专练2 开放题专练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 1.（结论开放）［北京师大附中2025高一期末］已知, 为一组不共线的向量，且向量 ，，能使得的一组实数,的值可以为___， ____________ _______________________________. 1 4 （答案不唯一，满足即可） 解析 因为，所以存在实数 ，使得，即 ，即 ，由平面向量基本定理可得 ，，即，所以 .可取 , . 2 2.（条件开放）［江苏苏南八校2024高一联考］从 ， ， 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 问题：已知集合 _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ _________________________________________ ，集合, }. （1）当时，求 ； [答案] 当时， ， 所以 . 【解】选①时：由，得，解得 ， 故 . 选②时：由，得，所以 . 选③时：由，得，所以 . 无论选哪个条件，集合都是 . 3 （2）若，求实数 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 因为，所以 . 当 时，，解得 ； 当 时，解得 . 综上,实数的取值范围为 . 4 3.（条件开放）［吉林省吉林一中2025高一期中］已知指数函数，且 的图 象过点，在；②函数图象的顶点坐标为 ； ③函数，且的图象过定点 ，这三个条件中任选一个，回答下列 问题. （1）求的解析式，判断并证明 的奇偶性； 5 【解】若选①：因为,所以,解得, , 可知指数函数的图象过点,所以,所以 . 则的定义域为,且 , 所以 为偶函数. 若选②：函数的图象的顶点坐标为 , 可知指数函数的图象过点,即,所以 . 则的定义域为,且 , 所以 为偶函数. 若选③：由的图象过定点,可知函数的图象过定点 , 则指数函数的图象过点,即,所以 . 则的定义域为,且 , 所以 为偶函数. 6 （2）解不等式 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 由（1）可知,则,又在定义域 上单调递增, 所以解得 , 所以所求不等式的解集为 . 7 4.（结论开放）进入冬季，某病毒肆虐，为确保居民安全，某社区医院组织医护人员为该社区居 民进行检测. （1）假设，，，，，，，，， 这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1 人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤； 8 【解】第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取1组进行检测，若呈 阳性，则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组. 第二步，将Ⅰ组的样本随机分为2组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组. 第三步，方法一：将Ⅱ组的样本进行检测，若呈阳性，再任取这两人中的一人进行检验即可得知 患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，最多2次即可得 知患病人员，因此，最多检测4次. 方法二：将Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此最多检 测4次；若呈阴性，则任取Ⅱ组中两人中的一人进行检测，即可得知患病人员，因此，共检测3次. 综上所述，最多只需做4次检测. 9 （2）已知，，，， 这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分 派到两个社区医院观察，求， 两人在同一组的概率. [答案] 将，，，，按要求分成两组，所有结果为，， ， ，，，，，， ，共有 10种情况，其中， 两人在同一组的共有4种， 所以，两人在同一组的概率为 . 10 $$