第2.1节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

数学 必修第一册 RJB 1 2.1 2.1 等式 2 2.1 第2.1节综合训练 刷能力 3 建议用时：30分钟 1.下列运算中，错误的有( ) ;; ; . D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 解析 ，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④错误.错误的有4个,故选D. 5 2.若实数的值满足方程，则 的值为( ) D A.7 B.2 C.0 D.7或0 6 解析 由得或 . 由得，此时 .故选D. 7 3.［江西赣州二十四校2025高一期中联考］已知关于的一元二次方程 有 两个不相等的实数根，.若，则实数 的值是( ) A A.2 B. C.2或 D.不存在 8 解析 由题知且，解得且 . 由题可得， ， ，解得或 . 综上， .故选A. 9 4.［辽宁大连2025高一月考］若，且,，则 的值为 ( ) B A. B. C. D. 10 解析 由，得，则 ， 即，即 . 因为，，所以和是方程 的两个实数根，所以 ，即 ，故选B. 11 5.［广东广州大学附中2024高一月考］关于的方程 ，以下结论正确的个 数为( ) （1）方程有两个正实根的充要条件是 （2）方程有两个异号实根的充要条件是 ； （3）方程两根均大于1的充要条件是 B A.0 B.1 C.2 D.3 12 解析 对于（1），方程满足,，但 ，方 程无实数解，故（1）错误. 对于（2），必要性： 方程有一正根和一负根， 且 , 满足，必要性成立. 充分性：由可得，及, 方程 有一 正根和一负根，充分性成立，故（2）正确. 对于（3），方程的两个实根为,，满足 但不符合方程两根 均大于1，（3）错误. 故选B. 13 6.［黑龙江哈工大附中2024高一月考］某校图书馆的藏书两年内从5万册增加到7.2万册，则这两 年的平均增长率为( ) C A. B. C. D. 14 解析 设平均增长率为，根据题意得，解得或 （舍去），所以这 两年的平均增长率为 .故选C. 15 7.已知集合,.若 ，则实数 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 16 思路导引 集合中的方程可能存在有解、无解的情况，故需要分，和 三种情况讨论求解. 17 解析 对于方程， . ①当，即时， ，则 . ②当，即或时，若，则 ，则 ，所以不合题意;当时， ，则 . ③当，即或时，设方程的两个根分别为, ，则 ,,当时，，所以 至少有 一个负根，不合题意;当时，, ，所以 的两根均为正数，符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 .故选A. 18 8.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为 ，又在新盐水中加入 与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐水的浓度变为 ，那么原来盐水的浓度为( ) B A. B. C. D. 19 解析 设原盐水溶液为克，其中含纯盐克，后加入“一杯水”为 克，依题意得 解得，故原盐水的浓度为 ， 故选B. 20 9.（1）求方程组 的解集； 【解】由得，即，代入中，得 ，解得 ，所以，所以原方程组的解集为 . （2）求三元一次方程组 的解集. [答案] 的两边同乘3，得，再与 相加，得 . 由得把,代入中，解得 ，所以原方程 组的解集为 . 21 10.［北京大学2023强基计划］方程共有___个解（表示不超过 的最大整数）. 0 解析 显然,若,则,所以,所以,但 ，无解. 若,则,所以,所以,但 ,无解,所以方 程 解的个数为0. 22 $$