模块综合测试-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 0 模块综合测试 刷综合 2 建议用时：120分钟 1.已知幂函数为偶函数，则 ( ) D A.1 B. C.3 D. 3 解析 因为为幂函数，所以，解得或 ， 又因为是偶函数，所以 .故选D. 4 2.某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层抽 样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为( ) B A.3 B.6 C.7 D.9 5 解析 依题意，高中部、初中部教师人数比为 ，按分层抽样抽取的25人中，高中部的教师 人数为，所以应抽取高中部男教师的人数为 .故选B. 6 3.［湖南长沙长郡中学2024高一期末］若函数，且的图象过点 ，则函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 7 解析 由于函数，且的图象过点，故, ，则 该函数为偶函数，图象关于轴对称，且在 上 单调递减，在 上单调递增，只有B中图象符合该函数图象特点，故选B. 8 4.［山东济宁2025高一质检］在中，,为线段 上一点，且有 , , ，则下列命题正确的是( ) C A. B. C. 的最大值为 D.的最小值为 9 解析 由，得 ， 而点在线段上，则 ，故A，B错误； 由,，得，解得，当且仅当 时取等 号，故C正确； ，当且仅当 时取等号， 故D错误.故选C. 10 5.［江西景德镇2024高一期末］地震的震级与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式 表达，其中为震级， 为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地 震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次5.0级地震能量大约是第二次3.6级地震能量 的（参考数据：, ）( ) D A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.126倍 11 解析 第一次，即 ， 第二次，即 ， 得，即，由题可知，故 .故选D. 12 6.［山东青岛二中2025高一段考］若,,，则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 13 解析 因为 , 所以 . 因为,所以 , 又 , 所以 . 因为,,所以 , 所以 , 所以 , 即 . 又因为 , 所以 .故选B. 7.［安徽亳州2025高一期末］有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面 点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为( ) A A. B. C. D. 15 解析 记第一次掷出的点数为奇数为事件,掷出的点数为偶数为事件,则 , , 记第二次掷出的点数为奇数为事件,掷出的点数为偶数为事件,则, , 则两次掷出点数之和为奇数为事件 , 所以 .故选A. 16 8.［福建南平2025高一期中］已知函数是定义在上的奇函数，且对任意 ， 不等式恒成立，则实数 有( ) D A.最大值 B.最小值 C.最小值 D.最大值 17 解析 因为是定义在上的奇函数,所以,得,则 , 从而由复合函数单调性可知在 上单调递增, 又是定义在 上的奇函数, 所以不等式等价于 , 即等价于 , 亦即 , 该不等式对任意恒成立,则不大于, 的最小值. 易知在区间 上单调递增, 所以当时,,的最小值 , 所以 .故选D. 18 9.已知 ,，，， ，则( ) ACD A. B.若，则, C.若点是的中点，则,两点重合 D.若点,,共线，则 19 解析 因为，， ，所以 ，A正确; 因为，所以，所以，取,则 ,B不正确; 因为点是的中点，所以，即, ，从而有 ，所以, 两点重合，C正确; 因为点,,共线，所以存在实数 ，使得 ，所以 ，D 正确. 综上所述，正确选项为 . 20 10.［四川雅安中学2025高二开学考试］一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字 ，其中的各位数字中， ，则( ) ACD A. 的所有试验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于 的概率 C.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D.若,出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字 中恰有两 个0的概率为 21 解析 对于A,由于的各位数字中,都可能为0或1,则的所有试验结果构成的样本空间中有 （个）样本点,A正确； 对于B,若的各位数字都是等可能地取值0或1,则 ,所以 的概率等于 的概率,B错误； 对于C,若的各位数字等可能地取值为0或1,如果 中各位数字之和是4,即5个数字中有4个“1”和 1个“0”, 可能情况有11110,11101,11011,10111,01111,共有5种等可能情况,其概率 ,C正确； 对于D,由于,数字中恰有2个0,即在,,, 四个数中恰好有2个0,2个1, 可能情况有0011,1100,1001,1010,0101,0110,共有6种情况, 则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为,D正确.故选 . 22 11.［山东菏泽2025月考］计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特 的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除.现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占 据的内存（单位：）与计算机开机后使用的时间（单位：）的关系式为 ，则 下列说法正确的是( ) ACD A.在计算机开机后使用时，该计算机病毒所占据的内存会超过 B.计算机开机后，该病毒每分钟使计算机增加的内存都相等 C.计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D.计算机开机后，该计算机病毒所占据的内存到，，所经过的时间分别是， ， ，则 23 解析 对于选项A,令,可得,所以在计算机开机后使用 时,该计算机 病毒占据的内存会超过 ,故A正确； 对于选项B,因为 不是定值,所以计算机开机后,该病毒每分钟使计算机增 加的内存不相等,故B错误； 对于选项C,因为 ,所以计算机开机后,该计算机病毒每分钟的增长率为1,故C正确； 对于选项D,由题意可得可得 , 则,即,故D正确.故选 . 24 12.［湖北荆州八县2024高二期末联考］第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月在 北京举行.某记者与参会的3名代表合影留念（四人站成排），则记者与代表甲相邻的概率为__. 