2.2.4均值不等式及其应用（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2章 等式与不等式 问题引入 给定两个正数，，数称为的算数平均值；数称为的几何平均值.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？ 尝试与发现： (1)假设一个矩形的长和宽分别为和，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； 新知探索 尝试与发现： (1)假设一个矩形的长和宽分别为和，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； 与这个矩形周长相等的正方形的边长为，与这个矩形面积相等的正方形的边长为，且. 新知探索 尝试与发现： (2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义. 新知探索 几何意义：与矩形周长相等的正方形的边长大于或等于与矩形面积相等的正方形的边长. 从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论. 均值不等式 如果，都是正数，那么 ， 当且仅当时，等号成立. 新知探索 证明 因为，都是正数，所以 ，即. ， 而且，等号成立时，当且仅当，即. 值得注意的是，均值不等式中的，可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如_______一定是正确的. 新知探索 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的，还可以为零)，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 将均值不等式两边平方可得，如果矩形的长和宽方别为和，那么矩形的面积为，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 新知探索 周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大. 想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 新知探索 探索与研究：如图所示的半圆中，为直径，为圆心. 已知，，为半圆上一点，且，算出和，给出均值不等式的另一个几何意义. ， ∵，又∵且 ∴，∴. ∴，∴，∴， 由图观察可知，即圆的半径不小于任意一条弦长的一半. 例题 例1 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值. 解 因为，所以根据均值不等式有， 其中等号成立当且仅当，即，解得或(舍). 因此时，取得最小值. 例题 例2 已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 证明 因为，所以，. 根据均值不等式，得, 即. 当且仅当，即时，等号成立.因为，所以等号成立的条件是. 例题 例3 (1)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值. 解(1)设矩形的长与宽分别为与，依题意得. 因为，，所以，所以. 当且仅当时，等号成立，由可知此时. 因此，当矩形的长和宽都是时，它的周长最短，最短周长为. 例题 例3 (2)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. 解(2)设矩形的长与宽分别为与，依题意得，即. 因为，，所以. 因此，即.当且仅当时，等号成立， 由可知此时____________. 因此，当矩形的长和宽都是时，它的面积最大，最大面积为. 新知探索 例3 (1)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 例3的结论可以表述为： (1)如果两个正数的积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果两个正数的和等于定值，那么当时，积有最大值 积定和最小，和定积最大. 例题 例4 已知，求的最大值，以及取得最大值时的值. 解 当时，，因此，. 由均值不等式可得, 从而，即. 当且仅当，即时，等号成立. 从而当时，取得最大值. 例题 例5 已知是实数，求证：.并说明等号成立的条件. 证明 因为， 所以，即. 等号成立时，当且仅当，即. 例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况. 例题 例6 已知，求证： (1)；(2). 证明 (1)因为，两边同时加上，得 ，即. (2)因为，两边同时加上，得 ，即. 新知探索 探索与研究：用或其他计算机软件，完成下列数学实验： (1)任取多组三个正数，，，计算和，比较它们得大小，总结出一般规律； (2)对四个正数、五个正数做类似的实验，总结出普遍规律. 练习 题型一：利用基本不等式比较大小 例1.若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：∵，，且，∴ ∴四个数中最大的应从，中选择. 而 又∵，，∴ ∴即 ∴最大，故选D. 练习 方法技巧： 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 练习 变1.已知,,则之间的大小关系是( ). A. B. C. D.不确定 答案：A. 解：∵ ∴ . 练习 题型二：利用基本不等式求最值 例2.(1)已知，求的最小值. 解：(1)∵， ∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为6. 练习 例2.(2)已知，求的最大值. 解：(2)∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最大值为. 练习 例2.(3)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 练习 方法技巧： 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. (4)注意“1”的妙用. 练习 变2.(1)已知，求的最大值. 解：(1)∵， ∴<0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立. ∴的最大值为. 练习 变2.(2)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 练习 题型三：利用基本不等式证明不等式 例3.已知均为正数且求证：. 证明：据题意，得： ∴ 当且仅当时，“=”成立. ∴. 练习 方法技巧： 1.可利用基本不等式证明题目的类型 所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明. 2.用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型，再使用. 练习 变3.已知求证：. 证明：∵ ∴利用基本不等式有： ∴ ∴. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)均值不等式、重要不等式； (2)利用不等式求最值的两个模型. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P80的练习，练习； (3)课本P80的习题的第7、8题；习题的第5、8、9、10、11题； 习题的第1、2、3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$