2.2.3 一元二次不等式的解法（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法 题型一 一元二次不等式的概念及辨析 1．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 题型二 解不含参数的一元二次不等式 3．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 已知一元二次不等式的解集求参数 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 8．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 9．（辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 10．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 题型四 解简单的分式不等式 12．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知，则不等式的解集为 ． 13．（24-25高二下·福建福州·期末）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·内蒙古·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 题型五 一元二次不等式的实际应用 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    18．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 19．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 题型一 含参数的一元二次不等式的解法 1．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 6.（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 题型二 一元二次不等式的恒成立有解问题 8．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 9．（24-25高二下·辽宁·期末）若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为 . 10．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·北京·期末）使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 12．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 13．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 14．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 16．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为， 则 6．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若不等式的解集为，则 . 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知不等式的解集为若在区间内有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 9．（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 10．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 一元二次不等式的解法 题型一 一元二次不等式的概念及辨析 1．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①为二次函数；②为一元一次不等式；③④为一元二次不等式. 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 题型二 解不含参数的一元二次不等式 3．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题有转化为求方程的根即可求解. 【详解】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式结合一元二次不等式的解法计算求解. 【详解】， 化简得，， 故选：B． 题型三 已知一元二次不等式的解集求参数 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 9．（辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得的两根为，然后由韦达定理可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则的两根为，由韦达定理，， 则或，因，则，从而. 故答案为： 10．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 11．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 题型四 解简单的分式不等式 12．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13．（24-25高二下·福建福州·期末）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式进行转换即可求解. 【详解】且，解得. 故选：C 14．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 15．（24-25高二下·内蒙古·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式不等式的解法解出即可. 【详解】由， 即， 即， 即， 解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：A. 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可． 【详解】， 故答案为：． 题型五 一元二次不等式的实际应用 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 18．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 19．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 20．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 题型一 含参数的一元二次不等式的解法 1．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 2．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 6.（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 题型二 一元二次不等式的恒成立有解问题 8．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 9．（24-25高二下·辽宁·期末）若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得 “都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【详解】若命题“，都有”是假命题, 则 “都有”是真命题， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，要使得，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 11．（24-25高二下·北京·期末）使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 【答案】（只需满足即可）. 【分析】根据命题“对任意，”为真命题，结合参变量分离法可求出的取值范围，再结合补集思想可得出结果. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”为假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 13．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 15．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 16．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 1．（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件. 【详解】已知，解不等式，即，所以. 判断充分性： 当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立. 判断必要性： 若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再求集合与集合的交集. 【详解】，， 故选：B. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为， 则 【答案】4 【分析】利用二次函数的对称性，结合值域和定义域相同，可得到，通过求解参数，再进行检验,即可得出结果. 【详解】由二次函数，所以， 因为，不等式的解集一定是两个区间，而不是一个区间， 所以， 而当时，因为二次函数关于对称， 所以不等式的解集中的端点值满足， 此时有，代入得， 解得或， 当时，与矛盾，故舍去； 当时，，此时满足题意，即； 故答案为：. 6．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若不等式的解集为，则 . 【答案】2 【分析】根据不等式的解集，结合韦达定理可解. 【详解】不等式的解集为， 和是方程的两根，，. 故答案为：2. 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知不等式的解集为若在区间内有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集及韦达定理得，结合对称性可得三个整数解为0，1，2，进而列出不等式组，即可得解. 【详解】根据题意，方程有两个不同的实数根， 所以，解得，由韦达定理得，所以区间关于对称， 若在区间内有且仅有三个整数，则这三个整数解为0，1，2， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 9．（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：时，解集为， 情形二：时，解集为， 情形二：时，解集为. 10．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)9 【分析】（1）根据分类讨论思想，解二次不等式即可； （2）根据不等式的解集，确定开口方向即对于方程的根，再利用韦达定理可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）由题意知，分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知， 所以，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$