解析 设记者为 ，另两位代表记作1，2.四个人站成一排，共有24种情况，记者与甲相邻的情况 有12种：甲12,甲21，甲，甲,甲2,甲1，1甲,2甲,甲，12甲， 甲， 21甲,所以所求概率为 . 25 13.已知，分别为平行四边形的边，的中点，若点满足 ，则 __. 解析 因为，所以 ，所以 ，又 ， 则 ， ，所以 . 26 14.［河北衡水中学2025高一月考］已知函数 给出下列三个结论： ①，方程 都有3个实数根； ②，使得 ； ③若互不相等的实数,,满足，则的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是______. ②③ 27 解析 当时,的图象是开口向上、对称轴为直线的抛物线在 轴 及左侧部分, 当时,的图象是对数函数 的图象向上平移1个单位长 度得到的,则作出 的图象如图所示. 对于①,观察图象知,当时,方程 只有2个实数根,①错误； 对于②,当时,使得成立,即 与 的图象在 时有交点, 而的图象与函数的图象关于 轴对称, 显然的图象与函数 的图象有公共点,②正确； 28 对于③,不妨设互不相等的实数,,满足,当 时,由图可知 ,即,当, ,即时, , 当,,即时,,因此 , 所以 ,③正确. 综上,所有正确结论的序号是②③. 15.（本小题满分13分）［辽宁重点高中协作体2024高一期末］如图，在中，是 上一 点，是上一点，且，过点作直线分别交,于点, . （1）用向量与表示 ； 【解】 . 30 （2）若，求和 的值. [答案] 因为，所以.设 ， 则，因为,， 三点共线， 所以，解得，所以 . 因为 ， ， 所以，即 . 31 16.（本小题满分15分）［江西赣州2025高一期末］某中学为提升学生的数学素养，激发大家学 习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参 加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如图所示的频率 分布直方图，根据图形，请回答下列问题： 32 （1）求频率分布直方图中 的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层随机抽样方法抽取24人 的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数. 【解】由题意可知,解得 . 成绩位于,,内的频率之比为 , 故24人中成绩不低于90分的人数为 . （2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位） [答案] 由于 , , 故中位数位于 内. 设中位数为,则,解得 . 33 （3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为 ，乙复赛获一等奖的概率为 ，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. [答案] 甲、乙两个人复赛都未获一等奖的概率为 , 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为 . 34 17.（本小题满分15分）［广东佛山一中2024统测］射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项 赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分 及两人成绩的频数记录信息. 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 环 环 5环 6环 7环 8环 9环 10环 甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响， 运动员每支箭的成绩也互不影响. （1）甲、乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率； 35 【解】设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”， “有人命中8环及以上”，则， ， 显然事件，相互独立， ， ， 所以甲、乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为 . 36 （2）甲、乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率. [答案] 设“甲运动员第箭命中黄圈”，“乙运动员第箭命中黄圈”， ,2, 所以， . 设 “共有3支箭命中黄圈”， ， 因为，，， 相互独立， ，，， 互斥， 所以甲、乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率 . 37 18.（本小题满分17分）某工厂现有职工320人,平均每人每年可创利20万元.该工厂打算购进一批 智能机器人（每购进一台机器人,将有一名职工下岗）.据测算,如果购进智能机器人不超过100台， 每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人视为机器,不作为职工看待）在机器人的帮助下,每人 每年多创利2千元,每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元,工厂为体现对职工的 关心,给予下岗职工每人每年4万元补贴.若购进智能机器人数量超过100台,则工厂的年利润 万元为机器人台数，且 . （1）写出工厂的年利润与购进智能机器人台数 的函数关系. 【解】当购进智能机器人台数 时， 工厂的年利润 , 所以 38 （2）为获得最大经济效益,工厂应购进多少台智能机器人?此时工厂的最大年利润是多少? （参考数据: ） [答案] 由（1）知，当时， , 当时， ； 当时， 为增函数， 所以 . 综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润为8 205万元. 39 19.（本小题满分17分）［河北石家庄二中2025高一期末］已知函数 是偶函数，（其中 ）. （1）求 的定义域； 【解】由且可得 , 解得 , 故函数的定义域为 . 40 （2）求 的值； [答案] 因为函数是偶函数,且的定义域为 , 所以,即 . 又 , 则 , 所以,所以 . 41 （3）若函数与的图象有且只有一个交点，求实数 的取值范围. [答案] 由（2）知, . 因为函数与 的图象有且只有一个交点, 所以方程在 上只有一解. 即方程在 上只有一个解, 即在 上只有一个解. 令,则 , 即在 上只有一个解. 42 ①当时,原式化为,解得 ,不符合题意,舍去. ②当时,,记 ,其图象的对称轴为直线 , 根据二次函数的性质可知,函数在 上单调递减, 又,则当时,恒成立,所以 无解, 所以当时,方程在 上无解. 43 ③当时,,记 ,其图象的对称轴为直线 ,且 , 根据二次函数的性质可知,要使在 上只有一个解, 只需即可,又 , 所以当时,在 上只有一个解, 即当时,方程在 上只有一个解, 即当时,函数与 的图象有且只有一个交点. 综上所述,实数的取值范围为 . 44 $$