2.2.3 一元二次不等式的解法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，涵盖不含参数、含参数、分式不等式等题型，通过从一元一次不等式过渡，以题型分类和错题精讲为支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合数学思维的分类讨论和数学眼光的实际应用，如含参数不等式分情况讨论、利润问题抽象建模，采用题型归纳与易错点总结方法。学生能提升逻辑推理能力，教师可高效开展分层教学。

数学 必修第一册 RJB 1 2.2 2.2 不等式 2 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 刷基础 3 1.［福建泉州五中2025高一期中］设，使得不等式 成立的一个充分不必要条 件是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4 解析 由即，解得.对比选项，只有 是 的真子集，可知不等式成立的一个充分不必要条件是 . 故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 2.（多选）下列不等式的解集为 的是( ) ABD A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 解析 即，不等式的解集为 ，A正确； 变形为，即，不等式的解集为 ，B正确； 的解集为或，解集不是 ，C错误； ，因为，不等式两边同时乘，即， ， 故不等式的解集为，D正确.故选 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 3.［山东泰安一中2025高一月考］关于的不等式 恰有一个整数解， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D.或 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 8 解析 ，即 ， 令，解得或，且 ， 若，则不等式的解集为，由题意可得 ； 若，则不等式的解集为 ，不合题意； 若，则不等式的解集为，由题意可得，解得 . 综上所述，实数的取值范围是或 .故选B. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 9 4.［山东济南三中2024高一期末］已知关于的不等式 . （1）当 时,求此不等式的解集； 【解】当时,不等式为，即,即 ， 所以原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 10 （2）求关于的不等式（其中 ）的解集. [答案] 不等式可化为 ， 即 . 当时，，不等式的解集为或 ； 当时，，不等式的解集为 ； 当时，，不等式的解集为 . 综上所述，当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 11 链接教材 本题是教材第75页练习B第5题的变式，考查含参数的一元二次型不等式的解法，对解含参数的 一元二次型不等式： （1）若二次项系数含有参数，则应对二次项系数大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论.特别 地，如果不等式说明是一元二次不等式，则二次项系数应分大于0、小于0两种情况讨论. （2）若求对应一元二次方程的根需用求根公式，则应对判别式 进行讨论. （3）若求出的两根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 12 5.不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 题型3 分式不等式的解法 13 解析 或 .故选D. 题型3 分式不等式的解法 14 6.不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 题型3 分式不等式的解法 15 解析 ，即，即，解得或 ， 故选C. 题型3 分式不等式的解法 16 7.［北京海淀区2025高一期中］若关于的不等式的解集为，则关于 的不等 式 的解集为( ) C A.或 B. C.或 D. 题型3 分式不等式的解法 17 解析 因为关于的不等式的解集为，所以，所以不等式 等 价于，即，解得或.所以关于的不等式 的解集为 或 .故选C. 题型3 分式不等式的解法 18 8.［吉林长春2025高一段考］不等式 的解集为___________________________ ___________. 或或 题型3 分式不等式的解法 19 解析 因为 ， 所以 即 令，解得, , ， ， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为或或 . 题型3 分式不等式的解法 20 归纳总结 对于高次不等式可利用“穿针引线法”进行求解,求解的步骤如下: （1）对不等式进行移项并分解因式,使得不等式右侧为0且左侧每个因式中 的系数为正,例如本题 中需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准,从最右根的右上方往左下画线,依据“奇穿偶不穿”的原则依次穿过各根； （4）根据不等号方向选取轴上方或轴下方的部分（注意在 轴上的点的选取）,即可得出不等 式的解集. 题型3 分式不等式的解法 21 9.［辽宁辽南协作校2025高一联考］若关于的一元二次不等式 的解集为 或，则关于的不等式 的解集是( ) B A. B. C.或 D.或 题型4 三个“二次”之间的关系 22 解析 因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以,为关于 的一元二次方程的两根且 ， 所以 所以,，则不等式,即.因为 ，所以 ，即，解得，所以不等式 的解集是 .故选B. 题型4 三个“二次”之间的关系 23 10.（多选）［江苏苏大附中2025高一期中］已知关于的一元二次不等式 的解 集为或 ，则( ) AC A.且 B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 题型4 三个“二次”之间的关系 24 解析 依题意可得方程的根为或，且 , 所以即, . 对于A，由可得, ，故A正确； 对于B，易知 ，故B错误； 对于C，不等式，即，可得，所以不等式 的解集为 ，故C正确； 对于D，不等式，即，即 ，所以 ，解得或，即不等式 的解集为 ，故D错误.故选 . 题型4 三个“二次”之间的关系 25 11.［湖南长沙雅礼中学2025高一月考］已知命题， 为真命题，则实 数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 26 解析 因为命题，为真命题，所以不等式的解集为 . 若，则不等式可化为，解得，不等式的解集不是 ； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得 . 综上可知， ，故选D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 27 名师点拨 这道题基本的解题思路是对 分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系求解. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 28 12.（多选）已知关于的不等式 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确 的是( ) BD A.不等式的解集可以是 B.不等式的解集可以是 C.不等式的解集可以是 D.不等式的解集可以是 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 29 解析 选项A,假设结论成立,则 无实数解,故选项A错误； 选项B,当,时,不等式恒成立,则解集是 ,故选项B正确； 选项C,当时,,则解集不可能为 ,故选项C错误； 选项D,假设结论成立,则 解得符合题意,故选项D正确.故选 . 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 30 13.（多选）［江西南昌大学附中2025高一月考］为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积 为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用 水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的可能取值为( ) CD A.4 B.40 C.8 D.28 题型6 一元二次不等式的实际应用 31 解析 第一次稀释后，药液浓度为 ， 第二次稀释后，药液浓度为 ， 依题意有，即，解得 ， 又，即，所以.