当 时，等号成立，所 以，所以 . 令，则，所以 ， 当且仅当,即 时，等号成立. 所以的最大值为 . 71 8.［清华大学2024强基计划］已知，则 的最大值、最小值 分别为_____________________. 无最大值，最小值为2 72 思路导引 当 ,,时，可得的最大值情况.将,,分成两种情况讨论:当，， 中没有0时， 推理可得；当，，中至多有一个0时，不妨设，可得，从而可得 的最小值. 73 解析 当 ,,时，易得 ， 故 无最大值. 若，，中没有0，则由均值不等式可得 ， 同理可得，，故有 ， 当且仅当时，等号成立，而，，中没有0时，该方程组无实数解，故 ； 若，，中有0，则至多有一个0，不妨设，此时 ， 当且仅当,时， 取得最小值2. 综上， 无最大值，有最小值2. 74 $$