故选 . 题型6 一元二次不等式的实际应用 32 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意,搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 题型6 一元二次不等式的实际应用 33 14.［广东佛山多校2024高一期中联考］某市有块三角形荒地，如图所示， , 米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中,,点分别在线段 , ,上.若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则 的长度（单位：米）范围是( ) B A. B. C. D. 题型6 一元二次不等式的实际应用 34 解析 在中, ,, 为等腰直角三角形, 设米,则米, 米, 依题意有,解得 . 即的长度（单位：米）范围是 . 故选B. 题型6 一元二次不等式的实际应用 35 15.［陕西部分学校2024高一联考］某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型6 一元二次不等式的实际应用 36 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,所以 ,即,解得 . 因为且,所以 ,即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选C. 题型6 一元二次不等式的实际应用 37 16.若集合 ，则实数 的取值范围是______. 解析 ①若，则 不成立，此时解集为空集； ②若，则解得 . 综上知 . 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 38 易错警示 对于与有关的问题，要注意对 系数的讨论.在处理二次函数的解相关问题时，常与 判别式相联系. 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 39 17.已知一元二次不等式的解集为，则实数 的取值范围是_______. 解析 为一元二次不等式， . 不等式的解集为 , 即解得 . 实数的取值范围为 . 易错点2 审题不仔细而致错 40 易错警示 本题中由于明确规定所给不等式是一元二次不等式，因此不需要考虑 ，若本题中没有 “一元二次不等式”这一条件，则需要考虑 . 易错点2 审题不仔细而致错 41 18.解不等式： . 【解】原不等式可化为，等价于或 ，解 得或或 . 所以原不等式的解集为 . 易错点3 随意消项致误 42 易错警示 错解为 ， 因为，所以，所以或 . 故原不等式的解集为 . 错误是由于随意消项造成的，事实上，当 时，原不等式亦成立. 易错点3 随意消项致误 43 19.［广东茂名2025高一月考］解不等式： . 【解】原不等式可化为 解得,所以原不等式的解集为 . 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 44 易错警示 认为分式不等式与二次不等式等价,没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因. 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 45 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 刷提升 46 1.［辽宁省实验中学2024高一期中］已知集合，集合 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 47 解析 , , .故选D. 48 2.［河北衡水2025高一月考］“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 49 解析 由且，解得或 ，记不等式的解对应集 合或，由或，解得或 ， 记不等式的解对应集合或，显然是的真子集，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 50 3.在上定义运算，则满足的实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 51 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 52 4.［重庆部分学校2025高一期中联考］若关于的不等式对 恒成立， 则 的取值集合为( ) D A. B. C. D. 53 解析 当时，不等式化为，对 恒成立； 当时，要使得不等式对 恒成立，则 解得 . 综上，的取值集合为 .故选D. 54 规律方法 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 ，对于一元二次不等式 ，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 对于一元二次不等式，它的解集为 的条件为 55 5.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 56 解析 不等式,可化为 . 当时,不等式 的解集为空集,不符合题意； 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 ; 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 . 综上可得,实数的取值范围是或 .故选C. 57 6.（多选）［山东青岛2024高一月考］已知关于的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是( ) ACD A. B. C. D. 58 解析 由题设,不等式,即的解为 , ,则, ,则A,D正确； 原不等式可化为,令 ,由题意可知 函数图象开口向下,与轴两交点的横坐标分别为和1,与直线 两 交点的横坐标分别为,,且,作出大致图象如图所示, 由图知 ,,故B错误,C正确.故选 . 59 7.（多选）［湖北武汉2025高一月考］已知关于的不等式 ，下列结论正确 的是( ) ACD A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式的解集为 的形式 C.当时，不等式的解集为 D.如果不等式的解集恰好为，那么 60 解析 由，得，当时， ， 从而不等式的解集为 ，故A正确. 在同一平面直角坐标系中作出函数 的 图象及直线和 ，如图所示. 由图知，当时，不等式 的解集为 的形式，故B错误. 当时，不等式的解集为 ，C正确. 由不等式的解集恰好为，可知，即，且 ， 61 时函数值均是，得，解得或，当 时，由 ，解得或，不满足 ，不符合题意; 当时，由，解得或，只有满足，所以 ，此 时，故D正确.故选 . 8.［山东部分学校2025高一期中联考］如图，某小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型 平面图是由两个周长均为的相同的矩形和 构成的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为2 000元/ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶， 造价为100元/；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/ .若要使总造价 不高于24 000元，则正方形周长的最小值为___ . 4 63 解析 设正方形的边长为，则矩形的长，宽分别为 ， ，所以，， ， 所以总造价，且 ，所以 ，则，解得 ， 故，则正方形周长的最小值为 . 64 特别注意 实际问题中一定要注意隐含条件,如本题中 . 65 9.［江苏徐州三中等校2025高一期中联考］已知，关于的不等式 的解集中 有且仅有3个整数，，，则___，实数 的取值范围为_ ______________. 3 66 解析 由题意，，即 . 设不等式的解集为，则， ， 则 . 因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以 ， 即，解得 ， 所以的图象的对称轴满足，而 ，即离对称 轴最近的整数只有3，所以 ，所以三个整数解为2,3,4， 所以解得 , 即的取值范围为 . 67 10.［中国科学技术大学2024创新班考试］求] 所有的实数，使 对任意 恒成立. 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价于且 . 当时，有 ， ， ； 当时，有， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 68 $$